广东省五校2024-2025学年高二（上）第二次联考数学试题（PDF版，含答案）

广东省五校 2024-2025 学年高二（上）第二次联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = ( 3,2,5)， = (1,5, 1)，则| | =( )
A. √ 57 B. √ 59 C. √ 61 D. 3√ 7
2 2
2.椭圆 + = 1的焦点为
16 25 1
， 2， 为椭圆上一点，若| 1| = 3，则| 2| =( )
A. 4 B. 3 C. 5 D. 7
3.已知 三个顶点的坐标分别为 (3, 1)， ( 5,2)， (7,4)，则 边上的中线所在直线的方程为( )
A. + 2 1 = 0 B. 2 + 5 = 0 C. 2 7 = 0 D. 2 5 = 0
4.若圆 的圆心为(3,1)，且被 轴截得的弦长为8，则圆 的一般方程为( )
A. 2 + 2 6 + 2 15 = 0 B. 2 + 2 6 + 2 7 = 0
C. 2 + 2 6 2 15 = 0 D. 2 + 2 6 2 7 = 0
5.圆 1：( 2)
2 + ( 4)2 = 9与圆 ： 22 +
2 10 + 9 = 0的公切条数为( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
6.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于 位置时，拱顶离水面的高度为2.5 ，水面宽度为8 ，当
水面上涨0.9 后，水面的宽度为( )
A. 6.4 B. 6 C. 3.2 D. 3
7.空间直角坐标系 中，经过点 ( 0, 0, 0)且法向量为 = ( , , )的平面方程为 ( 0) + (

0) + ( 0) = 0，经过点 ( 0, 0, 0)且一个方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线 的方程为
0 =

0 = 0.阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面 的方程为2 3 = 0，经过点(0,0,0)的直线


的方程为 = = ，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
1 2 3
5 3 5 3
A. B. C. D.
14 14 13 13
2 2
8.已知点 为椭圆 ： + = 1上任意一点，直线 过圆 ： 2 + 2 4 + 3 = 0的圆心且与圆 交于 ，
16 12
两点，则 的取值范围是( )
A. [2,34] B. [2,36] C. [3,35] D. [4,36]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A. 若直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直，则 = 0或 = 1
B. 若直线 + 2 + 2 = 0与直线 + ( + 1) + 1 = 0互相平行，则 = 2或 = 1
3
C. 直线 sin + + 2 = 0的倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )
4 4
1
D. 若点 (1,0)， (0,2)，直线 过点 (2,1)且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是 ≤ 或 ≥ 1
2
10.已知直线 ： + 5 = 0与圆 ： 2 + 2 2 7 = 0，下列说法正确的是( )
A. 点 (3,1)在圆 外
B. 直线与圆 相离
C. 点 为圆 上的动点，点 为直线 上的动点，则| |的取值范围是[√ 2,+∞)
D. 将直线 下移4个单位后得到直线 ′，则圆 上有且仅有3个点到直线 ′的距离为√ 2
11.在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ = 90°， ， 分别为棱 和 1的中点， 为
棱 1 1上的动点，则( )
A. ⊥
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过 1， 1， 三点截该三棱柱的截面面积为√ 5
1
D. 直线 与平面 1 1所成角的正切值的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.三条直线 + 2 8 = 0，4 + 3 = 10与2 = 10相交于一点，则 的值为__________．
13.已知空间中的三点 ( 2,0,2)， ( 1,1,2)， ( 3,0,4)，则点 到直线 的距离为__________．
2 2
14.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1， 为坐标原点，若在 的右支上存在关于 轴对称
的两点 ， ，使得△ 1 为正三角形，且 ⊥ 1 ，则 的离心率为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 (1,2)、 (3,6)，动点 满足 = 4，设动点 的轨迹为曲线 ．
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(1)求曲线 的标准方程;
(2)求过点 (1,2)且与曲线 相切的直线的方程．
16.(本小题12分)
1
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 1， 为棱 的
2
中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = 1，求平面 和 夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 5，虚轴长为4．
(1)求 的方程；
(2)直线 ： = + 1与双曲线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，△ 的面积是2√ 2，求直线 的方程
18.(本小题12分)
在 中，∠ = 90 ， = 3， = 6， , 分别是 , 上的点，满足 // 且 经过 的
重心，将 沿 折起到 1 的位置，使 1 ⊥ ， 是 1 的中点，如图所示．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求 与平面 1 所成角的大小；
√ 3
(3)在线段 1 上是否存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ？若存在，求出 的长度；若不存4
在，请说明理由．
19.(本小题12分)
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2
已知圆Г： 2 + 2 = 4，点 在圆Г上，过 作 轴的垂线，垂足为 ′，动点 满足 ′ = ′ ，设动点 的轨
3
迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
20
(2)斜率存在且不过 (0,2)的直线 与曲线 相交于 、 两点， 与 的斜率之积为 ．
9
①证明：直线 过定点；②求△ 面积的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
3√ 5
13.【答案】
5
14.【答案】√ 3 + 1
15.【答案】解：(1)设 ( , )，则 = (1 , 2 ) ， = (3 , 6 ) ，
由 = (1 )(3 ) + (2 )(6 ) = 4 ，
得 ( 2)2 + ( 4)2 = 1 ，
所以曲线 的标准方程为 ( 2)2 + ( 4)2 = 1 ．
(2)曲线 是以 (2,4) 为圆心，1为半径的圆，
过点 (1,2) 的直线若斜率不存在，直线方程为 = 1 ，满足与圆 相切；
过点 (1,2) 的切线若斜率存在，设切线方程为 2 = ( 1) ，即 + 2 = 0 ，
|2 4+2 | 3
由圆心到直线距离 = = 1 ，解得 = ，
2 4√ +1
则方程为 3 4 + 5 = 0 ．
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过点 (1,2) 且与曲线 相切的直线的方程为 = 1 或 3 4 + 5 = 0 ．
16.【答案】解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
1
在△ 中， ， 分别为 ， 的中点，则 // ， = ，
2
1
因为 // ， = ，则 // ， = ，
2
可知四边形 为平行四边形，则 // ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
则 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示，
1
由 = 1， = = = 1，
2
1 1
则 (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,1)， (0,1, )，所以 = (1,1,0)， = (0,1, )，
2 2
显然面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
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= + = 0
若面 的一个法向量为 = ( , , )，则{ ，

1
= + = 0
2
令 = 2，则 = (1, 1,2)，
· 1 √ 6
设平面 和 夹角为 ，则cos = |cos < ， > | = | | = | | =
| || | √ 6 6
√ 6所以平面 和 夹角的余弦值为
6

= √ 5

17.【答案】解：(1)依题意可得{2 = 4 ，
2 = 2 + 2
解得 = 1, = 2, = √ 5，
2
∴双曲线的标准方程为 2 = 1．
4
= + 1,
(2)由{ 2 22 2 得(4 ) 2 5 = 0， = 1,
4
由 = ( 2 )2 4 × ( 5)(4 2) = 80 16 2 > 0，
得 2 < 5，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 5
则 1 + 2 = 2， 1 = ， 4 2 4 2
2 2 5 4√ 5 2
所以| | = √ 2 + 1| 21 2| = √ + 1 √ ( 2) 4( 2) = √
2 + 1
4 4 |4 2
，
|
1
点到直线 的距离 = ．
√ 2+1
1 2√ 5 2
因为 △ = | | = 2 = 2√ 2， 2 |4 |
所以2 4 15 2 + 27 = 0，
所以 2
9
= 3或 ，
2
3√ 2
所以 = ±√ 3或 = ± ，
2
3√ 2 3√ 2
所以直线方程为 = √ 3 + 1或 = √ 3 + 1或 = + 1或 = + 1．
2 2
18.【答案】解：(1)证明：
因为在 中，∠ = 90 ， // ，且 ⊥ ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
则折叠后， ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = , 1 , 平面 1 ，
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所以 ⊥平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥ 1 ，
又已知 1 ⊥ ， ∩ = 且都在面 内，
所以 1 ⊥平面 ；
(2)由(1)知，以 为 轴， 为 轴， 1为 轴，建立空间直角坐标系 ，
2
因为 = 2 ，故 = = 2，
3
由几何关系可知，
= 2， 1 = 4， 1 = 2√ 3，
故 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)，
(0,3,0)， 1(0,0,2√ 3)， (1,0,√ 3)，
= (1,0,√ 3)， 1 = (0,3, 2√ 3)，
1 = (2,2, 2√ 3)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，

则{ 1
= 0 3 2√ 3 = 0
，即{ ,
1 = 0 2 + 2 2√ 3 = 0
不妨令 = 2，则 = √ 3， = 1，
故平面 1 的一个法向量为 = (1,2,√ 3)，
设 与平面 1 所成角的大小为 ，
| |
则有sin = |cos , | =
| |·| |
4 √ 2
= = ，
2×2√ 2 2

所以 = ，
4

即 与平面 1 所成角的大小为 ； 4
(3)假设在线段 1 上存在点 ，
√ 3
使平面 与平面 成角余弦值为 ，
4
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在空间直角坐标系中，
= (1, 3, √ 3)， = (1,0,√ 3)， 1 = (0,0,2√ 3)，
设 = 1，则 = (0,0,2√ 3 )， = + = (0, 3,0) + (0,0,2√ 3 ) = (0, 3,2√ 3 )，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
= 0
则有{ 2 ，即{ 2
3 2 + √ 3 2 = 0,
2 = 0 3 2 + 2√ 3 2 = 0
不妨令 2 = √ 3，则 2 = 2 ， 2 = 6 3，
故平面 的一个法向量为 2 = (6 3,2 , √ 3)，
设平面 的法向量为 3 = ( 3, 3, 3)，
3 = 0 3 + √ 3 = 0则有{ ，即{ 3 3 3 ,
3 = 0 3 + √ 3 3 = 0
不妨令 3 = √ 3，则 3 = 3， 3 = 0，
所以平面 的一个法向量为
3 = ( 3,0, √ 3)，
√ 3
若平面 与平面 成角余弦值为 ，
4
| |
则满足|cos 2 , 3 | =
2 3
| 2 |·| 3 |
|9 18 +3| √ 3
= = ，
2 2 4
2√ 3×√ 9(2 1) +4 +3
化简得2 2 3 + 1 = 0，
1
解得 = 1或 ，
2
1
即 = 或 = 1 1， 2
故在线段 1 上存在这样的点 ，
√ 3
使平面 与平面 成角余弦值为 ，
4
此时 的长度为√ 3或2√ 3．
2
19【. 答案】(1)解：已知圆 ： 2 + 2 = 4，点 在圆 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ′，动点 满足 ′ = ′ ，
3
设 ( , )， ( 0, 0)，
则 ′(0, 0)，
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2
因为 ′ = ′ ，
3
2
所以( 0, 0) = ( , 0)， 3
2
0 =
则{ 32 ，
0 = ( 0)3
2
解得{ 0 = 3 ，
= 0
因为 ( 0, 0)在圆 ：
2 + 2 = 4上，
2
则( )2 + 2 = 4，
3
即
2 2
+ = 1，
9 4
2 2
所以曲线 的方程为 + = 1．
9 4
(2)证明：①依题意，设直线 的方程为 = + ， ≠ 2，
= +
联立{ 2 2 ，
+ = 1
9 4
消去 得(9 2 + 4) 2 + 18 + 9 2 36 = 0，
则 = (18 )2 4(9 2 + 4)(9 2 36) = 144(9 2 + 4 2) > 0，①
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
18 9 36
所以 1 + 2 = , 1 2 = ， 2 2
9 +4 9 +4
1 2 2 2 + 2 则 = = 1 2
+ 2
1 2 1 2
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2 2
1 2+ ( 2) ( = 1
+ 2)+( 2) 20= ，
1 2 9
则(9 2 20) 1 2 + 9 ( 2) ( 1 + 2) + 9( 2)
2 = 0，
2
9 36 18
则(9 2 20) 2 + 9 ( 2) ( 2 ) + 9( 2)
2 = 0，
9 +4 9 +4
整理得 2 + 6 = 0，
解得 = 3，
所以直线 过定点 (0, 3)；
54 45
②解：由①得， 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
9 +4 9 +4
54 45 12√则 9
2 5
| 1 2| = √ ( 1 + 22) 4 1 2 = √ ( 22 ) 4 × 2 =
，
2
9 +4 9 +4 9 +4
所以 1 5 12
√ 9 2 5 √ 9 2 5
= | | | | = × = 30 × ， △ 2 1 2 2 2 29 +4 9 +4
令√ 9 2 5 = ( > 0)，
则9 2 = 2 + 5，
30 30 30
则 △ = 30 × 2 = = ≤ = 5 +5+4 2+9 9 + 9 ，
2√
9
当且仅当 = ，即 = 3，
√ 14
= ± 时，等号成立，
3
满足①，
所以△ 面积的最大值为5．
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