2024-2025学年浙江省“强基联盟”高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“强基联盟”高二上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
3.若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则( )
A. B. C. D. 或
4.已知数列满足，，，，若数列是递增数列，则( )
A. B. C. D.
5.如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.直线与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 都有可能
7.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线，抛物线，，的焦点分别为，，点为抛物线上的一个动点，直线过点，则( )
A. 直线的方程为 B.
C. D. 与，各有一个交点的直线有三条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线，则( )
A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行
C. 当时， D. 当时，
10.已知曲线为参数，曲线为参数，，以下正确的是( )
A. 曲线是一个圆
B. 曲线是一条直线
C. 若，则曲线与存在公共点
D. 若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为
11.已知正方体的棱长为，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则( )
A. 若是的中点，则平面
B. 若是的中点，则平面
C. 的最大值是
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，且，则， ．
13.已知点，，，点满足，则的最小值为 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线过点．
若直线又过点，求直线的方程
若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值．
16.本小题分
在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面．
证明：
若，求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线．
求曲线的方程
已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足．
证明：
若，求的值
若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“同域点”若，两点分别在直线的两侧，则称，为“异域点”已知：抛物线，．
若点，为“异域点”，求实数的取值范围．
已知过的直线与抛物线交于，两点，
Ⅰ若，为“同域点”，比较与的大小关系并说明理由
Ⅱ直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“同域点”的概率．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：依题意直线过点和点，
所以直线斜率，
所以直线的方程为，
化简可得
设直线的方程为，
把点代入可得，
则，即，
当，即，时取“”，
故，
所以面积的最小值为．

16.解：连接交于点，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，，
四边形是正方形，，
，平面，平面，
平面．平面，
．
取中点，连接，不妨设．
同可证明平面，于是，，是中点，
，
，平面，
点到平面的距离为．
，平面，平面，平面，
点到平面的距离．
设直线与平面所成角为，于是，
直线与平面所成角的大小为．
17.【解答】解：设，则，整理得，
由题意可知直线斜率存在，设，，令得，
由，得，，代入，
得，，，直线
18.解：平面，平面，，
又，，，平面，
平面，又平面，，
又，，平面，．
由可知，又，，，平面，
平面，又平面，，
由可知，在中，，．
在中，，，
，．
．
以为原点，，所在直线分别为轴，轴，如图建立空间直角坐标系．
不妨设，，则，于是，，，，
设，则，，
由可得，
，，
设平面的一个法向量为，
于是，令，得，，
平面的一个法向量为，
，
化简得，
设，
要存在，使与平面所成角为，在上有零点．
函数图象的对称轴为，故，
又，
只需满足，
解得，
的取值范围是
19.解：，要使点，为“异域点”，
则应在的下方，应在的上方，
解得．
若，为在的下方，则
若，为在的上方，则
．
综上，若，为“同域点”，则．
Ⅱ，联立得，
，．
直线，即，
，，
，
若，为“同域点”，则，．
此时
，
令，得，又，
则满足要求的为，，，，，共组．
若，不为“同域点”，则．
此时
，
令，得，又，
则满足要求的为，，，，，共组．
综上，满足的的样本空间有个样本点，
其中使点，为“同域点”的样本点有个，
故概率．
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