广东省深圳市桃源居中澳实验学校等学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
1．（2024高二上·深圳期中）已知，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024高二上·深圳期中）已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·深圳期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·深圳期中）直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二上·深圳期中）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C． D．
6．（2024高二上·深圳期中）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·深圳期中）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．. D．
8．（2024高二上·深圳期中）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024高二上·深圳期中）圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2024高二上·深圳期中）如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二上·深圳期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高二上·深圳期中）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
13．（2024高二上·深圳期中）已知，若，则的值为 .
14．（2024高二上·深圳期中）已知直线，，且直线和平行，则实数m的值是 .
15．（2024高二上·深圳期中）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
16．（2024高二上·深圳期中）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ．
17．（2024高二上·深圳期中）过点的圆的切线方程是 .
18．（2024高二上·深圳期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 .
19．（2024高二上·深圳期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）倾斜角是，截距是4；
（3）经过点，点；
（4）经过点，且在两坐标轴上截距的和为5．
20．（2024高二上·深圳期中）求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心是，且过点；
（2）圆心在轴上，半径为5，且过点；
（3）求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
21．（2024高二上·深圳期中）如图，正方体棱长为2，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（2024高二上·深圳期中）已知圆的圆心在坐标原点，且过点．
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．
（3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量数量积坐标公式计算即可.
2．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
因为直线l经过点，所以直线的斜率为，
即，则.
故答案为：B.
【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，再根据直线倾斜角和斜率的关系求解倾斜角的大小即可.
3．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：点为的中点，如图所示：
则有，
所以.
故答案为：B.
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，再利用基底表示所求向量．
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，，解得或，
则是的充分不必要条件.
故答案为：B．
【分析】先根据两直线垂直求出参数值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
5．【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线l与平面垂直，所以与平行，
设，则，解得，则实数 x的值为.
故答案为：D.
【分析】由题意，可得与平行，设，列方程组，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为所求直线与已知直线垂直，则所求直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据直线垂直得到所求直线的斜率，因为直线经过原点，得到y轴截距，从而得到方程.
7．【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程表示圆，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】由方程表示圆，则得到不等式，求解即可得实数a的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，即直线，
则与之间的距离为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据直线平行，求出值，再根据平行线间的距离公式求值即可.
9．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故答案为：C.
【分析】先求圆心和半径，再利用几何性质求解即可.
10．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
则与所成的角的余弦值为
.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
11．【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由题可得：，，
又存在与线段相交的直线与轴垂直，如图所示：
因此直线的斜率的范围是，
故答案为：D．
【分析】根据已知条件，利用斜率公式求的斜率，结合图象求解即可．
12．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：化直线：为，
由，得到，则直线恒过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故答案为：B.
【分析】先求直线恒过定点，再利用两点距离公式求解即可.
13．【答案】5
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，则，求得，
则.
故答案为：5.
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得，即可得的值.
14．【答案】
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线和平行， 所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】根据直线平行列式求解即可.
15．【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设外接圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，所以，解得，
则所求圆的一般方程为：.
故答案为：.
【分析】设圆的一般方程为，代点求值即可得的外接圆得方程.
16．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意，可得，因为为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】根据易知条件，利用点到平面的向量求法列式计算即可．
17．【答案】或
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知圆心坐标为，半径为，
当过点的直线斜率不存在是，直线为，符合题意；
当过点的直线斜率存在时，设过点的斜率存在的切线方程为，
即，则圆心到直线的距离，解得，
故为圆的一条切线，
故所求切线方程为或.
故答案为：或.
【分析】先求圆的圆心和半径，当过点斜率不存在的直线为圆的切线；当过点斜率存在时，设圆的过斜率存在的切线为，结合切线的性质列方程求，由此可得结论.
18．【答案】5
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：圆的圆心，半径，
直线：，即，令，解得，
则直线过定点，
圆心到直线的最大距离为.
故答案为：.
【分析】先求出圆心坐标和半径，与直线过定点坐标，再求两点间的距离求解即可.
19．【答案】（1）解：由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，即；
（2）解：由直线倾斜角是得直线斜率为，
当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得，
当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得，
综上得，直线方程为；
（3）解： 经过点，点，直线的两点式方程为：，整理可得；
（4）解：由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为，
所以直线的截距式方程为，整理得.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）根据直线平行斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，再化为一般式 即可；
（2）截距为分为在轴上截距为和在轴上的截距为，根据条件写出直线方程即可；
（3）写出直线的两点式方程，化为一般式方程即可；
（4）分析直线在轴、轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式即可.
（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）由直线倾斜角是得直线斜率为，
当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得，
当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得，
综上得，直线方程为.
（3）由条件得直线的两点式方程为：，整理得.
（4）由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为，
所以直线的截距式方程为，整理得.
20．【答案】（1）解：因为圆心为，且过点，所以，
则圆的标准方程为；
（2）解：设圆心为，
则，解得或，
则圆心为或，
又因为，所以圆的标准方程为或；
（3）解：设圆心为，
因为，
所以，
即，
所以，，
则圆的标准方程为．
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，利用两点距离公式求半径，写圆的标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写圆的标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写圆的标准方程即可.
（1）由题意可知：，
圆的标准方程为；
（2）设圆心为，
则，
或，
圆心为或，
又，圆的标准方程为或；
（3）设圆心为，
，
，
即，
，，
圆的标准方程为．
21．【答案】（1）证明：连接，，连接，如图所示：
因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，，令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求直线与平面所成角的正弦值即可.
（1）连接，，连接，
分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，，令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22．【答案】（1）解：因为圆的圆心在坐标原点，且过点，所以圆的半径为，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线的斜率，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（3）解：圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以到直线的距离的最大值为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，利用两点间距离公式求得圆的半径，即可得圆的标准方程；
（2）求出直线的斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算即可；
（3）求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线的距离的最大值即可.
（1）依题意圆的半径为，
所以圆的方程为；
（2）因为直线的斜率，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（3）圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以到直线的距离的最大值为.
1 / 1广东省深圳市桃源居中澳实验学校等学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
1．（2024高二上·深圳期中）已知，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：，，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量数量积坐标公式计算即可.
2．（2024高二上·深圳期中）已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，
因为直线l经过点，所以直线的斜率为，
即，则.
故答案为：B.
【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，再根据直线倾斜角和斜率的关系求解倾斜角的大小即可.
3．（2024高二上·深圳期中）空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：点为的中点，如图所示：
则有，
所以.
故答案为：B.
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，再利用基底表示所求向量．
4．（2024高二上·深圳期中）直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：当时，，解得或，
则是的充分不必要条件.
故答案为：B．
【分析】先根据两直线垂直求出参数值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
5．（2024高二上·深圳期中）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l与平面垂直，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为直线l与平面垂直，所以与平行，
设，则，解得，则实数 x的值为.
故答案为：D.
【分析】由题意，可得与平行，设，列方程组，求解即可.
6．（2024高二上·深圳期中）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：因为所求直线与已知直线垂直，则所求直线的斜率为，
则所求直线的方程为，即.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据直线垂直得到所求直线的斜率，因为直线经过原点，得到y轴截距，从而得到方程.
7．（2024高二上·深圳期中）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．. D．
【答案】A
【知识点】二元二次方程表示圆的条件
【解析】【解答】解：方程表示圆，
则，解得.
故答案为：A.
【分析】由方程表示圆，则得到不等式，求解即可得实数a的取值范围.
8．（2024高二上·深圳期中）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，即直线，
则与之间的距离为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据直线平行，求出值，再根据平行线间的距离公式求值即可.
9．（2024高二上·深圳期中）圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故答案为：C.
【分析】先求圆心和半径，再利用几何性质求解即可.
10．（2024高二上·深圳期中）如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
则与所成的角的余弦值为
.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
11．（2024高二上·深圳期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：由题可得：，，
又存在与线段相交的直线与轴垂直，如图所示：
因此直线的斜率的范围是，
故答案为：D．
【分析】根据已知条件，利用斜率公式求的斜率，结合图象求解即可．
12．（2024高二上·深圳期中）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：化直线：为，
由，得到，则直线恒过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
故答案为：B.
【分析】先求直线恒过定点，再利用两点距离公式求解即可.
13．（2024高二上·深圳期中）已知，若，则的值为 .
【答案】5
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，则，求得，
则.
故答案为：5.
【分析】根据向量平行的坐标表示计算得，即可得的值.
14．（2024高二上·深圳期中）已知直线，，且直线和平行，则实数m的值是 .
【答案】
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线和平行， 所以，解得，
则.
故答案为：.
【分析】根据直线平行列式求解即可.
15．（2024高二上·深圳期中）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：设外接圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，所以，解得，
则所求圆的一般方程为：.
故答案为：.
【分析】设圆的一般方程为，代点求值即可得的外接圆得方程.
16．（2024高二上·深圳期中）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意，可得，因为为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】根据易知条件，利用点到平面的向量求法列式计算即可．
17．（2024高二上·深圳期中）过点的圆的切线方程是 .
【答案】或
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知圆心坐标为，半径为，
当过点的直线斜率不存在是，直线为，符合题意；
当过点的直线斜率存在时，设过点的斜率存在的切线方程为，
即，则圆心到直线的距离，解得，
故为圆的一条切线，
故所求切线方程为或.
故答案为：或.
【分析】先求圆的圆心和半径，当过点斜率不存在的直线为圆的切线；当过点斜率存在时，设圆的过斜率存在的切线为，结合切线的性质列方程求，由此可得结论.
18．（2024高二上·深圳期中）已知圆：，则圆心到直线：的最大距离为 .
【答案】5
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：圆的圆心，半径，
直线：，即，令，解得，
则直线过定点，
圆心到直线的最大距离为.
故答案为：.
【分析】先求出圆心坐标和半径，与直线过定点坐标，再求两点间的距离求解即可.
19．（2024高二上·深圳期中）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）倾斜角是，截距是4；
（3）经过点，点；
（4）经过点，且在两坐标轴上截距的和为5．
【答案】（1）解：由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，即；
（2）解：由直线倾斜角是得直线斜率为，
当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得，
当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得，
综上得，直线方程为；
（3）解： 经过点，点，直线的两点式方程为：，整理可得；
（4）解：由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为，
所以直线的截距式方程为，整理得.
【知识点】直线的点斜式方程；直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）根据直线平行斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，再化为一般式 即可；
（2）截距为分为在轴上截距为和在轴上的截距为，根据条件写出直线方程即可；
（3）写出直线的两点式方程，化为一般式方程即可；
（4）分析直线在轴、轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式即可.
（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
（2）由直线倾斜角是得直线斜率为，
当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得，
当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得，
综上得，直线方程为.
（3）由条件得直线的两点式方程为：，整理得.
（4）由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为，
所以直线的截距式方程为，整理得.
20．（2024高二上·深圳期中）求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心是，且过点；
（2）圆心在轴上，半径为5，且过点；
（3）求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）解：因为圆心为，且过点，所以，
则圆的标准方程为；
（2）解：设圆心为，
则，解得或，
则圆心为或，
又因为，所以圆的标准方程为或；
（3）解：设圆心为，
因为，
所以，
即，
所以，，
则圆的标准方程为．
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，利用两点距离公式求半径，写圆的标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写圆的标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写圆的标准方程即可.
（1）由题意可知：，
圆的标准方程为；
（2）设圆心为，
则，
或，
圆心为或，
又，圆的标准方程为或；
（3）设圆心为，
，
，
即，
，，
圆的标准方程为．
21．（2024高二上·深圳期中）如图，正方体棱长为2，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，，连接，如图所示：
因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，，令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）连接，根据线面平行的判定定理证明平面即可；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求直线与平面所成角的正弦值即可.
（1）连接，，连接，
分别是的中点，，
又平面，平面，
平面；
（2）如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，，令，得，
设直线与平面所成角为，
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22．（2024高二上·深圳期中）已知圆的圆心在坐标原点，且过点．
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．
（3）已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）解：因为圆的圆心在坐标原点，且过点，所以圆的半径为，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线的斜率，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（3）解：圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以到直线的距离的最大值为.
【知识点】直线的点斜式方程；平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）由题意，利用两点间距离公式求得圆的半径，即可得圆的标准方程；
（2）求出直线的斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算即可；
（3）求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线的距离的最大值即可.
（1）依题意圆的半径为，
所以圆的方程为；
（2）因为直线的斜率，所以直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（3）圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以到直线的距离的最大值为.
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