江西省“三新协同教研共同体”2024-2025学年高二（上）联考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

江西省“三新协同教研共同体”2024-2025 学年高二（上）联考数学试
卷（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线 : = 2( > 0)，则抛物线 的焦点到准线的距离为( )
1 1
A. B. C. 2 D. 4
4 2
2.已知直线 : sin20 + cos20 + 1 = 0，则直线 的倾斜角为( )
A. 20 B. 70 C. 160 D. 110
4√ 5
3.已知向量 = (1,2, 2)， = (2, , 1)，且 在 上的投影数量为 ，则实数 的值为( )
5
6√ 5
A. B. 2√ 5 C. 2√ 5或 2√ 5 D. 2√ 5
5
4.三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有
庐山未被选中的概率为( )
3 8 4 3
A. B. C. D.
4 27 9 32
5.在正方体 中， 1 1 1 1 = + + 1，其中 ， ∈ (0,1]，则直线 1与平面 所
成角的大小为( )
A. 90 B. 45 C. 60 D. 30
6.已知直线 : sin2 + + cos2 = 0( ∈ )与圆 : 2 + 2 = 8相交于 ， 两点，则| |的最小值为( )
A. 2 B. 2√ 7 C. 2√ 6 D. √ 6
2 2
7.已知 为坐标原点，点 在双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)上，点 ， 分别在双曲线 的两条渐近线上，
2
且| | = 4| | = 4，若△ 与△ 的面积之积为 ，则双曲线 的离心率为( )
5
√ 5 √ 5
A. √ 5或 B. 2 C. √ 5 D. 2或
2 2
8.在等腰直角△ 中， = = 2√ 2， 是△ 所在平面内的一点，满足| + + | = 3，则
| |的最小值为( )
1 4
A. 1 B. C. 2√ 3 1 D.
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，
乙不排在周三，则不同的安排方案种数为( )
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A. 7 2 6 + 5 6 1 1 5 1 6 17 6 5 B. 6 + 5 5 5 C. 6 6 5
5
5 D.
6
6 +
4 5
4 5
10.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， 为 轴上一点，且| | = 6，线段 与抛物线 相交于点 ，
= ，则下列结论正确的有( )
A. | | = 8√ 2 B. = 4
C. 直线 的方程为4 + √ 2 8 = 0 D. 以线段 为直径的圆与 轴相切
11.已知正方体 的棱长为2，动点 满足 = + + 1 1 1 1 1 ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0)，
则下列说法正确的是( )
4
A. 当 = ， = 1时，三棱锥 的体积为
3
√ 57
B. 当 + + = 1，且| 1 | = 时，点 的轨迹的长度为2 3
C. 当 ∈ [0,1]， = = 1时，| 1 | + | |的最小值为√ 5
1 9
D. 当 = = 1， = 时，过点 ， ， 的截面面积为
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知 = (2, 4, )是直线 的一个方向向量， = ( 1, , )是平面 的一个法向量，若 ⊥ ，则 +
2
= ．
13.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253
等都是“凸数”.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的
个数为 . (用数字作答)
2 2
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ，过点 且与 轴垂直的直线交
椭圆 于点 ，若 = 2 ，直线 与直线 的交点在 轴上，则椭圆 的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
√ 6
已知双曲线 的中心为坐标原点 ，焦点 1， 2在坐标轴上，离心率为 ，且过点 (2√ 2, 0)． 2
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)过点 作直线与双曲线 的一条渐近线垂直，垂足为 ，求△ 的面积．
16.(本小题12分)
按要求完成下列问题：
(1)从 个不同的小球中取出 个有 种方法，从 个不同的小球中取出 1个有 种方法，从 + 1个不同的
小球中取出 个有 种方法，试判断 + 与 的大小关系，并证明你的结论;
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(2)若 0 1 2 3 2021 3 + 4 + 5 + 6 + + 2024 = 2025，求 的值．
17.(本小题12分)
如图1，等腰直角△ 的斜边 = 4， 为 的中点，沿 上的高 折叠，使得二面角 为60 ，
如图2， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ．
(2)求二面角 的余弦值．
√ 2
(3)试问在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求出线段 的
10
长度;若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上一点 (1,2)，过点 作圆 : ( 2)2 + 2 = 2( > 0)的两条切线，与抛物
线 分别交于 ， 两点．
(1)当 = 1时，求△ 的面积;
(2)证明：直线 过定点．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，定义： ( , ) = | 1 2| + | 1 2|为 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点间的“曼哈顿距
离”．
(1)已知 (2,0)， ( , ) = 2，求| |的取值范围．
(2)我们把到两定点 1( 1,0)， 2(1,0)的“曼哈顿距离”之和为4的点的轨迹记为 ．
①求轨迹 上的动点 与直线2 + 8 = 0上的动点 的“曼哈顿距离”的最小值．
②若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹 的外接椭圆为 .若
， ， ， 这四个点均在椭圆 上，直线 过椭圆 的右焦点，且满足 = ，求四边形 面积的
最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】14
1
14.【答案】
2
2 2
15.【答案】解：(1)由双曲线 过点 (2√ 2, 0)，可设方程为 2 = 1( > 0)， 8
2
2 √ 6则 = 1 + = ( )2，得 2 = 4，
8 2
2 2
∴双曲线 的标准方程为 = 1．
8 4
√ 2
(2)根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线 = ，
2
√ 2
| ×2√ 2|
2 2√ 6 8 4√ 3
有| | = = ，| | = √ 8 = ，
3 3 3
√ 1 +1
2
1 1 4√ 3 2√ 6 4√ 2
∴△ 的面积 △ = × | | × | | = × × = ． 2 2 3 3 3
16.【答案】解：(1) + = ，
证明如下：易知 = ， =
1
， =

+1，
! !
+ = +
1
= + ( )! ! ( + 1)! ( 1)!
! × ( + 1) ! ×
= +
( )! ! × ( + 1) ( + 1)! ( 1)! ×
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! × ( + 1)
=
( + 1)! !
= +1
= ．
(2)原式= 04 +
1
4 +
2 + 3 + + 20215 6 2024
= 15 +
2 3 2021
5 + 6 + + 2024
= 26 +
3
6 + +
2021
2024
=
= 2020 20212024 + 2024
= 20212025
= 42025，
所以 = 4或2021．
17.【答案】解：(1)在图1的等腰直角△ 中， 为 的中点，则 ⊥ ，
所以在图2中，有 ⊥ ， ⊥ ，
又 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
因为 ⊥平面 ，所以∠ 是二面角 的平面角，
即∠ = 60 ，所以△ 为正三角形，
因为 为 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知 (0,0,2)， (√ 3, 1,0)， (0,2,0)， (0,1,0)，
所以 = (√ 3, 1, 2)， = ( √ 3, 0,0)．
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，
√ 3 + 2 = 0,
则{ 所以平面 的一个法向量为 1 = (0,2,1)．
√ 3 = 0,
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同理平面 的个法向量为 2 = ( 1, √ 3, 0)，
1 2 2√ 3 √ 15所以cos < 1 ， 2 >= = = ， | 1|| 2| 2√ 5 5
所以二面角 的余弦值为√ 15．
5
(3) √ 2假设在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
10
= (0, 1,2)， = (0,2, 2)，设 = = (0,2 , 2 )，
则 = + = (0,2 1,2 2 )， ∈ [0,1]，
√ 2 |2(2 1)+2 2 | 1 5
依题意可得 =10 2 2，解得 = 或 = (舍去)，
√ 5×√ (2 1) +(2 2 ) 4 8
所以存在点
√ 2 √ 2
，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时| | = ．
10 2
18.【答案】解：(1)因为点 (1,2)在抛物线 : 2 = 2 上，
所以4 = 2 ，解得 = 2，则抛物线 : 2 = 4 ．
当 = 1时，直线 = 1为圆 的一条切线，
不妨设直线 = 1为直线 ，则 (1, 2)．
设直线 的方程为 2 = ( 1)，即 + 2 = 0．
|2 +2| 3
因为直线 为圆 的切线，所以 = ，即 = 1，解得 = ，
√ 2
4
+1
3 11
则 的方程为 = + ．
4 4
3 11
= + ,
由{ 4 4 得9 2 130 + 121 = 0．
2 = 4 ,
121 121
设 ( 0, 0)，则1 0 = ，解得 0 = ， 9 9
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22 121 22
所以 0 = ，则 ( , ). 3 9 3
3 11
又因为 (1, 2)，所以直线 的方程为 = ，
7 7
3
则| | = √ 1 + ( )2
16√ 58
| 0 | = ， 7 9
17√ 58
又点 到直线 的距离为 ，
58
1 136
所以 △ = | | = ． 2 9
2 2 4
(2)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，若直线 的斜率存在，则斜率为
1 = 12 = ， 1 1 1 +2 1 1
4
4
所以直线 的方程为 2 = ( 1)，化简得4 ( 1 + 2) + 2 +2 1 = 0． ① 1
直线 的斜率不存在时也满足 ①式.
|8+2 |
因为直线 为圆 的切线，所以 1 = ．
√ 2 16+( 1+2)
两边平方展开化简得 2(4 21 ) + 1(32 4
2) + 64 20 2 = 0． ②
又因为点 在抛物线 上，所以 21 = 4 1，
代入 ②式化简得 (4 21 ) + 1(8
2) + 16 5 2 = 0，
同理可得 2(4
2) + 2(8
2) + 16 5 2 = 0，
所以直线 的方程为 (4 2) + (8 2) + 16 5 2 = 0，
整理得 2( 5) + 4 + 8 + 16 = 0．
5 = 0, = 6,
由{ ，得{
4 + 8 + 16 = 0, = 1,
所以直线 过定点( 6,1)．
19.【答案】解：(1)设点 ( , )，则 ( , ) = | 2| + | | = 2，
则当 ≥ 2， ≥ 0时，有 + = 4;
当 < 2， ≥ 0时，有 = 0;
当 ≥ 2， < 0时，有 = 4;
当 < 2， < 0时，有 + = 0．
作出图象，如图所示，
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则| |的取值范围为[√ 2, 2]．
(2) ①设到两定点 1( 1,0)， 2(1,0)的“曼哈顿距离”之和为4的点为 ( , )，
则 的方程为| + 1| + | | + | 1| + | | = 4，即| + 1| + | 1| + 2| | = 4．
画出 的图象，其为六边形，如图所示
作与直线2 + 8 = 0平行且过六边形的左顶点的直线，易得此直线方程为2 + 4 = 0，
在直线2 + 8 = 0上任取一点 ，以 为中心作曼哈顿正方形交直线2 + 4 = 0于 ，
设 ( , )， ( , )，
由 = ，得2 + 4 = 2 + 8，解得 = 2，
所以 ( , ) ≥ | | = 2，
所以轨迹 上的动点 到与直线2 + 8 = 0上的点 的“曼哈顿距离”的最小值为2．
2 2
②由题意可设椭圆 的方程为 +
4 2
= 1，

4
将点(1,1)代入此方程得 2 = ，
3
2 2
所以椭圆 的方程为 3 + = 1．
4 4
因为 = ，
所以四边形 为平行四边形．
设直线 2√ 6 : = + ， ( 1, 1)， ( , )， 3 2 2
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2 3 2
+ = 1,
{ 4 4 2 4√ 6 4由 得( + 3) 2 + = 0，
2√ 6 3 3
= + ,
3
4√ 6
1 + 2 = ,3( 2+3)
则{
4
1 2 = 3( 2
,
+3)
1 2√ 6 4√ 6所以四边形 的面积 = 4 △ = 4 × × × | | = × | |， 2 3 1 2 3 1 2
2 96
2 16 2+1
其中| 1 2| = ( + )
2
1 2 4 1 2 = 2 + 2 = 16 × ， 9( 2+3) 3( +3) ( 2 2+3)
2 1 1
令 = 2 + 1 ≥ 1，则| 1 2| = 16 × 2 = 16 × 4 ≤ 16 × = 2，
( +2) + +4 2√ 4+4

当且仅当 = 2 + 1 = 2，即 = ±1时，等号成立，
所以四边形 面积的最大值为4√ 6 8√ 3× √ 2 =
3 3
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