吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷
1．（2024高三上·长春模拟）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知，该组数据共有8个，则，所以第25百分位数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而计算得出一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数.
2．（2024高三上·长春模拟）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．15
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示，从而得出m的值.
3．（2024高三上·长春模拟）已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为
两式联立可得：，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和两角和、差的正弦公式，展开求得，再由两式作商法和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．（2024高三上·长春模拟）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
设达到50米的高度需要秒，
，
解得：，
所以达到50米的高度需要秒.
故答案为：C.
【分析】由题意列出关于a，b的方程，从而解方程组得出a，b的值，再结合已知条件，设达到50米的高度需要秒，从而列出关于x的方程，则解方程得出x的值，进而得出达到50米的高度需要的时间.
5．（2024高三上·长春模拟）正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
则，，
根据，
则，
所以，异面直线PQ与BD所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】 从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和向量共线的坐标表示以及数量积求向量夹角公式，则得出异面直线PQ与BD所成角的余弦值，再根据同角三角函数基本关系式，从而得出异面直线PQ与BD所成角的正弦值.
6．（2024高三上·长春模拟）直线与直线所成角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：因为直线斜率，直线斜率，
设两直线的夹角为，则，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，再由两直线的夹角公式和代入计算的方法，从而结合夹角的取值范围，进而得出直线与直线所成角.
7．（2024高三上·长春模拟）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，，
抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，，
设抽取的总体样本的平均数为和方差为，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，再结合平均数公式、方差的公式，从而计算估计出该校学生平均每天户外运动时间的总体方差.
8．（2024高三上·长春模拟）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为，，所以，
可得在上单调递减，
不等式，即，即，
所以，
因为在上单调递减，
所以，解得：，
所以不等式的解集为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，构造函数，再由导数判断函数的单调性，从而将已知不等式转化为关于不等式，再利用函数在上的单调性和指数函数的单调性，从而得出不等式的解集．
9．（2024高三上·长春模拟）函数的最小正周期为，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
由周期公式，可得，则.
对于A，因为，
所以是的一条对称轴，故选项A正确；
对于B，因为，
与不相等，故选项B错误；
对于C，当时，，
因为在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故选项C错误；
对于D，当时，，
因为，，
所以在区间上的取值范围是，故选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，进而确定函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用已知条件和诱导公式，从而判断出选项B；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则判断出选项C；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出函数在区间上的取值范围，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·长春模拟）已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，为递增数列
C．单调递增的充要条件为
D．当时，满足的的最小值为9
【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；基本不等式；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为，可知.
对于A：因为且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故A正确；
对于C：若单调递增，等价于，
又因为数列为等比数列，则，
即对任意恒成立，等价于，
即单调递增，等价于，
所以单调递增的充要条件为，故C正确；
对于B：若，则，且，即，
所以数列为递增数列，故B正确；
对于D：当时，；当时，；
当时，为递减数列，且；
当时，为递增数列，且，
综上所述：当时，；当时，，
所以满足的的最小值为10，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件和等比数列的通项公式，可知，利用已知条件和等比数列的通项公式以及均值不等式求最值的方法，则判断出选项A；利用的单调性，等价于，再结合等比数列的通项公式得出对任意恒成立，等价于，从而得出单调递增的充要条件，则判断出选项C；利用等比数列的定义和数列的单调性，则判断出选项B；当时，，当时，，再结合数列的单调性，从而得出满足的的最小值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·长春模拟）2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．双纽线是中心对称图形
C． D．到距离之和的最小值为2c
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；圆锥曲线的轨迹问题；图形的对称性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
对于B，由题意得双纽线的轨迹方程为，
将换成，把换成得，
即，故双纽线关于原点中心对称，所以B正确；
对于C，，其中，
又因为在双纽线上，故，
故，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
对于A，当重合时，；
当不重合时，，
两边平方得，
在中，由余弦定理得①，
即②，
①②联立得，，
当落在轴上（除原点）时，等号成立，
故，的最大值为，所以A错误.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件求出双纽线的轨迹方程为，将换成，把换成，方程不变，则判断出选项B；由三角形面积公式得到，从而得到，则判断出选项B；由基本不等式求最值的方法，则判断出选项D；当不重合时，，两边平方后，再结合余弦定理得到，从而求出，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2024高三上·长春模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 .
【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由可得，
化简得，
因为，解得.
故答案为：9.
【分析】设公差为，再利用已知条件和等差数列的通项公式和求和公式，再结合，从而化简计算得出m的值.
13．（2024高三上·长春模拟）已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，设，
则的中点为，
因为，所以中垂线的斜率为，
故的中垂线方程为①，
由B关于点的对称点为，则，故中垂线为②，
联立①②，可得，
故过三点的圆的圆心为，
由题意得，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，设，再由中点坐标公式设出的中点坐标，再由已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出中垂线的斜率，再由中垂线的定义和点斜式方程，从而求出的中垂线，再由点与点关于点对称的求解方法和中垂线的定义，从而得出的中垂线方程，再联立两直线方程得出过三点的圆的圆心坐标，从而结合已知条件得出a，b的关系式，再由椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出椭圆C的离心率的值.
14．（2024高三上·长春模拟）若，则 .
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，
则
所以，，即.
故答案为：.
【分析】利用复数的运算法则和i的周期性，从而得出x，y的值，进而得出的值.
15．（2024高三上·长春模拟）已知函数在处的切线平行于轴.
（1）求与的关系；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）解：由，
可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，
该直线与x轴平行，所以，
所以.
（2）解：函数在上单调递增，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，也就是在上恒成立，
故得且，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，则得出切线的斜率，再结合代入法，从而得出a，b的关系.
（2）由题意结合函数的单调性，从而得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）由，可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以，
所以；
（2）函数在上单调递增等价于在上恒成立，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
故得且，即的取值范围是.
16．（2024高三上·长春模拟）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
（1）求；
（2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
【答案】（1）解：由题意得出，
因为，
所以，，
所以.
（2）解：如下图，是的中线，
则，
所以，
由，
则，
又因为，
则，即，
则，所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦定理中的边角关系，从而化简已知条件可得的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）因为是的中线，再利用平行四边形法则和数量积的运算律以及正弦定理，从而得出的值，再结合三角形的面积的关系式和三角形的面积公式，从而得出的值，再结合余弦定理得出CD的长.
（1）由题设，
而，所以，，
所以.
（2）如下示意图，是的中线，则，
所以，
由，则，
又，则，
即，则，
所以.
17．（2024高三上·长春模拟）如图，在平行六面体中，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：已知如图所示：
设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
则，，
可得，
即，且，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知，，，
所以，
则，又因为，
所以，
则，又因为，平面，
所以平面，
故，分别是平面和平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取为空间的一个基底，则由空间向量基本定理和数量积的运算法则，从而由两向量垂直数量积为0的等价关系，则证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）由（1）知，，，再结合数量积的运算法则和两向量垂直数量积为0 的等价关系，则证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出平面和平面的法向量，再哟数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
则，，
可得，，
即，且，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，
所以，
则；
又，
所以，
则；
又，平面，所以平面；
故，分别是平面和平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
所以；
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2024高三上·长春模拟）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.
（1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？
（2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130]
患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
指标 [70，75]
未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围；
（3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：依题意，列出列联表为：
误判人数 未误判人数 总计
男性人数 2 498 500
女性人数 8 492 500
总计 10 990 1000
由上表可知，，
故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关.
（2）解：因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有；
又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有，
综上所述，临界值的范围为.
（3）解：由（2）已得，故，
此时误诊率为：，即，
漏诊率为：，即.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用；2×2列联表；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较，即可判断误判与性别的相关程度.
（2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，再结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，从而得到临界值的取值范围.
（3）由（2）易得误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值的值，再根据误诊率与漏诊率的定义，从而结合频率分布表列式，即可求得对应的误诊率和漏诊率.
（1）依题意，列出列联表为：
误判人数 未误判人数 总计
男性人数 2 498 500
女性人数 8 492 500
总计 10 990 1000
由上表，，
故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关；
（2）因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有；
又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有.
综上，临界值的范围为；
（3）由（2）已得，故，
此时误诊率为：，即；
漏诊率为：，即.
19．（2024高三上·长春模拟）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
【答案】（1）解：由题意得，直线方程为：，
令，则，故，
于是，解得（负值舍去），
故抛物线方程为.
（2）解：设直线的方程为，，，如图所示：
由题意得，，即，
可得，通分可得，
联立和抛物线，得到，，
由，代入可得，
整理可得，解得或，
故，满足题意.
（3）证明：由题意，，如图所示：
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
由（2）知，，
则，
即，
即，
即，
则，
解得，
即直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据直线MF的方程和赋值法得出点M的坐标，再利用和三角形的面积公式，从而得出满足要求的p的值，进而得出抛物线C的标准方程.
（2）设直线的方程为，，再联立直线方程和抛物线方程，将题中斜率的条件用坐标表达，再结合韦达定理求解得出满足题意的点N的坐标.
（3）利用题意得出点P、Q的坐标，再利用点斜式表示出直线AP与直线BQ的方程，再联立两直线方程得到交点坐标，从而结合（2）中的韦达定理证出直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
（1）由题意得，直线方程为：，
令，则，故，
于是，解得（负值舍去），
故抛物线方程为.
（2）设的方程为，，，
由题意得，，即，
可得，通分可得，
联立和抛物线，得到，，
由，代入可得，
整理可得，解得或，
故，满足题意.
（3）由题意，，
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
由（2）知，，于是，
即，
即，
即，
于是，
解得，
即直线AP与BQ的交点在一条定直线上
1 / 1吉林省长春市2024-2025学年高三上学期质量监测(一)数学试卷
1．（2024高三上·长春模拟）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2024高三上·长春模拟）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．15
3．（2024高三上·长春模拟）已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2024高三上·长春模拟）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（ ）秒.
A．15 B．16 C．18 D．20
5．（2024高三上·长春模拟）正四面体中，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·长春模拟）直线与直线所成角是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·长春模拟）为了解小学生每天的户外运动时间，某校对小学生进行平均每天户外运动时间（单位：小时）的调查，采用样本量按比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为2.5和1.65，抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为1.5和3.5，则估计该校学生平均每天户外运动时间的总体方差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2024高三上·长春模拟）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·长春模拟）函数的最小正周期为，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
10．（2024高三上·长春模拟）已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，为递增数列
C．单调递增的充要条件为
D．当时，满足的的最小值为9
11．（2024高三上·长春模拟）2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．双纽线是中心对称图形
C． D．到距离之和的最小值为2c
12．（2024高三上·长春模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 .
13．（2024高三上·长春模拟）已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为 .
14．（2024高三上·长春模拟）若，则 .
15．（2024高三上·长春模拟）已知函数在处的切线平行于轴.
（1）求与的关系；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
16．（2024高三上·长春模拟）在中，内角A，B，C的对边分别是的面积记为，已知.
（1）求；
（2）若BC边上的中线长为1，AD为角的平分线，求CD的长.
17．（2024高三上·长春模拟）如图，在平行六面体中，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2024高三上·长春模拟）某医学研究团队经过研究初步得出检测某种疾病的患病与否和某项医学指标有关，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性（患病），小于或等于的人判定为阴性（未患病）.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率.
（1）随机抽取男女各500人进行检验，采用临界值进行判定时，误判共10人（漏诊与误诊之和），其中2男8女，写出列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为误判与性别有关？
（2）经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布表：
指标 [95，100] （100，105] （105，110] （110，115] （115，120] （120，125] （125，130]
患病者频率 0.01 0.06 0.17 0.18 0.2 0.2 0.18
指标 [70，75]
未患病者频率 0.19 0.2 0.2 0.18 0.17 0.05 0.01
假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若漏诊率和误诊率同时控制在以内（小于等于），求临界值的范围；
（3）在（2）条件下，求出误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值及对应的误诊率和漏诊率.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19．（2024高三上·长春模拟）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知，该组数据共有8个，则，所以第25百分位数为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和百分位数的定义，从而计算得出一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数.
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：由，可得，解得.
故答案为：B.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系，再由数量积的坐标表示，从而得出m的值.
3．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为
两式联立可得：，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件和两角和、差的正弦公式，展开求得，再由两式作商法和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
设达到50米的高度需要秒，
，
解得：，
所以达到50米的高度需要秒.
故答案为：C.
【分析】由题意列出关于a，b的方程，从而解方程组得出a，b的值，再结合已知条件，设达到50米的高度需要秒，从而列出关于x的方程，则解方程得出x的值，进而得出达到50米的高度需要的时间.
5．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
则，，
根据，
则，
所以，异面直线PQ与BD所成角的正弦值为.
故答案为：D.
【分析】 从正方体中可截取一个正四面体，设正方体的边长为，根据正方体的性质建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示和向量共线的坐标表示以及数量积求向量夹角公式，则得出异面直线PQ与BD所成角的余弦值，再根据同角三角函数基本关系式，从而得出异面直线PQ与BD所成角的正弦值.
6．【答案】B
【知识点】平面内两直线的夹角与到角问题
【解析】【解答】解：因为直线斜率，直线斜率，
设两直线的夹角为，则，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，再由两直线的夹角公式和代入计算的方法，从而结合夹角的取值范围，进而得出直线与直线所成角.
7．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：抽取了三年级及以下学生40人，其平均数和方差分别为，，
抽取了四年级及以上学生60人，其平均数和方差分别为，，
设抽取的总体样本的平均数为和方差为，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，再结合平均数公式、方差的公式，从而计算估计出该校学生平均每天户外运动时间的总体方差.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
因为，，所以，
可得在上单调递减，
不等式，即，即，
所以，
因为在上单调递减，
所以，解得：，
所以不等式的解集为：.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，构造函数，再由导数判断函数的单调性，从而将已知不等式转化为关于不等式，再利用函数在上的单调性和指数函数的单调性，从而得出不等式的解集．
9．【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数的最小正周期为，
由周期公式，可得，则.
对于A，因为，
所以是的一条对称轴，故选项A正确；
对于B，因为，
与不相等，故选项B错误；
对于C，当时，，
因为在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故选项C错误；
对于D，当时，，
因为，，
所以在区间上的取值范围是，故选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据正弦型函数的最小正周期公式，从而求出的值，进而确定函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用已知条件和诱导公式，从而判断出选项B；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则判断出选项C；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦型函数的图象求值域的方法，从而得出函数在区间上的取值范围，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】充要条件；基本不等式；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为，可知.
对于A：因为且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，故A正确；
对于C：若单调递增，等价于，
又因为数列为等比数列，则，
即对任意恒成立，等价于，
即单调递增，等价于，
所以单调递增的充要条件为，故C正确；
对于B：若，则，且，即，
所以数列为递增数列，故B正确；
对于D：当时，；当时，；
当时，为递减数列，且；
当时，为递增数列，且，
综上所述：当时，；当时，，
所以满足的的最小值为10，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件和等比数列的通项公式，可知，利用已知条件和等比数列的通项公式以及均值不等式求最值的方法，则判断出选项A；利用的单调性，等价于，再结合等比数列的通项公式得出对任意恒成立，等价于，从而得出单调递增的充要条件，则判断出选项C；利用等比数列的定义和数列的单调性，则判断出选项B；当时，，当时，，再结合数列的单调性，从而得出满足的的最小值，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；圆锥曲线的轨迹问题；图形的对称性；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
对于B，由题意得双纽线的轨迹方程为，
将换成，把换成得，
即，故双纽线关于原点中心对称，所以B正确；
对于C，，其中，
又因为在双纽线上，故，
故，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
对于A，当重合时，；
当不重合时，，
两边平方得，
在中，由余弦定理得①，
即②，
①②联立得，，
当落在轴上（除原点）时，等号成立，
故，的最大值为，所以A错误.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件求出双纽线的轨迹方程为，将换成，把换成，方程不变，则判断出选项B；由三角形面积公式得到，从而得到，则判断出选项B；由基本不等式求最值的方法，则判断出选项D；当不重合时，，两边平方后，再结合余弦定理得到，从而求出，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】9
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由可得，
化简得，
因为，解得.
故答案为：9.
【分析】设公差为，再利用已知条件和等差数列的通项公式和求和公式，再结合，从而化简计算得出m的值.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，设，
则的中点为，
因为，所以中垂线的斜率为，
故的中垂线方程为①，
由B关于点的对称点为，则，故中垂线为②，
联立①②，可得，
故过三点的圆的圆心为，
由题意得，可得.
故答案为：.
【分析】根据题意，设，再由中点坐标公式设出的中点坐标，再由已知条件和两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出中垂线的斜率，再由中垂线的定义和点斜式方程，从而求出的中垂线，再由点与点关于点对称的求解方法和中垂线的定义，从而得出的中垂线方程，再联立两直线方程得出过三点的圆的圆心坐标，从而结合已知条件得出a，b的关系式，再由椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出椭圆C的离心率的值.
14．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由于，
则
所以，，即.
故答案为：.
【分析】利用复数的运算法则和i的周期性，从而得出x，y的值，进而得出的值.
15．【答案】（1）解：由，
可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，
该直线与x轴平行，所以，
所以.
（2）解：函数在上单调递增，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，也就是在上恒成立，
故得且，所以实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；用斜率判定两直线平行
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，则得出切线的斜率，再结合代入法，从而得出a，b的关系.
（2）由题意结合函数的单调性，从而得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数的取值范围.
（1）由，可得，，
依题意，，即得，
此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以，
所以；
（2）函数在上单调递增等价于在上恒成立，
即在上恒成立，也即在上恒成立，
故得且，即的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由题意得出，
因为，
所以，，
所以.
（2）解：如下图，是的中线，
则，
所以，
由，
则，
又因为，
则，即，
则，所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式、正弦定理中的边角关系，从而化简已知条件可得的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角A的值.
（2）因为是的中线，再利用平行四边形法则和数量积的运算律以及正弦定理，从而得出的值，再结合三角形的面积的关系式和三角形的面积公式，从而得出的值，再结合余弦定理得出CD的长.
（1）由题设，
而，所以，，
所以.
（2）如下示意图，是的中线，则，
所以，
由，则，
又，则，
即，则，
所以.
17．【答案】（1）证明：已知如图所示：
设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
则，，
可得，
即，且，平面，
所以平面.
（2）解：由（1）知，，，
所以，
则，又因为，
所以，
则，又因为，平面，
所以平面，
故，分别是平面和平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取为空间的一个基底，则由空间向量基本定理和数量积的运算法则，从而由两向量垂直数量积为0的等价关系，则证出线线垂直，再由线线垂直证出线面垂直，即证出用空间向量证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理证出线面垂直，即证出直线平面.
（2）由（1）知，，，再结合数量积的运算法则和两向量垂直数量积为0 的等价关系，则证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，从而得出平面和平面的法向量，再哟数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）设，，，
则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
则，，
可得，，
即，且，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，
所以，
则；
又，
所以，
则；
又，平面，所以平面；
故，分别是平面和平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
所以；
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：依题意，列出列联表为：
误判人数 未误判人数 总计
男性人数 2 498 500
女性人数 8 492 500
总计 10 990 1000
由上表可知，，
故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关.
（2）解：因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有；
又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有，
综上所述，临界值的范围为.
（3）解：由（2）已得，故，
此时误诊率为：，即，
漏诊率为：，即.
【知识点】频率分布表；独立性检验的应用；2×2列联表；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）依题意列出列联表，将数据代入卡方公式，根据卡方值与对应的小概率值比较，即可判断误判与性别的相关程度.
（2）分别根据漏诊率和误诊率都小于，再结合频率分布表，先判断临界值所在组别，再利用百分位数的定义，建立满足的不等式，从而得到临界值的取值范围.
（3）由（2）易得误判率（漏诊率与误诊率之和）最小时的临界值的值，再根据误诊率与漏诊率的定义，从而结合频率分布表列式，即可求得对应的误诊率和漏诊率.
（1）依题意，列出列联表为：
误判人数 未误判人数 总计
男性人数 2 498 500
女性人数 8 492 500
总计 10 990 1000
由上表，，
故可以认为，依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据证明零假设不成立，即认为误判与性别无关；
（2）因漏诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有；
又因误诊率小于等于，由频率分布表可知，临界值应在内，
依题意，有.
综上，临界值的范围为；
（3）由（2）已得，故，
此时误诊率为：，即；
漏诊率为：，即.
19．【答案】（1）解：由题意得，直线方程为：，
令，则，故，
于是，解得（负值舍去），
故抛物线方程为.
（2）解：设直线的方程为，，，如图所示：
由题意得，，即，
可得，通分可得，
联立和抛物线，得到，，
由，代入可得，
整理可得，解得或，
故，满足题意.
（3）证明：由题意，，如图所示：
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
由（2）知，，
则，
即，
即，
即，
则，
解得，
即直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据直线MF的方程和赋值法得出点M的坐标，再利用和三角形的面积公式，从而得出满足要求的p的值，进而得出抛物线C的标准方程.
（2）设直线的方程为，，再联立直线方程和抛物线方程，将题中斜率的条件用坐标表达，再结合韦达定理求解得出满足题意的点N的坐标.
（3）利用题意得出点P、Q的坐标，再利用点斜式表示出直线AP与直线BQ的方程，再联立两直线方程得到交点坐标，从而结合（2）中的韦达定理证出直线AP与BQ的交点在一条定直线上.
（1）由题意得，直线方程为：，
令，则，故，
于是，解得（负值舍去），
故抛物线方程为.
（2）设的方程为，，，
由题意得，，即，
可得，通分可得，
联立和抛物线，得到，，
由，代入可得，
整理可得，解得或，
故，满足题意.
（3）由题意，，
则直线，直线，
两直线方程相减得到：，
由（2）知，，于是，
即，
即，
即，
于是，
解得，
即直线AP与BQ的交点在一条定直线上
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