浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题
1．（2024高二上·舟山期末）下列求导结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C错误；
，所以D错误.
故答案为：A.
【分析】由初等函数导数公式，从而找出求导结果正确的选项.
2．（2024高二上·舟山期末）若直线与平行，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，
解得或，
当时，，，此时，符合题意；
当时，，，
此时两直线重合，不符合题意，
所以.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行斜率相等得出a的值，再结合分类讨论的方法和两直线平行的条件，从而得出满足要求的实数a的值.
3．（2024高二上·舟山期末）记为等差数列的前项和，若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵是等差数列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.先利用等差数列的性质求得，再根据，可求出，利用等数列的通项公式可求出公差，再利用等差数列的前n项和公式可求出．
4．（2024高二上·舟山期末）已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是
C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，
故B错误；
对于C，不妨设，所以，而，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由平均数公式和性质，则判断出选项A；利用标准差公式和性质，则判断出选项B；利用中位数的公式和已知条件，则判断出选项C；利用极差的定义和已知条件，则判断出选项D，进而找出命题错误的选项.
5．（2024高二上·舟山期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点M位于第一象限，
因为是等腰直角三角形，所以且，则，
将代入双曲线方程，得，解得，
所以，即，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得且，从而确定点M的坐标，将代入双曲线方程可得，则，再根据的齐次式和双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
6．（2024高二上·舟山期末）已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：如果事件与互斥，则，所以.
如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，
所以，
，即.
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则可求出的值，再根据独立事件的概率公式和对立事件求概率公式以及互斥事件求概率公式，则求出的值，从而找出正确的选项.
7．（2024高二上·舟山期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
设直线，且，
则，
作差得：，
由，所以，①
因为为直线与圆的切点，所以，②
由①②消去可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】设，利用点差法可得，再利用点为直线与圆的切点，从而得出线线垂直，再结合两直线垂直斜率之积等于-1和两点求斜率公式，从而由①②消去得出当直线斜率存在时点的横坐标.
8．（2024高二上·舟山期末）已知数列及其前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由，故，
当时，，，
故当为奇数时，有，，
故，
即，有，即，
则
.
故答案为：A.
【分析】由题意和的关系式，可得，，则可得，再结合递推公式和等比数列前n项和公式，则得出数列第2024项的值.
9．（2024高二上·舟山期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D．过两点的直线方程为
【答案】A,B
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所以A正确；
对于B，直线交轴分别于点，
该直线与坐标轴围成三角形面积为，所以B正确；
对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，所以C错误；
对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示，
所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用直线的斜率求直线的倾斜角的方法，则判断选项A；利用直线交轴，从而赋值得出交点坐标，再结合三角形的面积公式，则判断出选项B；利用已知条件和直线的截式方程，从而得出直线方程，则判断出选项C；利用两点式的成立条件，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·舟山期末）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为，
则样本空间为，则，
事件表示“两枚骰子的点数之和为”，
，
所以，故A错误；
事件表示“红色骰子的点数是偶数”，
所以，故B正确；
事件表示“两枚骰子的点数相同”，
，
所以，故C正确；
事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意和列举法找到所有可能情况，再由古典概型求概率公式，从而判断出各选项，进而周长说法正确的选项.
11．（2024高二上·舟山期末）已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是递增数列或递减数列
B．若是递减数列，则
C．任意为等比数列
D．若，则存在为等比数列
【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：由题意知，则，
所以，当或时，，则是递减数列；
当或时，，则是递增数列，
综上可知，若且，则是递增数列或递减数列，故A正确；
对于B：若是递减数列，则，
可得或，故B错误；
对于C： 因为，所以时，，
于是任意为等比数列不成立，故C错误；
对于D：当时，等比数列的前项和，
假设存在为等比数列，
则，
，
，
，
，
，
，
则，
此时，，
则，
所以，若，则存在为等比数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意得，再对和进行分类，则判断出首项和公比的取值范围，从而判断出数列的单调性，则可判断选项A；由数列是递减数列，可得公比的取值范围，则可判断选项B；利用已知条件和等比数列的定义，从而讨论出使得的的值，则可判断选项C；假设存在为等比数列，由得出的值，再由等比数列的定义，从而判断出若，则存在为等比数列，则可判断选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·舟山期末）已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．以为直径的圆与相离
C．若，则的斜率为
D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
则.
对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时，
当直线斜率存在时，设，
联立椭圆方程，化简整理得，
显然，，
所以
，
因为，所以，所以，故A错误；
对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意；
直线斜率存在时，设中点为，则，即，
则点到直线的距离满足，
故B正确；
对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意，
直线斜率存在时，若，则，
又因为，
所以，解得，
所以的斜率为，故C正确；
对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，，
直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为，
令，得，
所以，即为定值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用分类讨论的方法和联立直线与椭圆方程，再利用判别式法和韦达定理，从而由弦长公式和，从而得出的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和分类讨论的方法以及直线与圆的位置关系判断方法，再结合中点坐标公式和点到直线的距离公式，从而判断出选项B；利用分类讨论的方法和向量共线的坐标表示，则得出直线的斜率，从而判断出选项C；利用分类讨论的方法和中垂线求解方法，从而由赋值法得出为定值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．（2024高二上·舟山期末）某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为 ．
【答案】7.5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，
所以这组数据的第60百分位数为.
故答案为：7.5.
【分析】由百分位数的求解方法，从而得出这组数据的第60百分位数.
14．（2024高二上·舟山期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
15．（2024高二上·舟山期末）已知数列中，，若前项和为，则 ．
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以
.
故答案为：.
【分析】由题意，将变形，再结合裂项相消法，从而得出数列前2023项的和.
16．（2024高二上·舟山期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，
设，，
因为，则，
作轴于点，则，
所以梯形
，
当时，即当时，则当时，，
由得，无解，
当时，即当时，则当时，，满足题意，
综上所述，．
【分析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，则设，从而得出的取值范围，作轴于点，则，再利用梯形的面积与三角形的面积的关系，从而用坐标表示出，再结合二次函数的图象的对称性和开口方向，从而得出二次函数的最小值，再由已知条件得出实数t的取值范围．
17．（2024高二上·舟山期末）已知函数的图象在处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）解：由题意可知，，
因为在处的切线为，
所以，
解得，
所以.
（2）证明：令，
，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
所以，即证得当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由和，从而列方程组得出的值，进而得出函数的解析式.
（2）设，由导数判断函数g(x)的单调性， 从而得出函数g(x)的最小值，进而证出当时，成立．
（1）由题，
因为在处的切线为
所以，解得，
所以；
（2）令，
，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增．
所以在上的最小值为，
所以即证得当时，．
18．（2024高二上·舟山期末）舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求；
（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：.
（2）解：平均成绩为
（3）解：由题意得，两组人数比例为，
所以组应抽取2人，
记为，组应抽取3人，
记为甲，乙，丙对应的样本空间为：
，(，甲)，(，乙)，(，丙)，(，甲)，(，乙)，(，丙)， (甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共10个样本点，
设事件“两人来于”，
则(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个样本点，
所以．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分步直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合矩形的面积之和等于1，从而得出x的值.
（2）由频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出样本的平均成绩.
（3）利用分层抽样的方法得出在这两组学生内各抽取的人数，再结合古典概型求概率公式，从而得出所选的两人恰好都在的概率．
（1）根据频率分布直方图可知；
（2）平均成绩为；
（3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙
对应的样本空间为：，(，甲)，(，乙)，(，丙)，(，甲)，(，乙)，(，丙)， (甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共10个样本点．
设事件“两人来于”，
则(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个样本点．
所以．
19．（2024高二上·舟山期末）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．
（1）用表示弦长，并求的取值范围；
（2）记的面积为，求的最大值及取最大值时的值．
【答案】（1）解：因为圆心到直线的距离，
又因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，
所以，得，
解得且，
则，
所以，实数的取值范围为.
（2）解：法一：
所以，
且，
，
当且仅当时取到等号，
所以的最大值为2，取得最大值时.
法二：设，则，
则
所以，当时，即当时，即当时，，
所以的最大值为2，取得最大值时.
法三：因为，
当且仅当时取到等号，此时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由题意和点到直线的距离公式，从而得出实数的取值范围，再利用勾股定理得出圆的弦长.
（2）利用两种方法求解.
法一：由圆的弦长公式和三角形面积公式，从而用k表示出三角形的面积，再结合均值不等式求最值的方法得出的最大值及最大值时的值.
法二：设，则，再利用三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法，从而得出的最大值及最大值时的值.
法三：由三角形面积公式和三角型函数的图象求值域的方法，从而得出的最大值及最大值时的值
（1）圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为
（2）法一：
所以，且
当且仅当，时取到等号
所以的最大值为2，取得最大值时
法二：设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时
法三：，
当且仅当时取到等号，此时．
20．（2024高二上·舟山期末）已知单调递增的等差数列的前项和为，且是与的等差中项，．
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，
即，
则
化简得，即，
又因为，解得，则.
（2）解：因为，
则，
于是得，
两式相减得：
，
因此，
又因为，
所以，不等式，
等价于，又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即，
当时，，：即，
所以当时，，则，
所以实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项的公式、等差数列前项和公式，从而列出关于公差的方程，结合公差的取值范围，从而求解得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列和数列的通项公式的通项公式，结合错位相减的方法得出数列的前项和，再由等差数列前n项和公式得出等差数列的前项和，则不等式等价于恒成立，令，结合作差比较大小的方法判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围．
（1）设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，即，
则有
化简得，即，又，
解得，则；
（2），
则，
于是得，
两式相减得：
，
因此，又，
所以不等式，
等价于，又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即，
当时，，：即，
所以当时，，则，所以实数的取值范围是．
21．（2024高二上·舟山期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：为定值．
【答案】（1）解：由题可得或(舍去)，
所以.
（2）证明：设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦半径公式和点代入法，从而列方程组求出的值，进而得出抛物线的标准方程.
（2）设直线方程为：，再联立直线方程和抛物线方程，再结合韦达定理得出，再由三角形的面积公式求出三角形的面积，再根据直线方程求得点的坐标，再根据三角形的面积公式得出三角形面积，再由两三角形的面积的乘积并代入韦达定理，从而证出为定值.
（1）由题可得或(舍去)，
所以；
（2）设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以．
22．（2024高二上·舟山期末）已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
（1）求的通项公式；
（2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．
【答案】（1）解：因为双曲线，渐近线方程为，
由已知可得：，
又因为点在双曲线上，
所以，即，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）证明：设，则，
以为切点的双曲线的切线，当时，即斜率存在时，设斜率为，
设切线方程为，代入双曲线的方程中，
得，
由得，解得，
则切线方程为，
所以，点为切点的双曲线的切线方程也满足题意，
由，可得，
即，
由可得，
即，
所以，
所以，.
先证右边：
，
所以
，右边得证.
下证左边：
先证，
令，
，
所以在递增，所以，
即当时，则，
所以，
当时，，
证明如下：
，
所以，
所以，当时，
当时成立，所以，左边得证，
所以命题得证．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在双曲线上，再利用，得出数列是以为首项，公差为的等差数列，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由双曲线的切线方程代入双曲线的方程中，再结合判别式法得出直线的斜率，从而得出切线方程，再联立两直线方程得出交点坐标，由勾股定理得出，，由放缩法和裂项相消求和的方法，从而证明出右边，再通过构造函数，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则当时，，再利用平方差公式和对数函数的单调性以及放缩法，从而证明出左边，进而证出．
（1）双曲线，渐近线方程为，
由已知可得：，
又点在双曲线上，所以，即，
所以是以为首项，公差为的等差数列，所以即
（2）设，有，
以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为，
切线方程为，代入双曲线，
得，由，
得，解得，切线方程为，
为切点的双曲线的切线方程也满足，
由，可得，
即，
由可得，
即，所以，
所以，.
先证右边：
，
所以
，右边得证.
下证左边：
先证，令，
，
所以在递增，所以，
即时，，
所以，
当时，，
证明如下：
所以，
所以当时：
，
当成立，所以，左边得证
所以命题得证．
1 / 1浙江省舟山市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题
1．（2024高二上·舟山期末）下列求导结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·舟山期末）若直线与平行，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
3．（2024高二上·舟山期末）记为等差数列的前项和，若，，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二上·舟山期末）已知数据的平均数为，标准差为，中位数为，极差为．由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是
C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是
5．（2024高二上·舟山期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·舟山期末）已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·舟山期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·舟山期末）已知数列及其前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·舟山期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D．过两点的直线方程为
10．（2024高二上·舟山期末）同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二上·舟山期末）已知等比数列的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若且，则是递增数列或递减数列
B．若是递减数列，则
C．任意为等比数列
D．若，则存在为等比数列
12．（2024高二上·舟山期末）已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．以为直径的圆与相离
C．若，则的斜率为
D．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值
13．（2024高二上·舟山期末）某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为 ．
14．（2024高二上·舟山期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围为 ．
15．（2024高二上·舟山期末）已知数列中，，若前项和为，则 ．
16．（2024高二上·舟山期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ．
17．（2024高二上·舟山期末）已知函数的图象在处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求证：当时，．
18．（2024高二上·舟山期末）舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求；
（2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩；
（3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率．
19．（2024高二上·舟山期末）已知直线与圆相交于两点，是坐标原点，且三点构成三角形．
（1）用表示弦长，并求的取值范围；
（2）记的面积为，求的最大值及取最大值时的值．
20．（2024高二上·舟山期末）已知单调递增的等差数列的前项和为，且是与的等差中项，．
（1）求的通项公式；
（2）令，数列的前项和为．若恒成立，求实数的取值范围．
21．（2024高二上·舟山期末）拋物线上的到焦点的距离为4，直线经过与抛物线相交于两点，是直线与轴的交点，直线分别交轴于两点．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：为定值．
22．（2024高二上·舟山期末）已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
（1）求的通项公式；
（2）过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：，所以A正确；
，所以B错误；
，所以C错误；
，所以D错误.
故答案为：A.
【分析】由初等函数导数公式，从而找出求导结果正确的选项.
2．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，
解得或，
当时，，，此时，符合题意；
当时，，，
此时两直线重合，不符合题意，
所以.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行斜率相等得出a的值，再结合分类讨论的方法和两直线平行的条件，从而得出满足要求的实数a的值.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵是等差数列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.先利用等差数列的性质求得，再根据，可求出，利用等数列的通项公式可求出公差，再利用等差数列的前n项和公式可求出．
4．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，
故B错误；
对于C，不妨设，所以，而，
所以，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由平均数公式和性质，则判断出选项A；利用标准差公式和性质，则判断出选项B；利用中位数的公式和已知条件，则判断出选项C；利用极差的定义和已知条件，则判断出选项D，进而找出命题错误的选项.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：不妨设点M位于第一象限，
因为是等腰直角三角形，所以且，则，
将代入双曲线方程，得，解得，
所以，即，得，
由，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得且，从而确定点M的坐标，将代入双曲线方程可得，则，再根据的齐次式和双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出双曲线的离心率.
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：如果事件与互斥，则，所以.
如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，
所以，
，即.
故答案为：C.
【分析】根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则可求出的值，再根据独立事件的概率公式和对立事件求概率公式以及互斥事件求概率公式，则求出的值，从而找出正确的选项.
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
设直线，且，
则，
作差得：，
由，所以，①
因为为直线与圆的切点，所以，②
由①②消去可得，
所以.
故答案为：A.
【分析】设，利用点差法可得，再利用点为直线与圆的切点，从而得出线线垂直，再结合两直线垂直斜率之积等于-1和两点求斜率公式，从而由①②消去得出当直线斜率存在时点的横坐标.
8．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由，故，
当时，，，
故当为奇数时，有，，
故，
即，有，即，
则
.
故答案为：A.
【分析】由题意和的关系式，可得，，则可得，再结合递推公式和等比数列前n项和公式，则得出数列第2024项的值.
9．【答案】A,B
【知识点】直线的倾斜角；直线的两点式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：对于A，直线的斜率为，则直线的倾斜角为，所以A正确；
对于B，直线交轴分别于点，
该直线与坐标轴围成三角形面积为，所以B正确；
对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，所以C错误；
对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示，
所以D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用直线的斜率求直线的倾斜角的方法，则判断选项A；利用直线交轴，从而赋值得出交点坐标，再结合三角形的面积公式，则判断出选项B；利用已知条件和直线的截式方程，从而得出直线方程，则判断出选项C；利用两点式的成立条件，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为，
则样本空间为，则，
事件表示“两枚骰子的点数之和为”，
，
所以，故A错误；
事件表示“红色骰子的点数是偶数”，
所以，故B正确；
事件表示“两枚骰子的点数相同”，
，
所以，故C正确；
事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据题意和列举法找到所有可能情况，再由古典概型求概率公式，从而判断出各选项，进而周长说法正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：由题意知，则，
所以，当或时，，则是递减数列；
当或时，，则是递增数列，
综上可知，若且，则是递增数列或递减数列，故A正确；
对于B：若是递减数列，则，
可得或，故B错误；
对于C： 因为，所以时，，
于是任意为等比数列不成立，故C错误；
对于D：当时，等比数列的前项和，
假设存在为等比数列，
则，
，
，
，
，
，
，
则，
此时，，
则，
所以，若，则存在为等比数列，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意得，再对和进行分类，则判断出首项和公比的取值范围，从而判断出数列的单调性，则可判断选项A；由数列是递减数列，可得公比的取值范围，则可判断选项B；利用已知条件和等比数列的定义，从而讨论出使得的的值，则可判断选项C；假设存在为等比数列，由得出的值，再由等比数列的定义，从而判断出若，则存在为等比数列，则可判断选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，如图所示：
则.
对于A，直线斜率不存在时，将代入，得，此时，
当直线斜率存在时，设，
联立椭圆方程，化简整理得，
显然，，
所以
，
因为，所以，所以，故A错误；
对于B，直线斜率不存在时，以为直径的圆与相离，满足题意；
直线斜率存在时，设中点为，则，即，
则点到直线的距离满足，
故B正确；
对于C，直线斜率不存在时，显然不满足题意，
直线斜率存在时，若，则，
又因为，
所以，解得，
所以的斜率为，故C正确；
对于D，直线斜率不存在时，显然不满足题意，当时，点与原点重合，，
直线斜率存在且不为0时，弦的中垂线方程为，
令，得，
所以，即为定值，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用分类讨论的方法和联立直线与椭圆方程，再利用判别式法和韦达定理，从而由弦长公式和，从而得出的取值范围，则判断出选项A；利用已知条件和分类讨论的方法以及直线与圆的位置关系判断方法，再结合中点坐标公式和点到直线的距离公式，从而判断出选项B；利用分类讨论的方法和向量共线的坐标表示，则得出直线的斜率，从而判断出选项C；利用分类讨论的方法和中垂线求解方法，从而由赋值法得出为定值，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
13．【答案】7.5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，
所以这组数据的第60百分位数为.
故答案为：7.5.
【分析】由百分位数的求解方法，从而得出这组数据的第60百分位数.
14．【答案】
【知识点】圆的一般方程；二元二次方程表示圆的条件
15．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以
.
故答案为：.
【分析】由题意，将变形，再结合裂项相消法，从而得出数列前2023项的和.
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，
设，，
因为，则，
作轴于点，则，
所以梯形
，
当时，即当时，则当时，，
由得，无解，
当时，即当时，则当时，，满足题意，
综上所述，．
【分析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，则设，从而得出的取值范围，作轴于点，则，再利用梯形的面积与三角形的面积的关系，从而用坐标表示出，再结合二次函数的图象的对称性和开口方向，从而得出二次函数的最小值，再由已知条件得出实数t的取值范围．
17．【答案】（1）解：由题意可知，，
因为在处的切线为，
所以，
解得，
所以.
（2）证明：令，
，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
所以，即证得当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由和，从而列方程组得出的值，进而得出函数的解析式.
（2）设，由导数判断函数g(x)的单调性， 从而得出函数g(x)的最小值，进而证出当时，成立．
（1）由题，
因为在处的切线为
所以，解得，
所以；
（2）令，
，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增．
所以在上的最小值为，
所以即证得当时，．
18．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知：.
（2）解：平均成绩为
（3）解：由题意得，两组人数比例为，
所以组应抽取2人，
记为，组应抽取3人，
记为甲，乙，丙对应的样本空间为：
，(，甲)，(，乙)，(，丙)，(，甲)，(，乙)，(，丙)， (甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共10个样本点，
设事件“两人来于”，
则(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个样本点，
所以．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分步直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合矩形的面积之和等于1，从而得出x的值.
（2）由频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出样本的平均成绩.
（3）利用分层抽样的方法得出在这两组学生内各抽取的人数，再结合古典概型求概率公式，从而得出所选的两人恰好都在的概率．
（1）根据频率分布直方图可知；
（2）平均成绩为；
（3）由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙
对应的样本空间为：，(，甲)，(，乙)，(，丙)，(，甲)，(，乙)，(，丙)， (甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共10个样本点．
设事件“两人来于”，
则(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个样本点．
所以．
19．【答案】（1）解：因为圆心到直线的距离，
又因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，
所以，得，
解得且，
则，
所以，实数的取值范围为.
（2）解：法一：
所以，
且，
，
当且仅当时取到等号，
所以的最大值为2，取得最大值时.
法二：设，则，
则
所以，当时，即当时，即当时，，
所以的最大值为2，取得最大值时.
法三：因为，
当且仅当时取到等号，此时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由题意和点到直线的距离公式，从而得出实数的取值范围，再利用勾股定理得出圆的弦长.
（2）利用两种方法求解.
法一：由圆的弦长公式和三角形面积公式，从而用k表示出三角形的面积，再结合均值不等式求最值的方法得出的最大值及最大值时的值.
法二：设，则，再利用三角形的面积公式和二次函数的图象求最值的方法，从而得出的最大值及最大值时的值.
法三：由三角形面积公式和三角型函数的图象求值域的方法，从而得出的最大值及最大值时的值
（1）圆心到直线的距离，
因为直线与圆相交于不重合的两点，且三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为
（2）法一：
所以，且
当且仅当，时取到等号
所以的最大值为2，取得最大值时
法二：设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时
法三：，
当且仅当时取到等号，此时．
20．【答案】（1）解：设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，
即，
则
化简得，即，
又因为，解得，则.
（2）解：因为，
则，
于是得，
两式相减得：
，
因此，
又因为，
所以，不等式，
等价于，又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即，
当时，，：即，
所以当时，，则，
所以实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项的公式、等差数列前项和公式，从而列出关于公差的方程，结合公差的取值范围，从而求解得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列和数列的通项公式的通项公式，结合错位相减的方法得出数列的前项和，再由等差数列前n项和公式得出等差数列的前项和，则不等式等价于恒成立，令，结合作差比较大小的方法判断出数列的单调性，从而得出数列的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围．
（1）设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，即，
则有
化简得，即，又，
解得，则；
（2），
则，
于是得，
两式相减得：
，
因此，又，
所以不等式，
等价于，又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即，
当时，，：即，
所以当时，，则，所以实数的取值范围是．
21．【答案】（1）解：由题可得或(舍去)，
所以.
（2）证明：设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由焦半径公式和点代入法，从而列方程组求出的值，进而得出抛物线的标准方程.
（2）设直线方程为：，再联立直线方程和抛物线方程，再结合韦达定理得出，再由三角形的面积公式求出三角形的面积，再根据直线方程求得点的坐标，再根据三角形的面积公式得出三角形面积，再由两三角形的面积的乘积并代入韦达定理，从而证出为定值.
（1）由题可得或(舍去)，
所以；
（2）设直线方程为：，
联立，
则，
所以，
直线，可得，同理，
所以
，
所以．
22．【答案】（1）解：因为双曲线，渐近线方程为，
由已知可得：，
又因为点在双曲线上，
所以，即，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即.
（2）证明：设，则，
以为切点的双曲线的切线，当时，即斜率存在时，设斜率为，
设切线方程为，代入双曲线的方程中，
得，
由得，解得，
则切线方程为，
所以，点为切点的双曲线的切线方程也满足题意，
由，可得，
即，
由可得，
即，
所以，
所以，.
先证右边：
，
所以
，右边得证.
下证左边：
先证，
令，
，
所以在递增，所以，
即当时，则，
所以，
当时，，
证明如下：
，
所以，
所以，当时，
当时成立，所以，左边得证，
所以命题得证．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由点在双曲线上，再利用，得出数列是以为首项，公差为的等差数列，再由等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由双曲线的切线方程代入双曲线的方程中，再结合判别式法得出直线的斜率，从而得出切线方程，再联立两直线方程得出交点坐标，由勾股定理得出，，由放缩法和裂项相消求和的方法，从而证明出右边，再通过构造函数，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则当时，，再利用平方差公式和对数函数的单调性以及放缩法，从而证明出左边，进而证出．
（1）双曲线，渐近线方程为，
由已知可得：，
又点在双曲线上，所以，即，
所以是以为首项，公差为的等差数列，所以即
（2）设，有，
以为切点的双曲线的切线，时斜率存在时，设斜率为，
切线方程为，代入双曲线，
得，由，
得，解得，切线方程为，
为切点的双曲线的切线方程也满足，
由，可得，
即，
由可得，
即，所以，
所以，.
先证右边：
，
所以
，右边得证.
下证左边：
先证，令，
，
所以在递增，所以，
即时，，
所以，
当时，，
证明如下：
所以，
所以当时：
，
当成立，所以，左边得证
所以命题得证．
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