江西省“上进稳派”2024-2025学年高二（上）第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

江西省“上进稳派”2024-2025 学年高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小
豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )
A. 36种 B. 60种 C. 75种 D. 85种
2.已知向量 = (1, 2,1)， = (3, , )，若 // ，则 =( )
2 2
A. 18 B. 18 C. D.
9 9
2 2
3.已知焦点在 轴上的椭圆 1与椭圆 2: + = 1的离心率相同，且 1的长轴长比其短轴长大4，则 1的标9 4
准方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
3 2 45 20 36 16 18 8
4.已知圆 1:
2 + 2 4 6 = 0，圆 2: ( 3)
2 + ( 1)2 = 9，则圆 1， 2的公切线条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知四面体 如图所示，其中点 为△ 的重心，则 =( )
1
A.
1 2 4
+ B.
2
+
1

3 3 3 3 3 3
1
C.
4

1
+
1 2 1
D. +
3 3 3 3 3 3
2 1
6.已知双曲线 : 2 = 1的右焦点为 2，点 在 的右支上，且 (2, )，则| | + | 2|的最小值为( ) 3 2
√ 65
A. 4 2√ 3 B. √ 17 2√ 3 C. √ 15 2√ 3 D. 2√ 3
2
7.已知 3 ≤ ≤ 2，点 ( 2,2 + 3)，点 (3 + 2cos , 1 + 2sin )，则| |的最小值为( )
14√ 5 12√ 5
A. 2√ 17 2 B. 2 C. √ 73 2 D. 2
5 5
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8.将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的
填法有( )
A. 576种 B. 1152种 C. 2304种 D. 4608种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = (2, 2,1)， = ( 1,1,0)分别为直线 ， 的方向向量， = (3,2, 2)为平面 的法向量，则( )
A. | | = 3 B. < 0
2√ 2
C. ⊥ D. 直线 与 所成角的余弦值为
3
10.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《
详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是( )
A. 7 + 8100 100 =
7
101
B. 第8行所有数字之和为256
C. 3 + 3 34 5 + 6 +
3
7 +
3 3 3 3
8 + 9 + 10 + 11 = 494
10
D. 记第20，21行数字的最大值分别为 ， ，则 =
21
11.已知 为坐标原点，抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则( )
A. 1 2 = 16
√ 3
B. 若| | = 24，则直线 的斜率为±
3
C. 若△ 的面积为16，则直线 的倾斜角为30 或150
D. 若线段 的中点为 ，点 在 的准线上的投影为 ′，则 ′ ⊥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若(4 7 )5 = 0 + 1 +
2 3 4 5
2 + 3 + 4 + 5 ，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ．
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1
13.已知 ， ， ， 四点共面，且任意三点不共线， 为平面 外任意一点，若 =
2
+ + ，
5 5
则 = ．
3
14.已知直线 : = 0，圆 : 2 + 2 2 + 4 = 0，若直线 与圆 交于 ， 两点，则| |的取值
2
范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点 ( 1,3)， (5, 5)， ( 2,2)．
(1)求线段 的垂直平分线的方程;
(2)已知圆 过点 ， ， ，求圆 的方程．
16.(本小题12分)
完成下列问题：
1
(1)求(2 2 3 )
7的展开式中的常数项;
√
1
(2)求(2 2 103 ) 的展开式中有理项的个数．
√
17.(本小题12分)
2 2
已知双曲线 ′过点(2,3√ 3)且与双曲线 : = 1有相同的渐近线，直线 : = 0与 ′交于 ，
2 18
两点．
(1)求双曲线 ′的方程;
1
(2)若 = ，且 (1,4)，求 的值．
2
18.(本小题12分)
1
如图，在三棱锥 中， = = = 2，∠ = 60 ，∠ = 45 ，二面角 为直二
2
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面角， 为线段 的中点，点 在线段 上(不含端点位置)．

(1)若 //平面 ，求 的值;


(2)若 ⊥ ，求 的值;

5
(3)若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的值．
7
19.(本小题12分)
法国数学家加斯帕尔 蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立
2 2
发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆 : + = 1( > > 0)，
2 2
2 2
则称圆心在原点 ，半径为√ 2 + 2的圆为“椭圆 的伴随圆 ′已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点
3 5
为 1，点 (1, )在 上，且| 2 1| = ． 2
(1)求椭圆 的方程以及椭圆 的伴随圆 ′的方程;
(2)将 ′向上平移6个单位长度得到曲线 ″，已知 (0, 1)，动点 在曲线 ″上，探究：是否存在定点 (0, )( ≠
| |
1)，使得 为定值，若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由;
| |
1
(3)已知不过点 的直线 : = + 与椭圆 交于 ， 两点，点 (0, )， (0, )分别在直线 ， 上，2
证明：| | = | |．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 243
4
13.【答案】
5
14.【答案】[√ 3, 2√ 5]
3 5
15.【答案】解：(1)依题意，线段 的中点为( , )，
2 2
2 3
直线 的斜率 = = 1，
2 ( 1)
5 3
故线段 的垂直平分线方程为 = ( + )，即 + 1 = 0．
2 2
(2)设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，( 2 + 2 4 > 0)，
因为圆 经过点 ， ， ，
10 + 3 + = 0,
故{50 + 5 5 + = 0,
8 2 + 2 + = 0,
= 4,
解得{ = 2,
= 20
故圆 的方程为 2 + 2 4 + 2 20 = 0．
2 1 7 2 7 1
7
16.【答案】解：(1)(2 3 ) 展开式的通项为 +1 = 7 (2 ) ( 3 )
= 7 ( 1)
× 27 14 3 ，
√ √
7
令14 = 0，解得 = 6，
3
故所求常数项为 67 ( 1)
6 × 2 = 14．
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1 7
(2)(2 2 )10展开式的通项为 = 2 10
1
3 +1 10 (2 ) ( ) =
10 20
3 10 ( 1) × 2 3 ，
√ √
7
令20 ∈ ，则 = 0，3，6，9，故有理项的个数为4．
3
2 2
17.【答案】解：(1)依题意，设双曲线 ′的方程为 = ( ≠ 0)，
2 18
4 27 1
将(2,3√ 3)代入可得， = = ，
2 18 2
2
故双曲线 ′的方程为 2 = 1．
9
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，依题意， 为线段 的中点，
故 1 + 2 = 2， 1 + 2 = 8，
2
2 11 = 1,
由 ， 在 ′上，则{ 9
2
2
22 = 1,9
( + )( )
两式相减可得，( 1 + 2)(
1 2 1 2
1 2) = 0， 9
9 4
则 1 2 = ，故 = ．
1 2 4 9
18.【答案】解：(1)因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，

则 = = 1．

(2)因为二面角 为直二面角，
故平面 ⊥平面 ．
由 = ，∠ = 45 ，故∠ = 90 ，即 ⊥ ．
而平面 ∩平面 = ， 平面 ，
故 ⊥平面 ．
因为 , 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ．
1
由 = = 2，∠ = 60 ，及余弦定理得， = 2√ 3，
2
故 AB⊥ ，则 ， ， 两两垂直．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,√ 3, 1)， (0,0,2)，设 ( , 2√ 3 √ 3 , 0)(0 < < 2)，
则 = (0, √ 3, 1)， = ( , 2√ 3 √ 3 , 2)，
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4
由 ⊥ ，故 = 6 3 2 = 0，解得 = ，
3
1
则 = ．
2
(3)由(2)可知 = (0, √ 3, 1)， = ( , 2√ 3 √ 3 , 0)，
设 = ( 1, 1, 1)为平面 的法向量，
= 0, √ 3 1 + 1 = 0,则{ 即{
= 0, 1 + (2√ 3 √ 3 ) 1 = 0,
令 1 = ，则 1 = √ 3 2√ 3， 1 = √ 3 ，
故 = (√ 3 2√ 3, , √ 3 )为平面 的一个法向量．
由 (0,2√ 3, 0)，故 = (0, √ 3, 1)， = ( , √ 3 , 0)，
设 = ( 2, 2, 2)为平面 的法向量，
= 0, √ 3 + = 0,
则{ 即{ 2 2
= 0, 2 √ 3 2 = 0.
令 2 = 1，则 2 = √ 3， 2 = √ 3，
故 = (√ 3, 1, √ 3)为平面 的一个法向量．
记平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
| · |
则cos = |cos , | =
| || |
6 5
= = ，
7
√ 7 √ 7 2 12 +12
2
解得 = 1或 = ，则 = 1或 = 6．
7
1 9
2 + 2 = 1, 4
19.【答案】(1)解：设焦点 1的坐标为( , 0)，依题意， 2 = 2 + 2,
2 9 25(1 + ) + = ,
{ 4 4
2 2
解得 2 = 4， 2

= 3，故 C 的方程为 + = 1，
4 3
则 的伴随圆 ′的方程为 2 + 2 = 7．
(2)解：依题意， ′′的方程为 2 + ( 6)2 = 7．
| |
假设存在定点 (0, )，使得 为定值 ，
| |
√ 2
2
+( )
设 ( , )，则 = ，化简可得(1 2) 2 + (1 2) 2 (2 + 2 2) + 2 2 = 0，
√ 2 2+( +1)
因为动点 在圆 ′′上，故 2 + ( 6)2 = 7，即 2 + 2 12 + 29 = 0，易
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2 2
2 2 2 2 +2
2
知1 ≠ 0，故 + 2 + 2 = 0，
1 1
2
2 +2
2 = 12
则{ 1 2 解得 = 5．
2
2 = 29
1
| |
故存在定点 (0,5)，使得 为定值，此时 = 5．
| |
1
= + ,
2
(3)证明：联立{ 2 2 整理得
2 + + 2 3 = 0，

+ = 1,
4 3
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 1 + 2 = ， 1 2 =
2 3， = 2 4( 2 3) > 0，
所以 2 < < 2，又 不过点 ，所以 2 < < 2且 ≠ 1，
3 3
1 直线 的斜率为 = 2，直线 的斜率为 = 2

2
， 1 1 2 1
3 3
1 2 2 2 (2 1 3)( 2 1)+(2 2 3)( 1 1)则 + = + = ， 1 1 2 1 2( 1 1)( 2 1)
因为(2 1 3)( 2 1) + (2 2 3)( 1 1) = ( 1 + 2 3)( 2 1) + ( 2 + 2 3)( 1 1)
= 2 1 2 + (2 4)( 1 + 2) + 6 4 = 2(
2 3) + (2 4) ( ) + 6 4 = 0，
3
所以， + = 0，故直线 与直线 关于 = 对称，故| | = | |． 2
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