广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2024高二上·珠海期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故答案为：D．
【分析】 由直线的方程求得它的斜率，再根据倾斜角的范围以及倾斜角和斜率的关系，求出直线的倾斜角的值.
2．（2024高二上·珠海期中）样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ）
A．50 B．53 C．57 D．45
【答案】A
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共7个，则，
所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.
故答案为：A．
【分析】根据百分位数的求解方法，从而找出答案.
3．（2024高二上·珠海期中）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
因为包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
因为事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据事件的包含关系和事件的运算，即可判断各选项，从而找出关系不正确的选项.
4．（2024高二上·珠海期中）已知组数据 ， ，…， 的平均数为2，方差为5，则数据2 +1，2 +1，…，2 +1的平均数 与方差 分别为（ ）
A． =4， =10 B． =5， =11
C． =5， =20 D． =5， =21
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据题意，数据 ， ， ， 的平均数为2，方差为5，
则数据 ， ， ， 的平均数 ，
其方差 ；
故答案为：C．
【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．
5．（2024高二上·珠海期中）从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的样本点有：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，
甲被选中的样本点有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，
所以甲被选中的概率为，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和古典概型求概率公式，从而得出甲被选中的概率.
6．（2024高二上·珠海期中）已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量共面定理得出，再由向量的坐标运算，从而得出实数的值.
7．（2024高二上·珠海期中）已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为空间向量，，
所以
则在上的投影向量坐标是：
故答案为：B.
【分析】根据数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再结合数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量坐标.
8．（2024高二上·珠海期中）已知直线经过定点，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由题设有，
因为直线与连接两点的线段总有公共点，故或，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式，从而求出的斜率后可得直线的斜率的取值范围.
9．（2024高二上·珠海期中）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2 D．85%分位数为5
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由平均数的计算公式，可得，所以A正确；
由方程的公式，可得，
所以标准差为，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位数为5，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，从而找出正确的选项.
10．（2024高二上·珠海期中）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．（2024高二上·珠海期中）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，，且平面，
∴平面，平面，
∴，同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，
又因为三角形的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角，
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由选项A正确，可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面垂直的判定定理结合正方体的性质，从而判断出选项A；根据线面平行的判定定理、平行线的性质，再结合三棱锥的体积公式，从而判断出选项B；根据异面直线所成角的定义得出异面直线与所成角的取值范围，从而判断出选项C；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而从到点的坐标和向量坐标，再结合选项A得出是平面的一个法向量，再利用数量积求线面角的正弦值的方法结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D；进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·珠海期中）在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为.
故答案为：.
【分析】在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为，由此得到点B的坐标.
13．（2024高二上·珠海期中）某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取 名.
【答案】10
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样定义及性质，设高三学生应抽取名，
依题意得：，
所以.
故答案为：10.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而得出高三学生应抽取的人数.
14．（2024高二上·珠海期中）如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 .
【答案】0.672
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式，从而得出该电路正常工作的概率.
15．（2024高二上·珠海期中）已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：
，
若，则，
即，
解得.
（2）解：
，
若，则，
即，
化简可得，
解得或.
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示和向量的坐标运算，从而得出实数k的值.
（2）根据空间向量互相垂直数量积为0的等价关系，再结合空间向量线性运算坐标表示、数量积的坐标表示，从而得出实数k的值.
（1），若，则，即，解得；
（2），若，则，即，化简可得，解得或.
16．（2024高二上·珠海期中）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
（1）第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大；
（3）2次掷出的点数均为偶数．
【答案】（1）解：连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
共36种情况，其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有：，共3种情况，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为.
（2）解：第一次掷出的点数比第二次的大的情况有
共15种情况，
故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为.
（3）解：2次掷出的点数均为偶数的情况有：
，共9种情况，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）写出连续抛掷一枚均匀的骰子2次一共的情况数，再求出第一次掷出的点数恰好比第二次的情况数，再利用古典概型求概率公式计算出第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率.
（2）在（1）的基础上，得到第一次掷出的点数比第二次的大的情况数，再结合古典概型求概率公式，从而求出第一次掷出的点数比第二次的大的概率；
（3）在（1）的基础上，得到2次掷出的点数均为偶数的情况数，再结合古典概型求概率公式，从而求出2次掷出的点数均为偶数的概率.
（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
，
共36种情况，
其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有，共3种情况，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大的情况有
，
共15种情况，故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为；
（3）2次掷出的点数均为偶数的情况有
，共9种情况，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为.
17．（2024高二上·珠海期中）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
【答案】解：（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为.
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为.
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中点坐标公式，从而求得BC的中点坐标，再结合点A的坐标，则由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的中线所在的直线的方程.
（2）利用两点求斜率公式得出直线BC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求得其上的高所在直线的斜率，再利用高线过点，再由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的高所在直线的方程.
（3）由（1）知边BC的中点坐标为，由（2）知高的斜率为，再结合点斜式方程得出边BC的垂直平分线的方程.
18．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
【答案】解：建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
，，．
（1）.
（2），
当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，
取的中点，连接，，则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角，
，，
，
平面与平面夹角的余弦值是．
【知识点】函数的最大（小）值；数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．
（1）直接由空间两点间的距离公式可得的值.
（2）把（1）中求得，再利用配方法和二次函数的图象求最值的方法，从而得出MN的长的最小值，进而得出对应的实数a的值.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，从而求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，从而得到是平面与平面的夹角或其补角，再由数量积求向量夹角公式得出平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19．（2024高二上·珠海期中）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：
（1）求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
（2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，
解得，
所以，甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2）解：，
.
（3）证明：①，即得证.
②
，
，，
同理可得，
，
所以，，即得证．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，从而可求得的值，再根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数.
（2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得的值，再利用方差公式可求得的值.
（3）①利用平均数公式可证得结论成立；②利用已知条件，推导出，再利用方差公式可证得结论成立.
（1）解：由频率分布直方图可得，解得，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2）解：，
.
（3）证明：①，即得证；
②
，
，，
同理可得，
，
所以，，即得证．
1 / 1广东省珠海市金砖四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
1．（2024高二上·珠海期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·珠海期中）样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（ ）
A．50 B．53 C．57 D．45
3．（2024高二上·珠海期中）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·珠海期中）已知组数据 ， ，…， 的平均数为2，方差为5，则数据2 +1，2 +1，…，2 +1的平均数 与方差 分别为（ ）
A． =4， =10 B． =5， =11
C． =5， =20 D． =5， =21
5．（2024高二上·珠海期中）从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·珠海期中）已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
7．（2024高二上·珠海期中）已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·珠海期中）已知直线经过定点，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·珠海期中）给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2 D．85%分位数为5
10．（2024高二上·珠海期中）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
11．（2024高二上·珠海期中）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12．（2024高二上·珠海期中）在空间直角坐标系为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标为 .
13．（2024高二上·珠海期中）某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取 名.
14．（2024高二上·珠海期中）如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率 .
15．（2024高二上·珠海期中）已知.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
16．（2024高二上·珠海期中）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：
（1）第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大；
（3）2次掷出的点数均为偶数．
17．（2024高二上·珠海期中）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
18．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19．（2024高二上·珠海期中）随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：
（1）求图1中的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；
（2）估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为、的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】设斜率为，倾斜角为，
∵，∴，．
故答案为：D．
【分析】 由直线的方程求得它的斜率，再根据倾斜角的范围以及倾斜角和斜率的关系，求出直线的倾斜角的值.
2．【答案】A
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共7个，则，
所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.
故答案为：A．
【分析】根据百分位数的求解方法，从而找出答案.
3．【答案】B
【知识点】事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：因为事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；
因为包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；
因为事件与事件是对立事件，所以，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据事件的包含关系和事件的运算，即可判断各选项，从而找出关系不正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】根据题意，数据 ， ， ， 的平均数为2，方差为5，
则数据 ， ， ， 的平均数 ，
其方差 ；
故答案为：C．
【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．
5．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的样本点有：
（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，
甲被选中的样本点有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，
所以甲被选中的概率为，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和古典概型求概率公式，从而得出甲被选中的概率.
6．【答案】D
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】解：因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据向量共面定理得出，再由向量的坐标运算，从而得出实数的值.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为空间向量，，
所以
则在上的投影向量坐标是：
故答案为：B.
【分析】根据数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，再结合数量积求投影向量的方法，从而得出在上的投影向量坐标.
8．【答案】C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由题设有，
因为直线与连接两点的线段总有公共点，故或，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和两点求斜率公式，从而求出的斜率后可得直线的斜率的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由平均数的计算公式，可得，所以A正确；
由方程的公式，可得，
所以标准差为，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位数为5，所以D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意，可得，故A正确；
B、，，
则，即与不相互独立，故B错误；
C、，，
则，即与相互独立，故C正确；
D、，
则，即与相互独立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可判断BCD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：∵，，，且平面，
∴平面，平面，
∴，同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，
又因为三角形的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角，
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由选项A正确，可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用线面垂直的判定定理结合正方体的性质，从而判断出选项A；根据线面平行的判定定理、平行线的性质，再结合三棱锥的体积公式，从而判断出选项B；根据异面直线所成角的定义得出异面直线与所成角的取值范围，从而判断出选项C；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，从而从到点的坐标和向量坐标，再结合选项A得出是平面的一个法向量，再利用数量积求线面角的正弦值的方法结合二次函数的图象求最值的方法，从而判断出选项D；进而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】图形的对称性
【解析】【解答】解：在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为.
故答案为：.
【分析】在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称点为，由此得到点B的坐标.
13．【答案】10
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：根据分层抽样定义及性质，设高三学生应抽取名，
依题意得：，
所以.
故答案为：10.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而得出高三学生应抽取的人数.
14．【答案】0.672
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，
所以电路能正常工作的概率为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式，从而得出该电路正常工作的概率.
15．【答案】（1）解：
，
若，则，
即，
解得.
（2）解：
，
若，则，
即，
化简可得，
解得或.
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量平行的坐标表示和向量的坐标运算，从而得出实数k的值.
（2）根据空间向量互相垂直数量积为0的等价关系，再结合空间向量线性运算坐标表示、数量积的坐标表示，从而得出实数k的值.
（1），若，则，即，解得；
（2），若，则，即，化简可得，解得或.
16．【答案】（1）解：连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
共36种情况，其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有：，共3种情况，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为.
（2）解：第一次掷出的点数比第二次的大的情况有
共15种情况，
故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为.
（3）解：2次掷出的点数均为偶数的情况有：
，共9种情况，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）写出连续抛掷一枚均匀的骰子2次一共的情况数，再求出第一次掷出的点数恰好比第二次的情况数，再利用古典概型求概率公式计算出第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率.
（2）在（1）的基础上，得到第一次掷出的点数比第二次的大的情况数，再结合古典概型求概率公式，从而求出第一次掷出的点数比第二次的大的概率；
（3）在（1）的基础上，得到2次掷出的点数均为偶数的情况数，再结合古典概型求概率公式，从而求出2次掷出的点数均为偶数的概率.
（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：
，
共36种情况，
其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有，共3种情况，
故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为；
（2）第一次掷出的点数比第二次的大的情况有
，
共15种情况，故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为；
（3）2次掷出的点数均为偶数的情况有
，共9种情况，
故2次掷出的点数均为偶数的概率为.
17．【答案】解：（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为.
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为.
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的斜截式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件和中点坐标公式，从而求得BC的中点坐标，再结合点A的坐标，则由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的中线所在的直线的方程.
（2）利用两点求斜率公式得出直线BC的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求得其上的高所在直线的斜率，再利用高线过点，再由两点求斜率公式和点斜式方程得出边BC上的高所在直线的方程.
（3）由（1）知边BC的中点坐标为，由（2）知高的斜率为，再结合点斜式方程得出边BC的垂直平分线的方程.
18．【答案】解：建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，
，，．
（1）.
（2），
当时，最小，最小值为.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，
取的中点，连接，，则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角，
，，
，
平面与平面夹角的余弦值是．
【知识点】函数的最大（小）值；数量积表示两个向量的夹角；空间中两点间的距离公式
【解析】【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．
（1）直接由空间两点间的距离公式可得的值.
（2）把（1）中求得，再利用配方法和二次函数的图象求最值的方法，从而得出MN的长的最小值，进而得出对应的实数a的值.
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，从而求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，从而得到是平面与平面的夹角或其补角，再由数量积求向量夹角公式得出平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，
解得，
所以，甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2）解：，
.
（3）证明：①，即得证.
②
，
，，
同理可得，
，
所以，，即得证．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为，从而可求得的值，再根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数.
（2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得的值，再利用方差公式可求得的值.
（3）①利用平均数公式可证得结论成立；②利用已知条件，推导出，再利用方差公式可证得结论成立.
（1）解：由频率分布直方图可得，解得，
甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是.
（2）解：，
.
（3）证明：①，即得证；
②
，
，，
同理可得，
，
所以，，即得证．
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