贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

贵州省遵义市 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ 4}， = { |1 > 0}，则 ∩ =( )
A. [ 2,1) B. (1,2] C. [0,1) D. ( ∞,1)
2.(1 )(3 )在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知命题 ： ∈ ， 2 + 1 ≤ 0，命题 ： ≥ 0， ≥ ，则( )
A. 和 都是真命题 B. ￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D. ￢ 和￢ 都是真命题
4.已知向量 = (5,1,3)， = (9,8,5)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
68 17 23 13
A. B. C. D.
35 9 12 7
5.已知角 的终边经过点(1, 3)，则 2 的值为( )
3 3 4 4
A. B. C. D.
4 4 3 3
+ 1, < 2
6.已知函数 ( ) = { 1( + 1), ≥ 2，在 上单调递减，则 的取值范围是( )
3
A. ( ∞, 0] B. (0,1] C. ( ∞, 1] D. [ 1,0)
7.如图，在棱长为3的正四面体 中， 为△ 的中心， 为 的中点， =
1
，则 =( )
3
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
8.如图，已知 1为某建筑物的高， 1， 1分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高， 1， 1， 1分别
为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上， ， ， 分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得 1 1 = 80
米， 1 = 86米，∠ 1 1 1 = 48.60°，∠ 1 1 1 = 30°，在 点测得 点的仰角为33.69°，在 点测得 点的仰
角为51.34°，则该建筑物的高 1约为( )(参考数据： 33.69° ≈ 0.667， 51.34° ≈ 1.250， 48.60° ≈
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0.750)
A. 268米 B. 265米 C. 266米 D. 267米
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 1， 2是方程
2 6 + 10 = 0的两个根，则( )

A. 1 + 2 = 6 B. 1 2为纯虚数 C. | 1| = | 2| D. 1 = 2

10.已知函数 ( ) = 2sin(4 )，则下列说法正确的是( )
3

A. 点( , 0)是 ( )图象的一个对称中心
12
5
B. ( )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈
24 24

C. ( )在( , ]上的值域为[ 2,√ 3]
12 6
1
D. 将 ( )的图象先向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，得到函数
24 2
( )的图象，则 ( ) = cos8
11.已知球 的半径为 ，则( )
A. 球 的内接正方体的内切球表面积为2 2
4√ 3
B. 球 的内接正方体的内切球体积为 3
27
1
C. 球 的内接正四面体的内切球半径为
3
√ 3
D. 球 的内接正四面体的内切球半径为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是______．
13.已知点 (0,1,1)， (3, 1,2)， ( 1,4, 1)， (3,6, )，若 ， ， ， 四点共面，则 = ______．
14.已知函数 ( ) = + 2与 ( ) = + 的图像恰有一个交点，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)

在四棱柱 1 1 1 1中， // ， ⊥ ，∠ 1 = ∠ 1 = ， 3 1 = = 2 = 2 = 2，
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点 满足 1 = 2 ．
(1)若 = + 1 + ，求 + + 的值；
(2)求| |.
16.(本小题12分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知√ 3sin cos = 2．
(1)求角 :
(2)若 = 3，求△ 的面积的最大值．
17.(本小题12分)
已知四棱锥 的底面 是梯形， ⊥平面 ， // ， = √ 2， = 1， = 2 = 2，
= 1， 为 的中点．
(1)证明： //平面 ．
(2)求四棱锥 的体积．
18.(本小题12分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知√ 2 ( + ) + = 0．
(1)求角 ；
1
(2)若 = √ 5， △ = ，求△ 的周长； 2

(3)若 = ， ， 是边 上的两点，且∠ = ∠ = ，求 的值．
4
19.(本小题12分)
如图，在几何体 中，已知四边形 是边长为2的正方形， ⊥平面 ， // ， = 2 = 2．
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(1)求异面直线 与 所成角的余弦值．
(2)证明：平面 ⊥平面 ．
(3)若 是几何体 内的一个动点，且 = ( +
1
) + (1 2 ) (0 ≤ ≤ ).点 满足 + ( +
2
) = + + ， = 2，求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
5
13.【答案】 3
14.【答案】1
15.【答案】解：(1)连接 1，
因为 1 = 2 ，
1所以 = + = +
3 1
=
1 1
+ ( ) =
2
+ 1 1 3 3 3
1
=
1 2
+
3 3 1
+ ，
3
1 1 2 4
则 + + = + + = ；
3 3 3 3

(2)由题意， ⊥ ，∠ 1 = ∠ 1 = ， 3
1 = = 2 = 2 = 2，
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1 1
则 1 = 1 × 2 × = 1， = 0， 1 = 2 × 2 × = 2， 2 2
所以|
1 1 2
| = | + 1 + | 3 3 3
2 2 2
√ 1 1 4 2 4 4= + + + + + 1 1 1 9 9 9 9 9 9
1 1 4 2 4 4 √ 31
= √ + × 4 + × 4 + × 1 + × 0 + × 2 = ．
9 9 9 9 9 9 3
√ 3 1
16.【答案】解：(1)由√ 3sin cos = 2，可得 sin cos = 1，即sin( ) = 1，
2 2 6
2
因为 ∈ (0, )，所以 = ，解得 = ；
6 2 3
(2)由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + = 9，
因为 2 + 2 ≥ 2 ，所以3 ≤ 9，
即 ≤ 3，当且仅当 = = √ 3时，等号成立，
1 3√ 3
故△ 的面积的最大值为 sin = ．
2 4
17.【答案】解：(1)证明：令 为 的中点，连接 ， ．
1
由于 为 的中点，因此 = ， // ，
2
又因为 // ， = 2 ，因此 = ， // ，
因此四边形 为平行四边形，因此 // ．
由于 平面 ， 平面 ，
因此 //平面 ．
(2)令 为 的中点，连接 ，所以 // ， = ，
因此四边形 为平行四边形，因此 = 1，
因此 2 + 2 = 2，因此 ⊥ ．
1 3
所以梯形 的面积为 × (1 + 2) × 1 = ，
2 2
1 3 1
所以四棱锥 的体积为 × × 1 = ．
3 2 2
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18.【答案】解：(1)因为√ 2 ( + ) + = 0，
所以由正弦定理可得√ 2 ( + ) + = 0，
所以√ 2 ( + ) = ，
所以√ 2 = ，因为 ∈ (0, )，
√ 2
则 > 0， = ，又因为 ∈ (0, )，
2
3
所以 = ；
4
1 1 √ 2 1
(2)因为 △ = ，所以 = ，则 = √ 2， 2 2 2 2
又因为 2 + 2 2 = 2，所以 2 + 2 = 3，
故( + )2 = 3 + 2√ 2，得 + = 1 + √ 2，
所以△ 的周长为1 + √ 2 + √ 5；

(3)因为 = , ∠ = ∠ = , = ，
4
所以△ △ ，则 = ，
1
∠
因为 = △ = 21 = √ 2， △ ∠
2
1
所以 = = (√ 2 1) ，
√ 2+1
2
则 = = 1 2(√ 2 1) = 3 2√ 2，

1
∠
因为 = △ = 2 = √ 2，
1△ ∠
2
1
所以 = = (√ 2 1) ，
√ 2+1
2
则 = = 1 2(√ 2 1) = 3 2√ 2．

19.【答案】解：(1)由四边形 是正方形， ⊥平面 ，
可得 ， ， 两两垂直，故以 为坐标原点，
， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
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则 (0,2,0)， (2,2,1)， (0,0,2)， (2,0,0)，
则 = (2,0,1)， = (2,0, 2)，

所以cos < ,
2 √ 10
>= = = ，
| || | √ 5×√ 8 10
故异面直线 与 所成角的余弦值为√ 10；
10
(2)证明：取 的中点 ，连接 ， ，则 (1,1,0)，
所以 = ( 1, 1,2)， = (1,1,1)， = (2,2, 1)， = (0,2, 2)，
所以 = | | = √ 6， = | | = √ 3， = | | = 3，
则 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 = | | = 2√ 2， = | | = 2√ 2，则 = ，
又 为 中点，所以 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
1
(3)因为 = ( + ) + (1 2 ) = 2 + (1 2 ) (0 ≤ ≤ )，
2
所以 在线段 上，
因为 + ( + ) = + + ，
所以 = + ，故 在平面 上，
2
= ( + ) ( + ) = + ( + )，
设 为 的中点，
所以 = ( + ) ( + ) = 2 + 2 ，
因为 = 2，所以| | = 1，
故 ≥ √ 2，所以 的最小值为2 2√ 2．
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