浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题
1．（2024高三上·金华期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为不等式，
所以，解得，
则，
又因为，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法得出x的取值范围，从而得出集合，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高三上·金华期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用复数的除法运算法则，从而计算得出.
3．（2024高三上·金华期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
故，，故，
因为，故，
故.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性以及借助中间量比较法，从而比较出a，b，c的大小.
4．（2024高三上·金华期末）若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，即，
令，则，即，
故，
即，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和赋值法，从而令、和作差法，进而得出的值.
5．（2024高三上·金华期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，又因为，
故，
则80分以上的人数大约是人.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合概率的基本性质，从而得出的值，再结合频率和概率的关系和频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出80分以上大约的人数.
6．（2024高三上·金华期末）在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：因为，，
所以均为锐角，
又因为，
则且，
则为锐角，故为锐角三角形，充分性成立；
若为锐角三角形，则，
故，
故，必要性成立；
综上所述，是“为锐角三角形”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合三角函数值在各象限的符号和两角和的余弦公式，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．（2024高三上·金华期末）若，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设，则，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】由角之间的关系得到，再利用两角差的正切公式，设，结合基本不等式求最值的方法，注意取等号的条件，从而得出的最大值.
8．（2024高三上·金华期末）已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：令，则，故在定义域内单调递增，
又因为，故为奇函数，
由，可得，
故有，，
又因为在定义域内单调递增且为奇函数，
故有，即，即，
故，
又因为，即，
故.
故答案为：A.
【分析】构造函数，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合奇偶性的定义可得函数在定义域内单调递增且为奇函数，由可得，从而得到，再利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式以及借助，从而得到，进而由等差数列的性质得出公差的取值范围，则找出正确的选项.
9．（2024高三上·金华期末）设平面向量，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．， D．，使
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A正确；
对于B：若，，，
所以，所以，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：若，则，等式不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值，则判断出选项A；利用t的值得出向量的坐标，再结合向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0的等价关系以及数量积的坐标表示，从而判断出选项B；利用向量的模的坐标表示和二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项C；利用向量共线的坐标表示，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·金华期末）已知函数的图象经过点与，则（ ）
A．是的最大值 B．是的最小值
C． D．在单调递增
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由函数的图象经过点，故有，
即或，
又因为，故，
由函数的图象经过点，故，
又因为，故.
对于A：，
，故A正确；
对于B：，
，故B错误；
对于C：，
故C正确；
对于D：当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意结合代入法以及，从而计算出的值和，从而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值，则判断出选项C，由正弦型函数的图象求最值的方法，从而判断出选项A和选项B；利用x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·金华期末）已知函数，．（ ）
A．若，则
B．若，则
C．对于，若，则
D．对于，若，则
【答案】C,D
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A：若，则，，故A错误；
对于B：若，
则，，，故B错误；
对于C：若，则，，
又因为，故，故，即，
即恒成立，故，故C正确；
对于D：若，
则，，
又因为，故恒成立，
即，
故，
即恒成立，
故，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意计算出、，则可判断出选项A和选项B；结合题意计算出、后，借助及对数运算法则变形后，得到恒成立和恒成立，从而解出对应的和的值，则判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·金华期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．则的面积最小值为 D．则的面积大于
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，如图1，
设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又因为，，
则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，
又因为，，即，
又因为，则为等边三角形，
所以且，，故B正确；
对于C，分两种情况：
当点都在第一象限，如图1所示，设，，
由焦半径公式可得，，
，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第四象限时，如图2所示，
设，，则，，
所以，
同理，令，且，
，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上所述，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，
则，所以，
即，，
当点在第四象限时，如图2所示，
同理可得，即，
，
综上所述，三角形的面积大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似对应边成比例，则可得的值，则判断出选项A；利用两三角形全等的判断方法，易证，可得为等边三角形，则得出AF的长，从而判断出选项B；分点在第一象限和第四象限两种情况，由焦半径公式求出的值，再由三角形的面积公式表示出，从而利用三角函数值和二次函数的图象求最值的方法，从而求出三角形的面积的最小值，则判断出选项C；分点在第一象限和第四象限两种情况，由焦半径公式求出的值，从而比较大小，可证出，再结合三角形的面积公式得出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．（2024高三上·金华期末）双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程可知，，则
渐近线方程.
故答案为：y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与b的取值，从而即可得出渐近线的方程。
14．（2024高三上·金华期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面积是侧面展开图对应的扇形的面积，
所以，该圆锥的侧面积.
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积是侧面展开图对应的扇形的面积，再结合扇形的面积公式，从而计算出该圆锥的侧面积.
15．（2024高三上·金华期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ．
【答案】0.6
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】解：设电价定为元，，
则由题意可得，
整理可得，又因为，
故，即，
故最低的电价可定为.
故答案为：.
【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，再解一元二次不等式和，从而得出x的取值范围，进而得出最低的电价.
16．（2024高三上·金华期末）直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，取、中点、，连接，
由题意可得平面且平面，
，，
在线段上取，
由，故，
故点、分别是与外接圆圆心，
又因为，平面、平面，
故点到三棱锥四个顶点距离相等，点到三棱锥四个顶点距离相等，
即点、分别为三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心，
则三棱锥的外接球半径为，
三棱锥的外接球半径为，
由三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，
故.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，作出图形后，再结合题意可得三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心所处位置和半径的长，再结合球外切的性质，从而计算可得的长.
17．（2024高三上·金华期末）浙江省普通高中学业水平考试分五个等级，剔除等级，等级的比例分别是，现从当年全省数学学考四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．
（1）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；
（2）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件为抽取的4份试卷中没有等级的试卷，事件为抽取的4份试卷中有等级的试卷，求．
【答案】（1）解：由题意可得：，，，
所以，样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．
（2）解：因为，，
所以.
【知识点】分层抽样方法；条件概率
【解析】【分析】（1）根据题意结合分层抽样的方法，从而分别求出样本中A，B，C，D各等级的试卷份数.
（2）根据已知条件和条件概率公式，从而得出的值.
（1）由题意可得：，，，，
所以样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．
（2）因为，，
所以.
18．（2024高三上·金华期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求角；
（2）求．
【答案】（1）解：因为，
∴，则．
（2）解：由余弦定理及可得，
∴，
则．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、商数关系，从而可得的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由余弦定理和已知条件，从而得出边的比例，再结合正弦定理得出的值.
（1），
∴，则．
（2）由余弦定理可得，
∴，则．
19．（2024高三上·金华期末）如图在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，现将绕翻折至的位置，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当平面垂直于平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：∵在等腰梯形中，，
∴，，
又因为为的中点，
∴，及均为正三角形，
因为，∴，
∵为的中点，∴，，三点共线，，
又因为为的中点，∴，
连接交于，连，易得为的中点，
∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，
故平面.
（2）解：∵平面平面，为交线，，
又因为平面，∴平面，
以，，所在射线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，所以，
易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的结构特征和正三角形的结构特征，结合中点的性质得出三点共线，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质得出线线平行，由线线平行得出线面平行，即证出平面.
（2）利用面面垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）∵在等腰梯形中，，∴，，
又为的中点，∴，及均为正三角形，
而，∴，∵为的中点，∴，，三点共线，，
又为的中点，∴，
连接交于，连，易得为的中点，
∴为的中位线，∴．
又∵平面，平面，
故平面；
（2）∵平面平面，为交线，，又平面
∴平面．
以，，所在射线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，令，所以，
易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则有．
平面与平面夹角的余弦值为.
20．（2024高三上·金华期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
【答案】（1）解：∵是等差数列，，，
∴，，
∵，，构成等比数列，
∴，
化简可得，∴，
所以．
（2）解：∵，，，
又因为数列为等比数列，∴，
因为，
∴，
∴，
所以，
设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，
化简可得：，
又因为等差数列的前项和为，
综上可得，．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项公式，从而列方程得出公差的值，再由等差数列的通项公式得出.
（2）由已知条件和等比数列的性质，利用（1）中数列的通项公式，从而由代入法求出数列的通项公式，再由错位相减法和等差数列的前和公式，从而得出数列的前项和.
（1）∵是等差数列，，，∴，．
∵，，构成等比数列，∴，
化简可得，∴，所以．
（2）∵，，，
又数列为等比数列，∴，
而，∴，∴，
所以，设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，化简可得
又因为等差数列的前项和为，
综上可得．
21．（2024高三上·金华期末）已知函数在定义域上不是单调函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
，
由得：，
设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又因为，设的两根为，，
则由可得：
有两个不相等的正实根，且．
（2）解：由（1）可知：
，
，
令，所以，
因为，单调递减，
所以，
故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则，从而得出，再根据二次函数在区间上有正有负和韦达定理以及判别式法，从而列出a的不等式，解不等式得出实数的取值范围.
（2）根据（1）将表示为仅含的形式，再利用换元法、构造函数法，再结合导数来求得的取值范围．
（1）函数的定义域为，，
由得：，设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又，设的两根为，，
则由可得：有两个不相等的正实根，且．
（2）由（1）可知：
，
．
令，所以，
因为，
所以，
故．
22．（2024高三上·金华期末）已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．
（1）证明：，有相同的离心率；
（2）若直线与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．
【答案】（1）证明：设，，
由得，∴，
即的轨迹方程为，
同理可得的轨迹方程为，
所以，的离心率均为.
（2）解：依题意，如图所示：
设，分别为，，联立，
消去得，
则，，，
则，
同理可得，，
∴
，
令，，，，
当时，，，则，
则
，
因为且，
所以，，，
所以，
所以在上单调递减，
所以，当时，，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量共线定理，从而得出的轨迹方程，同理可得的轨迹方程，再结合圆锥曲线的离心率公式，从而得出，的离心率，进而证出，有相同的离心率.
（2）联立直线与曲线的方程，再利用弦长公式可得、、，即可得，再令，，通过构造函数，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而比较出与的大小.
（1）设，，由得，
∴，即的轨迹方程为，
同理可得的轨迹方程为，
所以，的离心率均为，
（2）设，分别为，，
联立，消去得，
则，，，
则，
同理可得，，
∴
，
令，，，，
当时，，，则，
则
，
因为且，所以，，，
所以，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
.
1 / 1浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题
1．（2024高三上·金华期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·金华期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·金华期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·金华期末）若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
5．（2024高三上·金华期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
参考数据：若，则
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
6．（2024高三上·金华期末）在中，“”是“为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高三上·金华期末）若，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2024高三上·金华期末）已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2024高三上·金华期末）设平面向量，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．， D．，使
10．（2024高三上·金华期末）已知函数的图象经过点与，则（ ）
A．是的最大值 B．是的最小值
C． D．在单调递增
11．（2024高三上·金华期末）已知函数，．（ ）
A．若，则
B．若，则
C．对于，若，则
D．对于，若，则
12．（2024高三上·金华期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，，，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．则的面积最小值为 D．则的面积大于
13．（2024高三上·金华期末）双曲线的渐近线方程为 ．
14．（2024高三上·金华期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．
15．（2024高三上·金华期末）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到之间，而用户期望电价为．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）．该地区的电力成本价为．已知，为保证电力部门的收益比上年至少增长，则最低的电价可定为 ．
16．（2024高三上·金华期末）直三棱柱中，，，，分别是棱，上一点，且，若三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，则的长为 ．
17．（2024高三上·金华期末）浙江省普通高中学业水平考试分五个等级，剔除等级，等级的比例分别是，现从当年全省数学学考四个等级的考生试卷中按分层抽样的方法随机抽取20份试卷作为样本分析答题情况．
（1）分别求样本中A，B，C，D各等级的试卷份数；
（2）从样本中用简单随机抽样的方法（不放回）抽取4份试卷，记事件为抽取的4份试卷中没有等级的试卷，事件为抽取的4份试卷中有等级的试卷，求．
18．（2024高三上·金华期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
（1）求角；
（2）求．
19．（2024高三上·金华期末）如图在等腰梯形中，，，，，，分别为，，的中点，现将绕翻折至的位置，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）当平面垂直于平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
20．（2024高三上·金华期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
21．（2024高三上·金华期末）已知函数在定义域上不是单调函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围．
22．（2024高三上·金华期末）已知点是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．
（1）证明：，有相同的离心率；
（2）若直线与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为不等式，
所以，解得，
则，
又因为，
则.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和绝对值不等式求解方法得出x的取值范围，从而得出集合，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】利用复数的除法运算法则，从而计算得出.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
故，，故，
因为，故，
故.
故答案为：B.
【分析】利用对数函数的单调性和指数函数的单调性以及借助中间量比较法，从而比较出a，b，c的大小.
4．【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：令，则，即，
令，则，即，
故，
即，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和赋值法，从而令、和作差法，进而得出的值.
5．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意可得，又因为，
故，
则80分以上的人数大约是人.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合概率的基本性质，从而得出的值，再结合频率和概率的关系和频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出80分以上大约的人数.
6．【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：因为，，
所以均为锐角，
又因为，
则且，
则为锐角，故为锐角三角形，充分性成立；
若为锐角三角形，则，
故，
故，必要性成立；
综上所述，是“为锐角三角形”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，结合三角函数值在各象限的符号和两角和的余弦公式，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以，
设，则，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】由角之间的关系得到，再利用两角差的正切公式，设，结合基本不等式求最值的方法，注意取等号的条件，从而得出的最大值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：令，则，故在定义域内单调递增，
又因为，故为奇函数，
由，可得，
故有，，
又因为在定义域内单调递增且为奇函数，
故有，即，即，
故，
又因为，即，
故.
故答案为：A.
【分析】构造函数，利用求导的方法判断函数的单调性，再结合奇偶性的定义可得函数在定义域内单调递增且为奇函数，由可得，从而得到，再利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式以及借助，从而得到，进而由等差数列的性质得出公差的取值范围，则找出正确的选项.
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A：当时，，故A正确；
对于B：若，，，
所以，所以，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：若，则，等式不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出t的值，则判断出选项A；利用t的值得出向量的坐标，再结合向量的坐标运算和两向量垂直数量积为0的等价关系以及数量积的坐标表示，从而判断出选项B；利用向量的模的坐标表示和二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项C；利用向量共线的坐标表示，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由函数的图象经过点，故有，
即或，
又因为，故，
由函数的图象经过点，故，
又因为，故.
对于A：，
，故A正确；
对于B：，
，故B错误；
对于C：，
故C正确；
对于D：当时，，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意结合代入法以及，从而计算出的值和，从而得出函数的解析式，再利用代入法得出函数的值，则判断出选项C，由正弦型函数的图象求最值的方法，从而判断出选项A和选项B；利用x的取值范围和不等式的基本性质以及正弦型函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】C,D
【知识点】函数恒成立问题；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A：若，则，，故A错误；
对于B：若，
则，，，故B错误；
对于C：若，则，，
又因为，故，故，即，
即恒成立，故，故C正确；
对于D：若，
则，，
又因为，故恒成立，
即，
故，
即恒成立，
故，即，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】由题意计算出、，则可判断出选项A和选项B；结合题意计算出、后，借助及对数运算法则变形后，得到恒成立和恒成立，从而解出对应的和的值，则判断出选项C和选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，如图1，
设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
又因为，，
则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，易证，
又因为，，即，
又因为，则为等边三角形，
所以且，，故B正确；
对于C，分两种情况：
当点都在第一象限，如图1所示，设，，
由焦半径公式可得，，
，
令，
设，且，
，当且仅当时取得最小值.
当点在第四象限时，如图2所示，
设，，则，，
所以，
同理，令，且，
，
所以，当且仅当时取得最小值，
综上所述，面积的最小值为，故C错误；
对于D，当点都在第一象限，如图1所示，，，
则，所以，
即，，
当点在第四象限时，如图2所示，
同理可得，即，
，
综上所述，三角形的面积大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，由相似对应边成比例，则可得的值，则判断出选项A；利用两三角形全等的判断方法，易证，可得为等边三角形，则得出AF的长，从而判断出选项B；分点在第一象限和第四象限两种情况，由焦半径公式求出的值，再由三角形的面积公式表示出，从而利用三角函数值和二次函数的图象求最值的方法，从而求出三角形的面积的最小值，则判断出选项C；分点在第一象限和第四象限两种情况，由焦半径公式求出的值，从而比较大小，可证出，再结合三角形的面积公式得出，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
13．【答案】y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程可知，，则
渐近线方程.
故答案为：y=±2x（±2x+y=0，或2x±y=0或±2x-y=0）
【分析】根据题意由双曲线的简单性质求出a与b的取值，从而即可得出渐近线的方程。
14．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为圆锥的侧面积是侧面展开图对应的扇形的面积，
所以，该圆锥的侧面积.
故答案为：.
【分析】根据圆锥的侧面积是侧面展开图对应的扇形的面积，再结合扇形的面积公式，从而计算出该圆锥的侧面积.
15．【答案】0.6
【知识点】一元二次不等式的实际应用
【解析】【解答】解：设电价定为元，，
则由题意可得，
整理可得，又因为，
故，即，
故最低的电价可定为.
故答案为：.
【分析】设出电价定为元，由题意可得不等式，再解一元二次不等式和，从而得出x的取值范围，进而得出最低的电价.
16．【答案】4
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示，取、中点、，连接，
由题意可得平面且平面，
，，
在线段上取，
由，故，
故点、分别是与外接圆圆心，
又因为，平面、平面，
故点到三棱锥四个顶点距离相等，点到三棱锥四个顶点距离相等，
即点、分别为三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心，
则三棱锥的外接球半径为，
三棱锥的外接球半径为，
由三棱锥的外接球与三棱锥的外接球外切，
故.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件，作出图形后，再结合题意可得三棱锥的外接球与三棱锥的外接球球心所处位置和半径的长，再结合球外切的性质，从而计算可得的长.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，，，
所以，样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．
（2）解：因为，，
所以.
【知识点】分层抽样方法；条件概率
【解析】【分析】（1）根据题意结合分层抽样的方法，从而分别求出样本中A，B，C，D各等级的试卷份数.
（2）根据已知条件和条件概率公式，从而得出的值.
（1）由题意可得：，，，，
所以样本中A，B，C，D各等级的试卷份数分别是1，3，8，8．
（2）因为，，
所以.
18．【答案】（1）解：因为，
∴，则．
（2）解：由余弦定理及可得，
∴，
则．
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、商数关系，从而可得的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）由余弦定理和已知条件，从而得出边的比例，再结合正弦定理得出的值.
（1），
∴，则．
（2）由余弦定理可得，
∴，则．
19．【答案】（1）证明：∵在等腰梯形中，，
∴，，
又因为为的中点，
∴，及均为正三角形，
因为，∴，
∵为的中点，∴，，三点共线，，
又因为为的中点，∴，
连接交于，连，易得为的中点，
∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，
故平面.
（2）解：∵平面平面，为交线，，
又因为平面，∴平面，
以，，所在射线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，所以，
易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的结构特征和正三角形的结构特征，结合中点的性质得出三点共线，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质得出线线平行，由线线平行得出线面平行，即证出平面.
（2）利用面面垂直证出线面垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）∵在等腰梯形中，，∴，，
又为的中点，∴，及均为正三角形，
而，∴，∵为的中点，∴，，三点共线，，
又为的中点，∴，
连接交于，连，易得为的中点，
∴为的中位线，∴．
又∵平面，平面，
故平面；
（2）∵平面平面，为交线，，又平面
∴平面．
以，，所在射线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，令，所以，
易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则有．
平面与平面夹角的余弦值为.
20．【答案】（1）解：∵是等差数列，，，
∴，，
∵，，构成等比数列，
∴，
化简可得，∴，
所以．
（2）解：∵，，，
又因为数列为等比数列，∴，
因为，
∴，
∴，
所以，
设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，
化简可得：，
又因为等差数列的前项和为，
综上可得，．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项公式，从而列方程得出公差的值，再由等差数列的通项公式得出.
（2）由已知条件和等比数列的性质，利用（1）中数列的通项公式，从而由代入法求出数列的通项公式，再由错位相减法和等差数列的前和公式，从而得出数列的前项和.
（1）∵是等差数列，，，∴，．
∵，，构成等比数列，∴，
化简可得，∴，所以．
（2）∵，，，
又数列为等比数列，∴，
而，∴，∴，
所以，设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，化简可得
又因为等差数列的前项和为，
综上可得．
21．【答案】（1）解：因为函数的定义域为，
，
由得：，
设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又因为，设的两根为，，
则由可得：
有两个不相等的正实根，且．
（2）解：由（1）可知：
，
，
令，所以，
因为，单调递减，
所以，
故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则，从而得出，再根据二次函数在区间上有正有负和韦达定理以及判别式法，从而列出a的不等式，解不等式得出实数的取值范围.
（2）根据（1）将表示为仅含的形式，再利用换元法、构造函数法，再结合导数来求得的取值范围．
（1）函数的定义域为，，
由得：，设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又，设的两根为，，
则由可得：有两个不相等的正实根，且．
（2）由（1）可知：
，
．
令，所以，
因为，
所以，
故．
22．【答案】（1）证明：设，，
由得，∴，
即的轨迹方程为，
同理可得的轨迹方程为，
所以，的离心率均为.
（2）解：依题意，如图所示：
设，分别为，，联立，
消去得，
则，，，
则，
同理可得，，
∴
，
令，，，，
当时，，，则，
则
，
因为且，
所以，，，
所以，
所以在上单调递减，
所以，当时，，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和向量共线定理，从而得出的轨迹方程，同理可得的轨迹方程，再结合圆锥曲线的离心率公式，从而得出，的离心率，进而证出，有相同的离心率.
（2）联立直线与曲线的方程，再利用弦长公式可得、、，即可得，再令，，通过构造函数，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，进而比较出与的大小.
（1）设，，由得，
∴，即的轨迹方程为，
同理可得的轨迹方程为，
所以，的离心率均为，
（2）设，分别为，，
联立，消去得，
则，，，
则，
同理可得，，
∴
，
令，，，，
当时，，，则，
则
，
因为且，所以，，，
所以，所以在上单调递减，
所以当时，，所以．
.
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