广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷
1．（2024高二上·广州期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则取值为，即，故.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求集合B中的元素，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二上·广州期中）设，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，先根据共轭复数的定义写出，再根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
3．（2024高二上·广州期中）已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式计算即可.
4．（2024高二上·广州期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
5．（2024高二上·广州期中）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据三角函数最值求得周期性，再结合三角函数最小正周期公式运算求解即可.
6．（2024高二上·广州期中）已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆：，
当时，可得，则椭圆的离心率为，
由，可得，解得；
当时，可得，则椭圆的离心率为，
由，可得，解得，
故“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，再结合充分、必要条件的判定方法判断即可.
7．（2024高二上·广州期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象
【解析】【解答】解：由图知的定义域为，
A、函数的定义域为，故A正确；
B、函数的定义域为，故B错误；
C、函数的定义域均为，因为当时，，不符合图象，故C错误；
D、函数的定义域为，故D错误.
故答案为：A.
【分析】由图象知函数的定义域，再逐项求函数的定义域即可排除B、D；再根据不成立排除C.
8．（2024高二上·广州期中）若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，，
则在上的投影向量的模为，
故点A到直线的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题意易得，，再根据点线距离的向量公式求解即可.
9．（2024高二上·广州期中）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，
则直线方程为，即，
A、因为直线经过点， 所以，因此是直线的一个方向向量，故A正确；
B、直线方程，令，可得，令，可得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，故B错误；
C、由于，故C正确；
D、倾斜角等于，且经过点的直线方程为，
与直线重合，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】先求直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识逐项分析判断即可.
10．（2024高二上·广州期中）圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】A,B
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：A、圆，，
两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；
B、圆的圆心为，，
则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
C、圆心到直线的距离为，
因为圆的半径，所以，故C错误；
D、为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，两圆方程相减即可得公共弦的方程判断A；求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线AB的距离，则公共弦AB的长可求判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值即可判断D.
11．（2024高二上·广州期中）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．当是靠近的三等分点时，，，共面；
C．当时，；
D．的最小值为．
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为基底，则，，
，，
A、因为，
所以，
故A错误；
B、当是靠近的三等分点，即时，
，
又，所以.故，，共面，故B正确；
C、因为，
所以：，所以，故，故C正确；
D、设，，
因为：，
所以，.
当时，有最小值，为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意以为基底，表示出相关向量，即可判断A；借助空间向量共面的判定方法即可判断B；利用空间向量数量积的有关运算即可判断CD.
12．（2024高二上·广州期中）已知直线与圆相切，则 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，
故答案为：
【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.
13．（2024高二上·广州期中）已知函数 是偶函数，它在 上是减函数，若满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 是偶函数，所以 可化为 ，
因为函数 在 上是减函数，
所以 ，所以 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】 利用偶函数的定义结合减函数的性质，再结合已知条件和对数函数的单调性，从而求出满足 的实数x的取值范围。
14．（2024高二上·广州期中）印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体 圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由对称性知：该多面体的各顶点在棱长为的正方体的表面上，
设其外接球的球心为，正方形的中心为，如图所示：
则点到平面的距离，又，
所以该多面体外接球的半径，
故该球的表面积为.
故答案为：.
【分析】先根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，再根据已知求球体半径，利用球体表面积公式求解即可.
15．（2024高二上·广州期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．（2024高二上·广州期中）圆M经过三点：A（2，），B（0，4），C（，0）.
（1）求圆M的方程；
（2）过点P（2，3）的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
【答案】（1）解：设圆M方程为：，
因为圆M过，所以
解得，
则圆M方程为：；
（2）解：圆C的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
因为直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到所求直线的距离为，
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l为：，即，
则解得，此时直线l的方程为，
综上，直线l的方程为或.
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意设圆的一般方程，代入三点坐标求参数即可得圆的一般方程；
（2）求出圆的标准方程得圆心坐标和半径，由弦长求得圆心到直线的距离，分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程，斜率不存在时检验．
（1）设圆M方程为：，
∵圆M过.
∴
解得，
∴圆M方程为：，
（2）圆C的标准方程为，
圆心坐标为，半径为，
∵直线l被圆C截得的弦长为6，
∴圆心到所求直线的距离为.
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l为：，即，
∴解得，此时直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
17．（2024高二上·广州期中）如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
【答案】解：以C为原点，CB为x轴，为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为，所以，
Ⅰ证明：，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
，即，则平面；
Ⅱ，
设平面ABD的一个法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
，
即二面角的余弦值为；
Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，而，
故点到平面的距离为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可；
(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面的一个法向量，利用二面角的向量公式求解即可；
(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点到平面的距离为，再求解即可.
18．（2024高二上·广州期中）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.
【答案】（1）解：易知，即，
因为，所以，则，
故所求椭圆的标准方程为；
（2）解：由题意知：直线的斜率存在且不为零，
设，，，，中点，
联立，消去并整理得：，
恒成立，
则，，，
，
则方程为：，即，
化简得：
设直线在轴上截距为，令得，
由可知，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意求得，即可得椭圆标准方程；
（2）设与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.
（1）由题意，，即，
又，所以，
故，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）如图，
由题意知：直线的斜率存在且不为零，
设，，，，中点，
联立，消去并整理得：，
恒成立，
则，，，
，
则方程为：，即，
化简得：
设直线在轴上截距为，令得，
由可知，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
19．（2024高二上·广州期中）定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为.
（1）求；
（2）已知函数不存在最小值，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
解得且，又，，
所以不等式解集；
（2）解：由（1）可知，则，
所以当时，；
当时，
当，即时，，所以不存在最小值；
当，即时，，因为不存在最小值，
所以，解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；三阶矩阵
【解析】【分析】（1）由三阶行列式运算，列不等式求解集即可；
（2）由（1）可得，求得分段函数解析式，分别讨论定义区间内函数不存在最小值的条件，可求的取值范围.
（1），
解得且，又，，
所以不等式解集.
（2）由（1）可知，有，
所以当时，；
当时，
当，即时，，所以不存在最小值；
当，即时，，因为不存在最小值，
所以，解得，
综上，的取值范围是.
1 / 1广东省广州市禺山高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试卷
1．（2024高二上·广州期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·广州期中）设，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2024高二上·广州期中）已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．（2024高二上·广州期中）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·广州期中）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二上·广州期中）已知椭圆：，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二上·广州期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·广州期中）若，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·广州期中）已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A．的一个方向向量为
B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C．与直线垂直
D．与直线平行
10．（2024高二上·广州期中）圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11．（2024高二上·广州期中）如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A．；
B．当是靠近的三等分点时，，，共面；
C．当时，；
D．的最小值为．
12．（2024高二上·广州期中）已知直线与圆相切，则 .
13．（2024高二上·广州期中）已知函数 是偶函数，它在 上是减函数，若满足 ，则 的取值范围是 .
14．（2024高二上·广州期中）印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体 圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 .
15．（2024高二上·广州期中）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求．
（2）若，求的周长．
16．（2024高二上·广州期中）圆M经过三点：A（2，），B（0，4），C（，0）.
（1）求圆M的方程；
（2）过点P（2，3）的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.
17．（2024高二上·广州期中）如图，已知直三棱柱的底面是直角三角形，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18．（2024高二上·广州期中）已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.
19．（2024高二上·广州期中）定义三阶行列式运算：，其中.已知，关于的不等式的解集为.
（1）求；
（2）已知函数不存在最小值，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
则取值为，即，故.
故答案为：C.
【分析】由题意，先求集合B中的元素，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，先根据共轭复数的定义写出，再根据复数代数形式的乘法运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
5．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，且，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据三角函数最值求得周期性，再结合三角函数最小正周期公式运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆：，
当时，可得，则椭圆的离心率为，
由，可得，解得；
当时，可得，则椭圆的离心率为，
由，可得，解得，
故“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】根据椭圆的几何性质，列出方程，求得的值，再结合充分、必要条件的判定方法判断即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的图象
【解析】【解答】解：由图知的定义域为，
A、函数的定义域为，故A正确；
B、函数的定义域为，故B错误；
C、函数的定义域均为，因为当时，，不符合图象，故C错误；
D、函数的定义域为，故D错误.
故答案为：A.
【分析】由图象知函数的定义域，再逐项求函数的定义域即可排除B、D；再根据不成立排除C.
8．【答案】A
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：易知，，
则在上的投影向量的模为，
故点A到直线的距离为．
故答案为：A.
【分析】由题意易得，，再根据点线距离的向量公式求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，
则直线方程为，即，
A、因为直线经过点， 所以，因此是直线的一个方向向量，故A正确；
B、直线方程，令，可得，令，可得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，故B错误；
C、由于，故C正确；
D、倾斜角等于，且经过点的直线方程为，
与直线重合，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】先求直线的斜率，根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识逐项分析判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：A、圆，，
两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确；
B、圆的圆心为，，
则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
C、圆心到直线的距离为，
因为圆的半径，所以，故C错误；
D、为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意，两圆方程相减即可得公共弦的方程判断A；求出其中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程即可判断B；求出其中一个圆的圆心到直线AB的距离，则公共弦AB的长可求判断C；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：以为基底，则，，
，，
A、因为，
所以，
故A错误；
B、当是靠近的三等分点，即时，
，
又，所以.故，，共面，故B正确；
C、因为，
所以：，所以，故，故C正确；
D、设，，
因为：，
所以，.
当时，有最小值，为：，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意以为基底，表示出相关向量，即可判断A；借助空间向量共面的判定方法即可判断B；利用空间向量数量积的有关运算即可判断CD.
12．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由点到直线的距离公式可得，
故答案为：
【分析】根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解.
13．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数 是偶函数，所以 可化为 ，
因为函数 在 上是减函数，
所以 ，所以 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】 利用偶函数的定义结合减函数的性质，再结合已知条件和对数函数的单调性，从而求出满足 的实数x的取值范围。
14．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：由对称性知：该多面体的各顶点在棱长为的正方体的表面上，
设其外接球的球心为，正方形的中心为，如图所示：
则点到平面的距离，又，
所以该多面体外接球的半径，
故该球的表面积为.
故答案为：.
【分析】先根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，再根据已知求球体半径，利用球体表面积公式求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，即，即，
又因为，所以，故，解得.
（2）解：因为，所以由正弦定理可得：，
又因为，所以，所以，解得，
由（1）可得：，
则，
由正弦定理，可得，解得，
故的周长为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用辅助角公式化简原式可得，求解A即可；
（2）由题意，根据正弦定理化边为角求，再根据正弦定理算出，从而即可求的周长.
16．【答案】（1）解：设圆M方程为：，
因为圆M过，所以
解得，
则圆M方程为：；
（2）解：圆C的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
因为直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到所求直线的距离为，
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l为：，即，
则解得，此时直线l的方程为，
综上，直线l的方程为或.
【知识点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意设圆的一般方程，代入三点坐标求参数即可得圆的一般方程；
（2）求出圆的标准方程得圆心坐标和半径，由弦长求得圆心到直线的距离，分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程，斜率不存在时检验．
（1）设圆M方程为：，
∵圆M过.
∴
解得，
∴圆M方程为：，
（2）圆C的标准方程为，
圆心坐标为，半径为，
∵直线l被圆C截得的弦长为6，
∴圆心到所求直线的距离为.
当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意；
当直线l斜率存在时，设直线l为：，即，
∴解得，此时直线l的方程为.
综上，直线l的方程为或.
17．【答案】解：以C为原点，CB为x轴，为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为，所以，
Ⅰ证明：，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
，即，则平面；
Ⅱ，
设平面ABD的一个法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
，
即二面角的余弦值为；
Ⅲ设点到平面的距离为d，则易知，而，
故点到平面的距离为．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(Ⅰ)由题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解判断即可；
(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面的一个法向量，利用二面角的向量公式求解即可；
(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点到平面的距离为，再求解即可.
18．【答案】（1）解：易知，即，
因为，所以，则，
故所求椭圆的标准方程为；
（2）解：由题意知：直线的斜率存在且不为零，
设，，，，中点，
联立，消去并整理得：，
恒成立，
则，，，
，
则方程为：，即，
化简得：
设直线在轴上截距为，令得，
由可知，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意求得，即可得椭圆标准方程；
（2）设与椭圆方程联立后，得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.
（1）由题意，，即，
又，所以，
故，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）如图，
由题意知：直线的斜率存在且不为零，
设，，，，中点，
联立，消去并整理得：，
恒成立，
则，，，
，
则方程为：，即，
化简得：
设直线在轴上截距为，令得，
由可知，
所以直线在轴上的截距的取值范围为.
19．【答案】（1）解：，
解得且，又，，
所以不等式解集；
（2）解：由（1）可知，则，
所以当时，；
当时，
当，即时，，所以不存在最小值；
当，即时，，因为不存在最小值，
所以，解得，
综上，的取值范围是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；三阶矩阵
【解析】【分析】（1）由三阶行列式运算，列不等式求解集即可；
（2）由（1）可得，求得分段函数解析式，分别讨论定义区间内函数不存在最小值的条件，可求的取值范围.
（1），
解得且，又，，
所以不等式解集.
（2）由（1）可知，有，
所以当时，；
当时，
当，即时，，所以不存在最小值；
当，即时，，因为不存在最小值，
所以，解得，
综上，的取值范围是.
1 / 1
