四川省成都西藏中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷
1．（2024高二下·成都月考）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．36 C． D．18
2．（2024高二下·成都月考）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·成都月考）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A．9 B．12 C．15 D．18
4．（2024高二下·成都月考）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
5．（2024高二下·成都月考）要把5名农业技术员分到3个乡村支援工作，每名技术员只分配到1个村，甲村至少需要2名，乙村、丙村均不少于1名，则不同的分配方案共有（ ）
A．180种 B．120种 C．90种 D．80种
6．（2024高二下·成都月考）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
7．（2024高二下·成都月考）在各项均为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取得最大值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·成都月考）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二下·成都月考）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243
C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40
10．（2024高二下·成都月考）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
11．（2024高二下·成都月考）如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量
B．
C．点到平面的距离为
D．二面角的正弦值为
12．（2024高二下·成都月考）已知离散型随机变量X的分布列为
-1 0 1
a
设，则Y的数学期望 ．
13．（2024高二下·成都月考）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 .
14．（2024高二下·成都月考）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
15．（2024高二下·成都月考）已知函数
（1）求的单调增区间和单调减区间
（2）若在区间上的最小值为，求实数的值
16．（2024高二下·成都月考）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
17．（2024高二下·成都月考）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求的面积.
18．（2024高二下·成都月考）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；
（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
19．（2024高二下·成都月考）已知数列与满足（为非零常数），
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，，，求数列的前2025项和；
（3）设，，，，求数列的最大项和最小项.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质和求和公式，可得，
故选：B.
【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据函数的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，
故选：A.
【分析】根据题意，结合的单调性与的函数值的符号间的关系，结合函数的基本性质，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，
号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
故选：B.
【分析】根据题意，结合分步乘法原理求解，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】总体分布的估计；概率的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
【分析】根据正态分布的对称性，求出的概率，即可得解.
5．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙三个村依次分配到的技术人员数有：
2、2、1；或2、1、2；或3、1、1这三种可能..
当甲村只分配2名技术人员时：
先选2名技术人员分给甲村有种分法；
接着选2名技术人员给乙村，剩下1名给丙村，
或者先选1名给乙村，剩下2名给丙村有种分法；
所以共有种分法.
当给甲村分配的是3名技术人员时：
先选3名技术人员分给甲村有种分法；
接着选1名技术人员给乙村，剩下1名给丙村有种分法；
此时共有种分法.
综上，共有种分配方案.
故选：D.
【分析】先明确各村分配到的技术人员数，再按所需人数依次选人，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设，根据线段的中点为，则，即，
所以，又，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆在圆内的一部分，
故答案为：D.
【分析】设， 根据垂径定理（ 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）得到，再转化为，写出相关向量，代入化简即可.
7．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由，得，，
则，由于，得，
所以等比数列是递减数列，故，则取得最大值时．
故选：A．
【分析】根据题，求得，得到等比数列是递减数列，且，进而求得取得最大值时的值，得到答案．
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个交点，，
由可得，即函数的单调递增区间为，
由可得，即函数的单调递减区间为，
且当时，，当时，，，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误；
由图可知，，
因为，由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，
所以，，则，
令，其中，
则，则函数在上单调递减，
所以，，即，即，
又，可得，
因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误；
由，两式相加整理可得，
所以，，可得，故C错误；
由图可知，则，又因为，所以，，故D正确.
故选：D.
【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：A中：的展开式的所有二项式系数和为，故A错误；
B中：取，可得所有项的系数和为，故B正确；
C中：的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，即，故C错误；
D中：展开式的通项为，由，得，
∴含x项的系数为，故D正确．
故选：BD．
【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
10．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：对于A中，由于是正四棱柱，易知，
在中，因为，
所以，
故，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B中，在中，因为，
则，
在中，利用余弦定理，
可求得或（舍去），
因此，故错误；
对于C中， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由B选择可知，，，
所以，
故，
设为平面的法向量，
则，
令，则，
设点到平面的距离为，
所以由点到平面的距离公式得：
，故C正确；
对于D中，由C选项中坐标可知，
为平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，
所以，
因此二面角的正弦值为，故D正确.
故选：ACD.
【分析】
根据题意，证得平面，可判定A正确；在中通过余弦定理计算的长度，可判定B不正确；，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离公式可计算，可判定C正确，计算平面和平面的法向量即可求出二面角的正弦值，可判断D正确.
12．【答案】0
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由已知得，解得，
则，
.
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再求出，再结合期望的性质从而可求解.
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，运用全概率公式进行求解，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意方程可知，，，设，
所以，，则，整理得：，①，
又，得，即，②，
联立①②，得，即，解得.
故答案为：.
【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式，即可求解.
15．【答案】（1）解：由函数，可得，
令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）解：根据（1）的结果，得到如下表，
4
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
如表可知，的最小值为，得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）根据（1）的单调性，计算端点值和最小值，结合最小值，即可求得实数的值.
（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
4
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
如表可知，的最小值为，得.
16．【答案】（1）证明
如图，连接，因为，为中点，所以．
因为为直三棱柱 的侧棱，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，.
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由可得，，
取，可得，，即可取．
设点到平面的距离为，则．
所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）通过等腰三角形三线合一证明，利用线面垂直性质得，根据线面垂直判定定理，即可证明；
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求得和平面的一个法向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得.
（1）如图，连接，因为，为中点，所以．
因为为直三棱柱的侧棱，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，.
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由可得，，
取，可得，，即可取．
设点到平面的距离为，则．
所以点到平面的距离为．
17．【答案】（1）解：由题意，可得，，故，所以离心率.
（2）解：如图，设，，的中点为.
则由，可知.
而，故.
所以，从而在直线上.
由知，故，结合可知直线的方程为.
所以是直线和的交点，故.
而，故的方程为，与椭圆联立解得，.
所以，，故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率的定义，即可求解；
（2）设的中点为，结合“点差法”，分别确定点的坐标，再，得出直线的方程，联立方程组，得到点的坐标，进而联立AB与椭圆的方程，求得的坐标，利用三角形的面积公式，即可求解.
（1）由已知有，，故，所以离心率.
（2）如图，设，，的中点为.
则由，可知.
而，故.
所以，从而在直线上.
由知，故，结合可知直线的方程为.
所以是直线和的交点，故.
而，故的方程为，与椭圆联立解得，.
所以，，故.
18．【答案】（1）解：设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）解：设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）解：设选手乙正确作答的题目个数为，则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率公式计算，即可求解；
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，求出的可能取值及其对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，计算出、，再求出，则，与、作比较可得答案，即可判断；
（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
19．【答案】（1）证明：设的公差为，则，
所以数列也是等差数列.
（2）解：由可知是周期为4的数列，即，
因为
，
所以，即是周期为4的数列，
因为，
所以，
所以，
所以数列的前2025项和为.
（3）解：由得，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
.
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，.
因为，所以的最大项为，最小项为.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设的公差为，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）利用的周期性判断的周期性，然后求出前几项，利用周期求解可得；
（3）先证问等比数列，求出通项公式，进而可得，利用累加法求通项，根据奇数项和偶数项的单调性即可得解.
（1）设的公差为，则，
所以数列也是等差数列.
（2）由可知是周期为4的数列，即，
因为
，
所以，即是周期为4的数列，
因为，
所以，
所以，
所以数列的前2025项和为.
（3）由得，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
.
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，.
因为，所以的最大项为，最小项为.
1 / 1四川省成都西藏中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷
1．（2024高二下·成都月考）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．36 C． D．18
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质和求和公式，可得，
故选：B.
【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
2．（2024高二下·成都月考）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据函数的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，
故选：A.
【分析】根据题意，结合的单调性与的函数值的符号间的关系，结合函数的基本性质，即可求解.
3．（2024高二下·成都月考）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，
号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
故选：B.
【分析】根据题意，结合分步乘法原理求解，即可求解.
4．（2024高二下·成都月考）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
【答案】B
【知识点】总体分布的估计；概率的应用
【解析】【解答】解：由题意得，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
【分析】根据正态分布的对称性，求出的概率，即可得解.
5．（2024高二下·成都月考）要把5名农业技术员分到3个乡村支援工作，每名技术员只分配到1个村，甲村至少需要2名，乙村、丙村均不少于1名，则不同的分配方案共有（ ）
A．180种 B．120种 C．90种 D．80种
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙三个村依次分配到的技术人员数有：
2、2、1；或2、1、2；或3、1、1这三种可能..
当甲村只分配2名技术人员时：
先选2名技术人员分给甲村有种分法；
接着选2名技术人员给乙村，剩下1名给丙村，
或者先选1名给乙村，剩下2名给丙村有种分法；
所以共有种分法.
当给甲村分配的是3名技术人员时：
先选3名技术人员分给甲村有种分法；
接着选1名技术人员给乙村，剩下1名给丙村有种分法；
此时共有种分法.
综上，共有种分配方案.
故选：D.
【分析】先明确各村分配到的技术人员数，再按所需人数依次选人，即可求解.
6．（2024高二下·成都月考）过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：设，根据线段的中点为，则，即，
所以，又，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆在圆内的一部分，
故答案为：D.
【分析】设， 根据垂径定理（ 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）得到，再转化为，写出相关向量，代入化简即可.
7．（2024高二下·成都月考）在各项均为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取得最大值时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由，得，，
则，由于，得，
所以等比数列是递减数列，故，则取得最大值时．
故选：A．
【分析】根据题，求得，得到等比数列是递减数列，且，进而求得取得最大值时的值，得到答案．
8．（2024高二下·成都月考）已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个交点，，
由可得，即函数的单调递增区间为，
由可得，即函数的单调递减区间为，
且当时，，当时，，，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误；
由图可知，，
因为，由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，
所以，，则，
令，其中，
则，则函数在上单调递减，
所以，，即，即，
又，可得，
因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误；
由，两式相加整理可得，
所以，，可得，故C错误；
由图可知，则，又因为，所以，，故D正确.
故选：D.
【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.
9．（2024高二下·成都月考）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．所有的二项式系数和为16 B．所有项的系数和为243
C．只有第3项的二项式系数最大 D．x的系数为40
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：A中：的展开式的所有二项式系数和为，故A错误；
B中：取，可得所有项的系数和为，故B正确；
C中：的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，即，故C错误；
D中：展开式的通项为，由，得，
∴含x项的系数为，故D正确．
故选：BD．
【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
10．（2024高二下·成都月考）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．（2024高二下·成都月考）如图，在正四棱柱中，是棱的中点，为线段上的点（异于端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量
B．
C．点到平面的距离为
D．二面角的正弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：对于A中，由于是正四棱柱，易知，
在中，因为，
所以，
故，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B中，在中，因为，
则，
在中，利用余弦定理，
可求得或（舍去），
因此，故错误；
对于C中， 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由B选择可知，，，
所以，
故，
设为平面的法向量，
则，
令，则，
设点到平面的距离为，
所以由点到平面的距离公式得：
，故C正确；
对于D中，由C选项中坐标可知，
为平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，
所以，
因此二面角的正弦值为，故D正确.
故选：ACD.
【分析】
根据题意，证得平面，可判定A正确；在中通过余弦定理计算的长度，可判定B不正确；，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据点到面的距离公式可计算，可判定C正确，计算平面和平面的法向量即可求出二面角的正弦值，可判断D正确.
12．（2024高二下·成都月考）已知离散型随机变量X的分布列为
-1 0 1
a
设，则Y的数学期望 ．
【答案】0
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由已知得，解得，
则，
.
故答案为：.
【分析】根据题意先求出，再求出，再结合期望的性质从而可求解.
13．（2024高二下·成都月考）盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为 .
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意，运用全概率公式进行求解，即可得到答案.
14．（2024高二下·成都月考）点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的任意一点，若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意方程可知，，，设，
所以，，则，整理得：，①，
又，得，即，②，
联立①②，得，即，解得.
故答案为：.
【分析】由斜率公式、点的坐标满足的条件等式可得，结合离心率公式，即可求解.
15．（2024高二下·成都月考）已知函数
（1）求的单调增区间和单调减区间
（2）若在区间上的最小值为，求实数的值
【答案】（1）解：由函数，可得，
令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）解：根据（1）的结果，得到如下表，
4
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
如表可知，的最小值为，得.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）根据（1）的单调性，计算端点值和最小值，结合最小值，即可求得实数的值.
（1），令，得或，
如图，的变化关系如下表，
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）根据（1）的结果，得到如下表，
4
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
如表可知，的最小值为，得.
16．（2024高二下·成都月考）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明
如图，连接，因为，为中点，所以．
因为为直三棱柱 的侧棱，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，.
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由可得，，
取，可得，，即可取．
设点到平面的距离为，则．
所以点到平面的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）通过等腰三角形三线合一证明，利用线面垂直性质得，根据线面垂直判定定理，即可证明；
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求得和平面的一个法向量的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得.
（1）如图，连接，因为，为中点，所以．
因为为直三棱柱的侧棱，所以平面．
因为平面，所以．
因为平面，所以平面．
因为平面，所以．
（2）以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图.
则，，，.
所以，，．
设平面的一个法向量为，
由可得，，
取，可得，，即可取．
设点到平面的距离为，则．
所以点到平面的距离为．
17．（2024高二下·成都月考）已知椭圆. 斜率为的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：由题意，可得，，故，所以离心率.
（2）解：如图，设，，的中点为.
则由，可知.
而，故.
所以，从而在直线上.
由知，故，结合可知直线的方程为.
所以是直线和的交点，故.
而，故的方程为，与椭圆联立解得，.
所以，，故.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意，结合离心率的定义，即可求解；
（2）设的中点为，结合“点差法”，分别确定点的坐标，再，得出直线的方程，联立方程组，得到点的坐标，进而联立AB与椭圆的方程，求得的坐标，利用三角形的面积公式，即可求解.
（1）由已知有，，故，所以离心率.
（2）如图，设，，的中点为.
则由，可知.
而，故.
所以，从而在直线上.
由知，故，结合可知直线的方程为.
所以是直线和的交点，故.
而，故的方程为，与椭圆联立解得，.
所以，，故.
18．（2024高二下·成都月考）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；
（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
【答案】（1）解：设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）解：设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）解：设选手乙正确作答的题目个数为，则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率公式计算，即可求解；
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，求出的可能取值及其对应的概率，得到分布列，求出数学期望；
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，计算出、，再求出，则，与、作比较可得答案，即可判断；
（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
19．（2024高二下·成都月考）已知数列与满足（为非零常数），
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，，，求数列的前2025项和；
（3）设，，，，求数列的最大项和最小项.
【答案】（1）证明：设的公差为，则，
所以数列也是等差数列.
（2）解：由可知是周期为4的数列，即，
因为
，
所以，即是周期为4的数列，
因为，
所以，
所以，
所以数列的前2025项和为.
（3）解：由得，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
.
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，.
因为，所以的最大项为，最小项为.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）设的公差为，结合等差数列的定义，即可得证；
（2）利用的周期性判断的周期性，然后求出前几项，利用周期求解可得；
（3）先证问等比数列，求出通项公式，进而可得，利用累加法求通项，根据奇数项和偶数项的单调性即可得解.
（1）设的公差为，则，
所以数列也是等差数列.
（2）由可知是周期为4的数列，即，
因为
，
所以，即是周期为4的数列，
因为，
所以，
所以，
所以数列的前2025项和为.
（3）由得，
所以，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以
.
当为奇数时，单调递减，；
当为偶数时，单调递增，.
因为，所以的最大项为，最小项为.
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