广西贵百河-武鸣高中2024-2025学年高一（上）新高考月考测试数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

广西贵百河-武鸣高中 2024-2025 学年高一（上）新高考月考测试数学
试题（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = { || 1| < 2}， = { | > 2}，则 ∩ =( )
A. B. { | > 2} C. { | < 3} D. { |2 < < 3}
2.“ = 2”是“ 2 2 = 0”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.任意实数 > 0且 ≠ 1，函数 = log ( 1)的图象恒过 ，则点 的坐标( )
A. (2,0) B. (1,1) C. (1,0) D. (0,1)
2
4.已知 是三角形的一个内角，且sin + cos = ，那么这个三角形的形状为( )
3
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5.函数 = 2 2 的部分图象大致是( )
A.
B.
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C.
D.
6.设 = log 0.6， = 0. 25 0.3， = 0. 6 0.60.5 ，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
2 6 + 6 , 0
7.设函数 ( ) = { ，若互不相等的实数 , , 满足 ( ) = ( ) = (
3 + 4 , < 0 1 2 3 1 2 3
)，则 1 + 2 +
3的取值范围是( )
20 26 20 26 11 11
A. ( , ] B. ( , ) C. ( , 6] D. ( , 6)
3 3 3 3 3 3
8.已知 ( )是定义域为 的单调递增函数， ∈ ， ( ) ∈ ，且 ( ( )) = 3 ，则 (11) =( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 1 的角比1 的角大
B. 与 660 角终边相同的最小正角是30
4
C. 已知某扇形的圆心角是 ，半径是3，则该扇形的面积是6
3
√ 3 1 √ 3
D. 已知角 的终边经过点 ( , )，则cos =
2 2 2
10.下列结论正确的是( )
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A. 若 < < 0，则( 1)2 < ( 1)2
B. 若 ， ∈ ，且 + = 2，则2 + 2 ≥ 4
3 1 1 1
C. √( 4)3 ( )0 + 0. 252 × ( ) 4 = 3
2 √ 2
1 5 5 √ 2
D. lg25 + lg2 + ln√ 3 + sin =
2 4 2
1
11.已知函数 ( ) = log 2(2 + 2 + 2) 2 ，则下列各选项正确的是( ) +1
A. ( )在区间( ∞, 0)上单调递增 B. ( )是偶函数
C. ( )的最小值为1 D. 方程 ( ) = 2 无解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若命题“ > 2025， < ”是假命题，则实数 的取值范围是 ．
13.一种放射性元素，每年的衰减率是10%，那么 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间
) 等于 ．
14.定义：若函数 ( )在区间[ , ]上的值域为[ , ]，则称区间[ , ]是函数 ( )的“完美区间”已知函数
( ) = ln( 1) ln( + 1)，若函数 ( ) = ( ) + ln 存在“完美区间”，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = {0, , 2 3 + 2}，且{2} A.
(1)求实数 的值;
1 1
(2)正实数 ， 满足 + ( + 1) = 2，求 + 的最小值．

16.(本小题12分)
5
已知角 为第二象限的角，且tan = ．
12
(1)求三角函数sin ，cos 的值;
sin( ) cos( + )
(2)求 的值．
cos( 2 ) tan( ) sin( )
2
17.(本小题12分)
2
已知函数 = √ + √ 2 2的定义域为 ．
2+
(1)求 ;
(2)当 ∈ 时，求函数 ( ) = 2(log )22 + log2 的最大值．
18.(本小题12分)
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在经济学中，函数 ( )的边际函数 ( ) = ( + 1) ( )。某公司某月最多生产10台光刻机的某种设备，
16
生产 台( ≥ 1, ∈ )这种设备的收入函数为 ( ) = 2 + 2 + 40(单位千万元)，其成本函数为 ( ) =
40
10 + (单位千万元)．

(1)求该月收入函数 ( )的最小值;
(2)求该月成本函数 ( )的边际函数 ( )的最大值;
(3)求该月生产 台光刻机的这种设备的利润 ( )的最小值．
19.(本小题12分)
函数 ( )和 ( )具有如下性质：①定义域均为 ；② ( )为奇函数， ( )为偶函数；③ ( ) + ( ) = (常
数 是自然对数的底数)．
(1)求函数 ( )和 ( )的解析式；
(2)对任意实数 ，[ ( )]2 [ ( )]2是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
(3)若不等式2 ( ) (2 ) 0对 ∈ [ 2, 3]恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | 2025}
lg0.5
13.【答案】
lg0.9
14.【答案】(3 + 2√ 2, +∞)
15.【答案】解：(1)由{2} 可知，若 = 2，则 2 3 + 2 = 0，
这与 2 3 + 2 ≠ 0相矛盾，所以 ≠ 2；
若 2 3 + 2 = 2得 2 3 = 0即 = 0或 = 3，
因为 ≠ 0，所以 = 3，此时 = {0,3,2}的合题意，
所以 = 3；
(2)由(1)可得 + 4 = 2，且 ， 为正实数，
1 1 1 1 1 1 4 1 9
所以 + = ( + )( + 4 ) = (5 + + ) ≥ (5 + 4) = ，
2 2 2 2
4 2 1
当且仅当 = 且 + 4 = 2，即 = ， = 时，等号成立，
3 3
1 1 9
故 + 的最小值为
2
sin 5 5
16.【答案】解：(1)由tan = = 可得sin = cos ，
cos 12 12
2 25 169 144则sin + cos2 = cos2 + cos2 = cos2 = 1，所以cos2 = ，
144 144 169
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12 5
又角 为第二象限的角，则cos < 0，则cos = , sin = ．
13 13
sin +cos sin +cos 17
(2)原式= = = ．
cos ( tan ) cos sin cos 7
2
0(1)
17.【答案】解：(1)依题意得{2+ 解(1)得 2 < ≤ 2，解(2)得 ≥ 1，
2 2 0(2)
所以所求定义域 = [1,2]．
(2)令log2 = 由1 ≤ ≤ 2知0 ≤ ≤ 1，
2
则原函数可变为 = 2 2 + (0 ≤ ≤ 1)，即 = 2( + )2 (0 ≤ ≤ 1)．
4 8
1 2
∴当 ≤ 即 ≥ 2时， max = 2(1 + )
2 = 2 + ．
4 2 4 8
1 2
当 > 即 < 2时， = 2(0 + )2 = 0
4 2 max 4 8
2 + , ≥ 2
∴ max( ) = { ． 0, < 2
16
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 2 + 2 + 40，1 ≤ ≤ 10， ∈
．

16 16
∴ ( ) ≥ 2√ 2 2 + 40 = 48，当且仅当
2 = 2，即 = 2时等号成立．
∴当 = 2时， ( ) = 48(千万元)．
(2) ( ) = ( + 1) ( )，1 ≤ ≤ 9， ∈ ．
40 40 40
∴ ( ) = 10( + 1) + 10 = 10 ，1 ≤ ≤ 10， ∈ ．
+1 ( +1)
由函数单调性可知： ( )在1 ≤ ≤ 10， ∈ 单调递增，
40 106
∴当 = 10时， ( )max = 10 = ． 10×11 11
16 40 4 4
(3) ( ) = ( ) ( ) = 2 + 2 + 40 (10 + ) = ( + )
2 10( + ) + 32，

4
则 ( ) = ( + 5)2 + 7，1 ≤ ≤ 10， ∈

4
令 ( ) = + ，则 ( )在[1,2]上递减，在[2,10]上递增，

52
且 (1) = 5， (10) = ， (2) = 4，
5
52
∴ ( ) ∈ [4, ]，
5
4
于是当 = + = 5时， ( )取得最小值，

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4
由 + = 5，得 2 5 + 4 = 0，解得 = 4或 = 1，

∴当 = 4或 = 1时， ( ) = 7(千万元)．
19.【答案】解：(1)由性质③知 ( ) + ( ) = ，则 ( ) + ( ) = ，
由性质②知 ( ) = ( )， ( ) = ( )，故 ( ) + ( ) = ，
( ) + ( ) =
则{ ,
( ) + ( ) =
+
解得 ( ) = ， ( ) = ；
2 2
+
(2)由(1)可得[ ( )]2 [ ( )]2 = ( )2 ( )2
2 2
2 + 2 +2 2 + 2 2
= = 1，
4 4
对任意实数 ，[ ( )]2 [ ( )]2的值为定值1;
2 + 2 2 ( )
(3)因为 (2 ) = > 0，所以2 ( ) (2 ) 0 ，
2 (2 )
2 ( ) 2( ) 2( )
而 = 2 2 = 2 ， ∈ [ln2, ln3]， (2 ) + ( ) +2
令 = ，易知 =
3 8
在 ∈ [ln2, ln3]上单调递增，所以 ∈ [ , ]，
2 3
2 3 8 2
记 ( ) = 2 , ∈ [ , ]，则 ( ) = +2 2 3 2
，
+

2 3
因为当 = , > 0时 = √ 2，且 > √ 2，
2
2 3 8 3 8
故由对勾函数性质可得 + 在[ , ]上单调递增， ( ) 在[ , ]上单调递减， 2 3 2 3
8 24 24 24
所以 ( )min = ( ) = ，因此 ( )min = ，故 的取值范围是( ∞, ]． 3 41 41 41
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