浙江省“南太湖联盟”2024-2025学年高一（上）第二次月考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

浙江省“南太湖联盟”2024-2025 学年高一（上）第二次月考数学试题
（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集 = {2,3,4,5,6}， = {2,4,5}， = {1,3}，则( ) ∪ =( )
A. {1,3} B. {1,3,6} C. {2,3} D. {2,3,6}
3, ≥ 0
2.若 ( ) = { ，则 ( ( 8)) =( )
3(1 ), < 0
A. 1 B. 5 C. 8 D. 27
1 2
3.若 , ∈ ，则“ ”是“ 2 + 2 ”的( )
3 3
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法中正确的是( )
1 1
A. 若 < ，则 > B. 若 > ，则| | > | |

+2
C. 若 > ， > ，则 > D. 若 > > 0，则 >
+2
5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A. { | 60 ≤ ≤ 135 }
B. { |135 ≤ ≤ 300 }
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C. { | 60 + 360 ≤ ≤ 135 + 360 , ∈ }
D. { |135 + 360 ≤ ≤ 300 + 360 , ∈ }
6.往一个高为 的水瓶中注水，直到注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图象如右图所示，那么
水瓶的形状是下图中的( )
A. B. C. D.
( ) ( ) ( )
7.已知定义在 的奇函数 ( )满足① (1) = 0；② 1, 2 ∈ (0, +∞)，且
2 2 1 1
1 ≠ 2， < 0，则 < 2 1
0的解集为( )
A. ( ∞, 1) ∪ (1, +∞) B. ( 1,0) ∪ (0,1)
C. ( ∞, 1) ∪ (0,1) D. ( 1,0) ∪ (1, +∞)
8.已知实数 ， 满足log 3 + = 3 + = 2，则( )
A. 1 < < B. < 1 < C. 1 < < D. < 1 <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
1
A. ∈ ， + = 1 B. > 0， 2 = 2

C. ∈ ， 2 ≥ 1 D. > 0，ln > 0
10.下列四个函数中，定义域与值域相同的是( )
A. = (√ + 1) B. = 2 1
2 +1
C. = D. = 2 2 , ∈ [0,3]
2
11.关于函数 ( ) = |3 1|，实数 1, 2满足 1 < 2，且 ( 1) = ( 2) = ，则下列结论正确的是( )
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A. 0 < < 1 B. 1 < 1
2
1 1 √ 6
C. 若0 < < ，则 1 + 2 < D. 若 < < 1，则 + < 1 2 2 3 1 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某扇形的半径为4，弧长为 ，则该扇形的圆心角为________ ．
4
13. ∈ (3, +∞), + > 2 + 6 恒成立，则实数 的取值范围是_________．
3
1
14.已知 ( ) = 3 (1 + )，对正整数 ，如果 ( )满足： (1) + (2) + (3) + + ( + 1)为整数，则称
为“好数”，由区间[2,81]内所有“好数”组成的集合记为 ，则集合 =__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
化简求值：
1 0
(Ⅰ)√ (√ 2 4)2
( 3)
+ 0. 52 +
√ 2
1
(Ⅱ)2lg5 162 + ( )
1 + 5 0.24
lg4
16.(本小题12分)
已知集合 = { | 2 5 + 6 > 0}， = { | 3 < < 2 + 1}．
(Ⅰ)当 = 2时，求 ∩ ；
(Ⅱ)已知 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，建立平面直角坐标系 ， 轴在地平面上， 轴垂直与地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点
1
.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数 = (1 + 2) 2( > 0)的图像上，其中 与发射的方向有关.炮的
10
射程是指炮弹落地点的横坐标．
(Ⅰ)求炮的最大射程；
(Ⅱ)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为2千米，试问它的横坐标 不超过多少时，炮弹可
以击中它？请说明理由．
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18.(本小题12分)
1+
已知函数 ( ) = ， ( ) = 4 + 2 ．
1
(Ⅰ)判断函数 ( )的奇偶性并证明；
(Ⅱ)判断函数 ( )的单调性并证明；
(Ⅲ)若实数 ， 满足 ( ) + ( ) = 0，求 ( ) + ( )的取值范围．
19.(本小题12分)
我们知道函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有的同学
发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( + )
为奇函数．
(Ⅰ)由上述信息，若 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形，证明： ( ) + (2 ) = 2 ；
(Ⅱ)已知函数 ( ) = 3 3 2，写出 ( )图象的对称中心，并求 ( 2022) + ( 2021) + + (0) + (1) +
(2) + + (2023) + (2024)的值．
(Ⅲ)若函数 ( )具有以下性质：
①定义域为 = [ 2,2]，
② ( )在其定义域内单调递增，
③ ∈ ，都有 ( ) + ( ) = 4.函数 ( ) = ( ) + 3，求使不等式 ( ) + ( + 2) ≥ 4成立的实数 的
取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】
4
13.【答案】( 7,1)
14.【答案】{7,25,79}
√ 2 √ 2
15.【答案】解：( )原式= 4 √ 2 + + = 4；
2 2
1 1
( )原式= lg25 + lg4 log 2 + 5log 14 = lg100 + 5log5
1 1
Ⅱ 24 5 4 = 2 + = 2． 4 4 4
16.【答案】解：(1) ∵ = { | 2 5 + 6 > 0} = { | < 2或 > 3}，
当 = 2时， = { | 1 < < 5}，∴ ∩ = { | 1 < < 2或3 < < 5}
(2) ∵ ∪ = ，∴ ，
若 = ，则 3 ≥ 2 + 1，∴ ≤ 4
3 < 2 + 1
若 ≠ ，有{
2 + 1 ≤ 2 或 3 ≥ 3
> 4
∴ { 1
≤ 或 ≥ 6
2
1
∴ 4 < ≤ 或 ≥ 6
2
1 1
综上所述， ≤ 或 ≥ 6 ∴实数 的取值范围为( ∞, ] ∪ [6, +∞)
2 2
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1
17.【答案】解：(1)在 = (1 + 2) 2( > 0)中，
10
1
令 = 0，得 (1 + 2) 2 = 0．
10
由实际意义和题设条件知 > 0， > 0．
10 10 10
解以上关于 的方程得 = 2 = 1 ≤ = 5，
1+ + 2

当且仅当 = 1时取等号．
所以炮的最大射程是5千米．
(2) ∵ > 0，
1
∴炮弹可以击中目标 存在 > 0，使 (1 + 2) 2 = 2成立 即关于 的方程 2 2 10 + 2 + 20 =
10
0有正根．
由于10 > 0， 2 + 20 > 0，
由韦达定理可知两根之和大于0，两根之积大于0，
所以只需△= 100 2 4 2( 2 + 20) = 20 2 4 4 ≥ 0，
解得0 < ≤ √ 5．
当横 不超过√ 5千米时，炮单可出击中目标．
1
18.【答案】解：(Ⅰ)因为 > 0，解得， 1 < < 1，
1+
所以函数 ( )的定义域为( 1,1)，
1+ 1
任取 1 < < 1，则 ( ) = ln = ln = ( )，
1 1+
所以函数 ( )为奇函数．
(Ⅱ)函数 ( )在 上单调递增，
证明：函数 ( )的定义域为
1， 2 ∈ 且 1 < 2
∵ ( 1) ( ) = 4
1 + 2 12 (4
2 + 2 2)
= 4 1 4 2 + 2 1 2 2
= (2 1 + 2 2) (2 1 2 2) + 2 1 2
2
= (2 1 2 2)(2 1 + 2 2 + 1)，
∵ < ∴ 2 1 < 2 2即2 11 2 2
2 < 0，
又∵ 2 1 + 2 2 + 1 > 0，
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∴ ( 1) ( 2) < 0即 ( 1) < ( 2)，∴ ( )在 上单调递增．
(Ⅲ)由题意 1 < < 1， 1 < < 1，
1 1 1 1
ln + ln = 0，得 ． = 1，解得 + = 0，
1+ 1+ 1+ 1+
所以 ( ) + ( ) = 4 + 2 + 4 + 2
= (2 + 2 )2 + (2 + 2 ) 2，
1 1
令 = 2 + ，由 ∈ ( 1,1)得 < 2 < 2 2 2
1 5
结合对勾函数性质知 = 2 +
2
∈ [2, )，
2
5
令 ( ) = 2 + 2，则 ( )在 ∈ [2, )时单调递增，
2
27
( ) ∈ [4, ).
4
27
所以 ( ) + ( )的取值范围是[4, ).
4
19.【答案】解：( )令 ( ) = ( + ) ，由已知可得 ( ) + ( ) = 0，
即 ( + ) + ( + ) = 0，
∴设 = ，则 ( + ) + ( + ) = 0，
整理得 (2 ) + ( ) = 2 ，即 ( ) + (2 ) = 2 ，
(Ⅱ)设函数 ( ) = 3 3 2图象的对称中心为 ( , )，
= ( + ) = ( + )3 3( + )2
= 3 + 3 2 + 3 2 + 3 3 2 6 3 2
= 3 + (3 3) 2 + (3 2 6 ) + 3 3 2 ，
该函数为奇函数，
3 3 = 0
∴ { 3 2 ， 3 = 0
= 1
∴ { ，
= 2
∴函数 ( ) = 3 3 2图象的对称中心为(1, 2)．
由( )可得 ( ) + (2 ) = 4，
则 ( 2022) + (2024) = 4， ( 2021) + (2023) = 4，
(0) + (2) = 4， (1) = 2．
( 2022) + ( 2021) + + (0) + (1) + (2) + + (2023) + (2024) = 2023 × ( 4) + ( 2) =
8094．
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( ) ∵ ( ) + ( ) = ( ) + 3 + ( ) + ( )3，
由已知条件得 ( ) + ( ) = 4，
∴ ( ) + ( ) = 4．
∵ ( ) + ( + 2) ≥ 4，
∴ ( + 2) ≥ 4 ( )，
又∵ ( ) + ( ) = 4，
∴ 4 ( ) = ( )，
∴ ( + 2) ≥ ( )．
∵ ( )的定义域为[ 2,2]，
∴ ( )的定义域为[ 2,2]，
又∵ ( ) = ( ) + 3且 ( )在其定义域内单调递增，
∴ ( )在定义域[ 2,2]上单调递增，
2 2
∴ { 2 + 2 2,
+ 2
∴ 1 0，
∴实数 的取值范围为[ 1,0]．
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