广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题
1．（2024高二上·珠海期中）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
2．（2024高二上·珠海期中）直线的方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·珠海期中）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
4．（2024高二上·珠海期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
5．（2024高二上·珠海期中）设，，，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2024高二上·珠海期中）如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·珠海期中）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高二上·珠海期中）已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．点到直线的最大距离为
D．直线一定经过第四象限
10．（2024高二上·珠海期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若发生时一定发生，则
11．（2024高二上·珠海期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
12．（2024高二上·珠海期中）已知数据的平均数5，则数据的平均数为 .
13．（2024高二上·珠海期中）直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为 .
14．（2024高二上·珠海期中）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 .
15．（2024高二上·珠海期中）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
（1）求直线的一般式方程；
（2）求直线的一般式方程及点的坐标.
16．（2024高二上·珠海期中）第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
17．（2024高二上·珠海期中）某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：
（1）求图中的值；
（2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）
18．（2024高二上·珠海期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
19．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）证明：平面；
（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：已知8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为，所以第75百分位数为第6，7的数的平均数即.
故答案为：B.
【分析】先把8个数从小到大排列，再根据第75百分位数的定义计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：把直线化成，则直线的斜率为，所以直线方向向量是.
故答案为：A.
【分析】先把直线的一般式方程化成斜截式方程求出k，再根据直线的斜率及方向向量定义判断即可求解.
3．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由已知条件可设样本空间为，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故答案为：B
【分析】先设样本空间为，写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义逐个判断即可求解.
4．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得或，
当时，直线：，直线：，两直线平行；
当时，直线：，直线：，两直线平行，
则或.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的充要条件，列式求解，再检验即可.
5．【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】先根据向量的平行坐标对应成倍数可得y，z和根据向量垂直数量积为0可求出x，从而可得的坐标，再根据向量模的计算公式即可求解.
6．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在平行六面体中，已知E为BC的中点，
所以.
故答案为：B
【分析】由题意E为BC的中点，利用空间向量的线性运算即可求解.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：已知灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合，
由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮，
而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合，
所以灯亮的概率为.
故答案为：D.
【分析】先判断出灯亮的条件，再利用两个独立事件及对立事件概率公式来即可求解
8．【答案】B
【知识点】类比推理；平面的法向量
【解析】【解答】解：平面的法向量为，
，化简可得
则该平面的方程为.
故答案为：B.
【分析】把直线的点法式方程的求法进行类比即可求解．
9．【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：A、直线化为，
联立方程组，解得，则直线过定点，故A正确；
B、当时，直线，
在直线上取两点，则点关于轴对称的点，
点关于轴对称的点，
则关于轴对称直线为，即，故B正确；
C、由A选项可知直线过定点，则当直线时，点到直线的距离最大，
最大距离为，故C正确；
D、 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】化直线方程为求解即可判断A；由直线，结合对称性和直线方程即可判断B；结合直线时，点到直线的距离最大即可判断C；根据直线不一定经过第四象限即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为与互斥，则，故A选项错误，
对于选项B、与相互独立，则，故B选项正确，
C、因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，故C选项正确，
D、因为发生时一定发生，所以，则，故D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断A，选项B，利用，求得即可判断B；利用相互独立的判断方法即可判断C；由题意知，即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：、非零向量，，若，则，故A选项正确；
、若对空间中任意一点，有，
，，，，四点共面，故B选项正确；
、 ∵
∴共面，不可以构成空间的一组基底，故C选项错误；
、若空间四个点，，，，，∵，则，，三点共线，故D选项正确．
故答案为：．
【分析】由向量垂直的性质判断；由共面向量定理判断；由向量加法法则判断；由共线向量定理判断．
12．【答案】17
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由已知条件可得，
则.
故答案为：
【分析】把平均数转化成即可求解.
13．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：，点到直线l的距离为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用空间中点到直线的距离公式计算即可.
14．【答案】37
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由已知条件可得总样本的平均数为，
总样本的方差为
故答案为：37
【分析】根据题意先计算出总体的平均值，再结合分层抽样方差公式计算即可求解.
15．【答案】（1）解：因为，所以且，所以，
又因为，所以直线：，即；
（2）解：因为，所以，
所以，边上的高所在直线的方程为 ，
令，则，即，
因为，所以，
所以直线：；
联立方程，解得，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）由题意，根据两直线垂直求得直线斜率，再利用点斜式求直线方程即可；
（2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，求交点坐标即可.
（1）∵，∴且，∴，
∵，∴直线：，即
（2）∵，∴，∴
方程，令，则，∴，
∴，∴，
∴直线：
联立方程，解得
即
16．【答案】（1）解：由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
（3）解：由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先计算出3人都通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；
（2）)先分别计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式即可求解；
（3）先根据奖金为1200元，判断出3人中有2人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；
（1）由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
（2）甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
（3）由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
17．【答案】（1）解：，.
（2）解：原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；
人均在的概率.
（3）解：由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率和为列出关于a的方程即可求解；
（2）先根据分层抽样原则确定这两层的人数，再列举法出到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，再利用古典概型概率公式可求得结果；
（3）先分析可知所求为样本数据的中位数，再根据频率分布直方图估计中位数的方法即可求解.
（1），.
（2）原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；
人均在的概率.
（3）由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）.
18．【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：，其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得出平面，再以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面即可得证；
（2）由（1）可得，再用空间两点间的距离公式可求得结合二次函数即可求解；
（3）先写出点、的坐标，利用空间向量法可求出平面与平面夹角的余弦值即可求解.
（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：，其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
1 / 1广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题
1．（2024高二上·珠海期中）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：已知8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为，所以第75百分位数为第6，7的数的平均数即.
故答案为：B.
【分析】先把8个数从小到大排列，再根据第75百分位数的定义计算即可求解.
2．（2024高二上·珠海期中）直线的方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程；直线的方向向量
【解析】【解答】解：把直线化成，则直线的斜率为，所以直线方向向量是.
故答案为：A.
【分析】先把直线的一般式方程化成斜截式方程求出k，再根据直线的斜率及方向向量定义判断即可求解.
3．（2024高二上·珠海期中）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由已知条件可设样本空间为，
则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，
事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }；
事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}，
事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}，
事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝，
由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件.
故答案为：B
【分析】先设样本空间为，写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义逐个判断即可求解.
4．（2024高二上·珠海期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线：与直线：平行，所以，解得或，
当时，直线：，直线：，两直线平行；
当时，直线：，直线：，两直线平行，
则或.
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行的充要条件，列式求解，再检验即可.
5．（2024高二上·珠海期中）设，，，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且，
所以，所以，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】先根据向量的平行坐标对应成倍数可得y，z和根据向量垂直数量积为0可求出x，从而可得的坐标，再根据向量模的计算公式即可求解.
6．（2024高二上·珠海期中）如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在平行六面体中，已知E为BC的中点，
所以.
故答案为：B
【分析】由题意E为BC的中点，利用空间向量的线性运算即可求解.
7．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的电路中，三个开关，，闭合与否相互独立，且在某一时刻，，闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：已知灯亮由两个独立事件组成，即开关同时闭合和开关同时闭合，
由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮，
而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合，
所以灯亮的概率为.
故答案为：D.
【分析】先判断出灯亮的条件，再利用两个独立事件及对立事件概率公式来即可求解
8．（2024高二上·珠海期中）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】类比推理；平面的法向量
【解析】【解答】解：平面的法向量为，
，化简可得
则该平面的方程为.
故答案为：B.
【分析】把直线的点法式方程的求法进行类比即可求解．
9．（2024高二上·珠海期中）已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．点到直线的最大距离为
D．直线一定经过第四象限
【答案】A,B,C
【知识点】恒过定点的直线；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：A、直线化为，
联立方程组，解得，则直线过定点，故A正确；
B、当时，直线，
在直线上取两点，则点关于轴对称的点，
点关于轴对称的点，
则关于轴对称直线为，即，故B正确；
C、由A选项可知直线过定点，则当直线时，点到直线的距离最大，
最大距离为，故C正确；
D、 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】化直线方程为求解即可判断A；由直线，结合对称性和直线方程即可判断B；结合直线时，点到直线的距离最大即可判断C；根据直线不一定经过第四象限即可判断D.
10．（2024高二上·珠海期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若发生时一定发生，则
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为与互斥，则，故A选项错误，
对于选项B、与相互独立，则，故B选项正确，
C、因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，故C选项正确，
D、因为发生时一定发生，所以，则，故D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断A，选项B，利用，求得即可判断B；利用相互独立的判断方法即可判断C；由题意知，即可判断D.
11．（2024高二上·珠海期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．非零向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：、非零向量，，若，则，故A选项正确；
、若对空间中任意一点，有，
，，，，四点共面，故B选项正确；
、 ∵
∴共面，不可以构成空间的一组基底，故C选项错误；
、若空间四个点，，，，，∵，则，，三点共线，故D选项正确．
故答案为：．
【分析】由向量垂直的性质判断；由共面向量定理判断；由向量加法法则判断；由共线向量定理判断．
12．（2024高二上·珠海期中）已知数据的平均数5，则数据的平均数为 .
【答案】17
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由已知条件可得，
则.
故答案为：
【分析】把平均数转化成即可求解.
13．（2024高二上·珠海期中）直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：，点到直线l的距离为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用空间中点到直线的距离公式计算即可.
14．（2024高二上·珠海期中）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 .
【答案】37
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由已知条件可得总样本的平均数为，
总样本的方差为
故答案为：37
【分析】根据题意先计算出总体的平均值，再结合分层抽样方差公式计算即可求解.
15．（2024高二上·珠海期中）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
（1）求直线的一般式方程；
（2）求直线的一般式方程及点的坐标.
【答案】（1）解：因为，所以且，所以，
又因为，所以直线：，即；
（2）解：因为，所以，
所以，边上的高所在直线的方程为 ，
令，则，即，
因为，所以，
所以直线：；
联立方程，解得，即.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【分析】（1）由题意，根据两直线垂直求得直线斜率，再利用点斜式求直线方程即可；
（2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，求交点坐标即可.
（1）∵，∴且，∴，
∵，∴直线：，即
（2）∵，∴，∴
方程，令，则，∴，
∴，∴，
∴直线：
联立方程，解得
即
16．（2024高二上·珠海期中）第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．
【答案】（1）解：由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
（3）解：由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先计算出3人都通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；
（2）)先分别计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式即可求解；
（3）先根据奖金为1200元，判断出3人中有2人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；
（1）由题意可得：3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
（2）甲参加市知识竞赛的概率为，
乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人都参加市知识竞赛的概率为；
（3）由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，
记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，
则.
17．（2024高二上·珠海期中）某省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；等级排名占比，赋分分数区间是；现从全年级的生物成绩中随机抽取名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：
（1）求图中的值；
（2）从生物原始成绩为的学生中用分层抽样的方法抽取人，从这人中任意抽取人，求人均在的概率；
（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）？（结果保留整数）
【答案】（1）解：，.
（2）解：原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；
人均在的概率.
（3）解：由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用频率和为列出关于a的方程即可求解；
（2）先根据分层抽样原则确定这两层的人数，再列举法出到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，再利用古典概型概率公式可求得结果；
（3）先分析可知所求为样本数据的中位数，再根据频率分布直方图估计中位数的方法即可求解.
（1），.
（2）原始分在和的频率之比为，
抽取的人中，原始分在的人数为，记为；原始分在的人数为，记为；
则从人中抽取人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中抽取的人原始分均在的结果有：，，，，，，共个基本事件；
人均在的概率.
（3）由题意知：等级排名占比为，
则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的等级及以上（含等级）；
，，
中位数位于之间，设中位数为，则，解得：，
原始分不少于分才能达到赋分后的等级及以上（含等级）.
18．（2024高二上·珠海期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．（2024高二上·珠海期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.
（1）证明：平面；
（2）当为何值时，的长最小并求出最小值；
（3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：，其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理得出平面，再以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面即可得证；
（2）由（1）可得，再用空间两点间的距离公式可求得结合二次函数即可求解；
（3）先写出点、的坐标，利用空间向量法可求出平面与平面夹角的余弦值即可求解.
（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为，所以，.
则，易知平面的一个法向量为.
因为，所以.
又平面，所以平面.
（2）解：，其中.
，
当时，最小，最小值为.
（3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短，
此时、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
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