湖北省市级示范高中智学联盟2024-2025学年高二（上）联考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

湖北省市级示范高中智学联盟 2024-2025 学年高二（上）联考数学试卷
（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.复数 的共轭复数是( )
2
A. 2 B. 2 C. 2 + D. 2 +
2.已知直线 经过 ( 2,1)， (1, 2)两点，则直线 的倾斜角为( )
2 3
A. B. C. D.
4 3 3 4
2 2 2 2
3.已知椭圆 1： + = 1的两个焦点与椭圆 2： 2 + = 1( > 0)的两个焦点构成正方形的四个顶点，6 2 8
则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.“ = 4”是“直线 1: ( 2) + 2 + 1 = 0与直线 2: 4 + 1 = 0平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
5.如图，在正四面体 中，过点 作平面 的垂线，垂足为 点，点 满足 = ，则 =
3
( )
1 1
A. +
1 2 1 1+ B. + +
4 4 4 3 9 9
5 2 2 1 2 2C. + + D. + +
3 9 9 3 9 9
2 2
6.已知 1, 2是双曲线 : 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，以 2为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐
2| |
近线交于 、 两点，若| | > 1 2 ，则双曲线 的离心率的取值范围是( )
3
3√ 26 3√ 26 3√ 26
A. (√ 3, ) B. ( , +∞) C. (1, ) D. (1, √ 3)
13 13 13
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7.已知圆 ：( 3)2 + ( 4)2 = 8，直线 : + 3 = 0.若直线 被圆 截得的弦长的最大值为 ，
最小值为 ，则 + =( )
A. 4√ 2 + 2√ 3 B. 2√ 2 + 4√ 3 C. 2√ 2 + 2√ 3 D. 2√ 2 + √ 3
2 2
8.双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1, 2. 是双曲线右支上一点，且直线 2的斜率为
2．△ 1 2是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. 5 = 1 B. 5 = 1 C. = 1 D. = 1 5 5 2 8 8 2
4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 1: ( 3)
2 + 2 = 1，圆 : 22 + ( )
2 = 16，则下列结论正确的是( )
A. 若 1和 2外离，则 > 2√ 3或 < 2√ 3
B. 若 1和 2外切，则 = ±4
C. 当 = 2时， 1和 2内含
D. 当 = 0时，有且仅有一条直线与 1和 2均相切
2 2
10.已知曲线 的方程为 + = 1( ∈ )，则( )
+2 4
A. 当 = 1时，曲线 为圆
√ 3
B. 当 = 7时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为 = ±
3
C. 当 > 1时，曲线 可能为焦点在 轴上的椭圆
D. 当 = 2时，曲线 为双曲线，其焦距为√ 2

11.已知四棱柱 1 1 1 1的底面是边长为6的菱形， 1 ⊥平面 ， 1 = 3，∠ = ，点 满3
足 = + + 1，其中 ， ， ∈ [0,1]，则( )
A. 当 为底面 1 1 1 1的中心时， + + = 2
3√ 2
B. 当 + + = 1时， 长度的最小值为
2
C. 当 + + = 1时， 长度的最大值为6
D. 当 2 + 2 + = = 1时，| 1 |为定值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0, 2), (0,2)，并且经过点(√ 3, √ 5)，则它的标准方程是___________．
13.已知向量 ， 满足 = (1,1,√ 2)，| | = 2，且| + | = √ 3| |.则 在 上的投影向量的坐标为
_________．
14.已知等腰三角形腰上的中线长为√ 5，则该三角形面积的最大值为_____．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 顶点 (4,0)、 (6,7)、 (0,3)．
(1)求边 的垂直平分线 1的方程；
(2)若直线 2过点 ，且 2的纵截距是横截距的2倍，求直线 2的方程．
16.(本小题12分)
大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢三局的学校获胜，比赛结束).约定比赛规
则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局
3 1 2
甲校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率为 ；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率
4 4 5
3
为 .设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
5
(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
(2)求甲校以3：1获胜的概率．
17.(本小题12分)
在 中，∠ = 90 ， = 6， = 12， , 分别是 , 上的点，满足 // 且 点是 边靠
近 点的三等分点，将 沿 折起到 1 的位置，使 1 ⊥ ， 是 1 的中点，如图所示：
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求 与平面 1 所成角的余弦值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知圆 经过原点和点 (1, 1)，并且圆心在 轴上，圆 与 轴正半轴的交点为 ．
(1)求圆 的标准方程；
(2)设 1 2为圆 的动弦，且 1 2不经过点 ，记 1 2分别为弦 1 2 的斜率．
( )若 1 2 = 1，求 1 2面积的最大值；
( )若 1 2 = 4，请判断动弦 1 2是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.(本小题12分)
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法国著名数学家加斯帕尔 蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是
以椭圆的中心为圆心，√ 2 + 2( 为椭圆的长半轴长， 为椭圆的短半轴长)为半径的圆，这个圆被称为蒙
2 2 √ 6
日圆.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)过点( 1, )，且短轴的一个端点与焦点的连线与 轴所成角的正弦 3
√ 6
值等于 ．
3
(1)求椭圆 的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为2的直线 与椭圆 相切，且与椭圆 的蒙日圆相交于 ， 两点，求 的面积( 为坐标原点
)；
(3)设 为椭圆 的蒙日圆上的任意一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的最小
值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2 2
12.【答案】 + = 1
10 6
1 1 √ 2
13.【答案】( , , )
2 2 2
10
14.【答案】
3
7 3 2
15.【答案】解：(1)由于 = = ， 6 0 3
3
所以 1的斜率为 = ， 中点 的坐标为 (3,5)， 2
3
则由点斜式可得，直线 1的方程为 5 = ( 3)，即3 + 2 19 = 0； 2
7 7
(2)当横、纵截距均为0时， 2的斜率为 ，所以 2的方程为 = ，符合题意； 6 6

当横、纵截距均不为0时，设 2的方程为 + = 1， 2
6 7 19
又 2因为过点 (6,7)，所以 + = 1，解得 = ， 2 2
所以直线 2的方程为2 + 19 = 0，
7
综上，直线 2的方程为 = 或2 + 19 = 0. 6
16.【答案】解：(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
3 3 2 9
甲校连胜3局，概率为 1 = × × = ; 4 4 5 40
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1 1 3 3
乙校连胜3局，概率为 1 = × × = ， 4 4 5 80
9 3 21
故恰好比赛三局，比赛结束的概率 = 1 + 2 = + = ； 40 80 80
(2)甲校以3: 1获胜的情况如下：
①前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
3 2 3 2 27概率为 1 = ( ) × × = ; 4 5 5 200
②前两局甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
3 1 2 2 3
概率为 2 = 2 × × × × = ， 4 4 5 5 50
27 3 39
故甲校以3: 1获胜的概率 = 1 + 2 = + = ． 200 50 200
17.【答案】(1)证明：因为在Rt 中，∠ = 90°， // ，
所以 ⊥ , ⊥ ，
因为折叠前后对应角相等，所以 ⊥ 1 ，
所以 ⊥平面 1 ， ⊥ 1 ，
又 1 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ；
2
(2)解：因为 经过 的重心，故 = = 4，
3
由(1)知 1 ⊥平面 ，以 为 轴， 为 轴， 1为 轴，
建立空间直角坐标系，由几何关系可知， = 4, = 8, 1 = 4√ 3，
故 (0,0,0), (4,0,0), (4,4,0), (0,6,0), 1(0,0,4√ 3), (2,0,2√ 3)，
= (2,0,2√ 3)， 1 = (0,0, 4√ 3), 1 = (4,4, 4√ 3)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 4√ 3 = 0则{ ，即{ ，令 = 1，则 = (1, 1,0)，
1 = 0 4 + 4 4√ 3 = 0
设 与平面 1 所成角的大小为 ，
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则sin = |cos <
| | 2 √ 2 √ 14
, > | = = = ，cos = ，
| | | | 4 √ 2 4 4
√ 14
故 C 与平面 1 所成角的余弦值为 ． 4
18.【答案】解：(1)设圆 的标准方程为( )2 + ( )2 = 2，
2 + 2 = 2;
由已知可得：{(1 )2 + ( 1 )2 = 2;
= 0.
解得： = 1， = 0， = 1，
所以圆 的标准方程为( 1)2 + 2 = 1；
(2) ( )由(1)知 (2,0)，因为 1 · 2 = 1，所以 1 ⊥ 2 ，
从而直线 1 2经过圆心，△ 1 2是直角三角形，且| 1 2| = 2，
设| 1 | = ，|
2 2
2 | = ，则 + = 4，
又4 = 2 + 2 ≥ 2 ，所以 ≤ 2，当且仅当 = = √ 2时取等号，
1
所以( △ ) = = 1； 1 2 max 2
( )由已知得：直线 1 2的斜率必存在，
设直线 1 2的方程为 = + ， 1( 1, 1)， 2( 2, 2)，
= + ,
由{ 2 2 ，消去 得：(
2 + 1) 2 + 2( 1) + 2 = 0，
( 1) + = 1.
2( 1) 2
> 0， 1 + 2 = 2 ，
+1 1
2 = 2 ，(※)
+1
21 2 ( 1+ )( 2+ ) + (
2
又 = = = 1 2 1
+ 2)+
1 2 = 4， 1 2 2 2 ( 1 2)( 2 2) 1 2 2( 1+ 2)+4
即(4 2) 1 2 ( + 8)( 1 + 2) + 16
2 = 0，
代入(※)得：3 2 + 14 + 16 2 = 0，
8
即( + 2 )(3 + 8 ) = 0，解得： = 2 ，或 = ，
3
当 = 2 时，此时直线 1 2的方程为 = ( 2)，过定点 (2,0)(舍去)，
8 8 8
当 = 时，此时直线 1 2的方程为 = ( )，过定点( , 0)， 3 3 3
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8
故当 1 2 = 4，动弦 1 2过定点( , 0)． 3
19. √ 6【答案】解：(1)由已知可得， = ①，
3
2 √ 6 2( )
由椭圆过点 √ 6( 1, )，得( 1) 3
3 2 + 2 = 1 ②

由 ① ②解得 = √ 3， = 1，
于是√ 2 + 2 = 2，所以椭圆 的蒙日圆的方程为 2 + 2 = 4．
2
(2)由(1)知，椭圆 的方程为 + 2 = 1，设直线 的方程为 = 2 + ，
3
= 2 +
由{ 2 2 消去 并整理得，13
2 + 12 + 3( 2 1) = 0，
+ = 1
3
由 = 144 2 42(3 2 3) = 0，得 2 = 13，即| | = √ 13，
则坐标原点 到直线 : 2 + = 0
| | √ 13
的距离 13 2√ 35 = = ，| | = 2√ 22 ( )2 = ，
√ 5 √ 5 5 5
所以 的面积 1 √ 91 △ = | | = ． 2 5
(3)由(1)知，椭圆 的方程为 2 + 3 2 = 3，椭圆 的蒙日圆方程为 2 + 2 = 4，
设 ( 0, 0)，则
2 2
0 + 0 = 4，设 ( , )， ( , )，则
2 + 3 2 = 3， 2 + 3 21 1 2 2 1 1 2 2 = 3，
当切线 的斜率存在时，设 的方程为 = ( 1) + 1，
= ( 1 1)
由{ 2 2 消去 得(3
2 + 1) 2 6 ( 1
2
+ 3 = 3 1
) + 3( 1 1) 3 = 0，
= 36 21 ( 1 1
2 2
1) 12(3 + 1)[( 1 )
2
1 1] = 0，整理得3
2 + 1 ( 1
2
1) = 0，
2 2 1
1
即 (3 1 ) + 2
2
1 1 + 1 1 = 0，则3
2 21 + 2 1 1 +
2
1 = 0，解得 = 3 3
，
1

于是 =
1 ( ) +
3 1 1，即 1 + 3 1 = 3， 1
当切线 的斜率不存在时， (±√ 3, 0)， 的方程为 = √ 3或 = √ 3，满足上式，
因此切线 的方程为 1 + 3 1 = 3，同理切线 的方程为 2 + 3 2 = 3，
将 ( 0, 0)代入切线 ， 的方程，有 1 0 + 3 1 0 = 3， 2 0 + 3 2 0 = 3，
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从而直线 的方程为 0 + 3 0 = 3，当 0 ≠ 0时，
0 + 3 0 = 3
由{ 消去 并整理得：( 2 2 22 2 0 + 3 0 ) 6 0 + 9(1
2) = 0，
+ 3 = 3 0
显然 20 + 3
2
0 ≠ 0， 2 = ( 6
2
0) 4(
2
0 + 3
2
0 ) × 9(1
2
0 ) = 36
2
0(1 + 2
2
0 ) > 0，
6 9(1 2)
1 +
0
2 = 2+3 2，
0
1 2 = 2+3 2
，
0 0 0 0
8 2+4 2(1+2 2)
则| | = √ 1 + (
0)2 | 1 | = √
0 2 0
2 ， 3 9 2
√ ( 1 + 2) 4 1 2 =
0 0 2+
2
0
2
| 2+3 2 3| |1+2 2| √ 1+2 0
又点 ( 0, 0)到直线 的距离 =
0 0 = 0 = ，
2
√ 2+9 2 √ 4+8 20 0 0
(1+2 2)√ 1+2 2
于是 的面积 1 0 0 ， △ = | | =2 2(2+ 20)
3
设 = √ 1 + 2 20 (0 <
2
0 ≤ 4)，则 △ = ， ∈ (1,3]， 2+3
3
令 ( ) = ， ∈ (1,3]，
2+3
1
定义法易证明函数 ( )在(1,3]上单调递增， ( ) > (1) = ，
4
3
当 0 = 0，即 0 = ±2时，由对称性不妨令 0 = 2，直线 : = ， 2
3
= 1 3 1 1 1
由{ 2 ，解得| | = ，| | = 1， = 2 = ， △ = | | = ，
2 + 3 2 = 3 2 2 2 2 4
1
所以 面积的最小值为 ．
4
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