广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2024高二上·广州期中）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，所以，解得，
则复数，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数为纯虚数求得的值，再根据复数的几何意义求解即可.
2．（2024高二上·广州期中）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的表示方法；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意可知：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，
则第一段图象为线段，且为增函数，故排除A，D；
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C．
故答案为：C．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加排除AD；再根据停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减排除B，即可得正确答案．
3．（2024高二上·广州期中）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由，得，则集合；
由，得，则集合，
由图可知阴影部分表示的集合为.
故答案为：C．
【分析】解不等式先求得集合、，再根据阴影部分表示的集合为，利用集合的交集、补集运算求解即可.
4．（2024高二上·广州期中）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 得： ， 即 ，
所以 ，又 ，所以当 时， ，
故答案为：C.
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α-β）=cosα，然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα，即可得到正确的选项．
5．（2024高二上·广州期中）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量线性运算法则计算即可.
6．（2024高二上·广州期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设，因为点关于直线的对称点为，
所以，的中点一定在上，且设中点为，如图所示：
由中点坐标公式得，代入，可得，
而可化为，
则其斜率为，可得到，解得，，
故得，我们把的斜率记为，的斜率记为，
由斜率公式得，，
则直线的斜率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先根据点关于直线对称的性质求出点坐标，再结合图象求解即可.
7．（2024高二上·广州期中）在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，因为，，，
所以，
整理得，则点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
因为直线上存在点，使得，所以直线与圆相交或相切，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】设，根据，得到关于点的轨迹方程，再由已知可得直线与圆由公共点，列出不等式求的范围即可.
8．（2024高二上·广州期中）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、令，代入，
可得，求得，故A错误；
B、取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C、令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
D、分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件即可判断AC；取即可判断B；通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值即可判断D.
9．（2024高二上·广州期中）对任意实数下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“都是无理数”的既不充分也不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】B,D
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、取满足，但，，，故A错误；
B、时，是无理数，即充分性不成立，
，都是无理数，但是有理数，即必要性不成立，故B正确；
C、时，但，不充分，得，但，不必要，应为既不充分也不必要条件，故C错误；
D、时，若，则，不充分，当时，，因此有，必要性满足，即为必要不充分条件，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】由题意，根据充分、必要条件的定义逐项判断即可.
10．（2024高二上·广州期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．
B．在区间有两个零点
C．直线是曲线的对称轴
D．在区间单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于点中心对称，
所以，，又因为，所以，故A正确；
则函数，，，
区间是函数的一个周期，而，
函数在区间有两个零点，故B正确；
，故C错误；
时，，在此区间上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由题意，先求函数的解析式，再根据正弦函数性质逐项判断即可．
11．（2024高二上·广州期中）两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为
D．当的长最小时，直线到平面的距离
【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、将图形补成正方体，以原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
在平面上，直线方程为，设，在平面上直线方程为，因为，因此得，由得，
则，而平面的一个法向量是，
，所以，又平面，所以平面，故A正确；
B、三棱锥的外接球即为正方体的外接球，而正方体的对角线即为其外接球的直径，所以外接球直径为，，
外接球表面积为，故B错误；
C、，
当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点，
，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，取得，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为，故C正确；
D、，即，平面，平面，所以平面，
，
因此直线到平面的距离等于，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】将图形补成正方体，以原点，建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，由与这个法向量垂直得证线面平行，平面与平面的法向量的夹角的余弦值得面面夹角的余弦值，由向量法由点面距离得线面距即可判断ACD；由三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求得球表面积即可判断B．
12．（2024高二上·广州期中）2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）．
【答案】7（8，9，10均可）
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知7位同学成绩从小到大的排序为：6，7，7，8，8，9，10，其第25百分位数为第二个数据7，要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以．
故答案为：7（8，9，10均可）．
【分析】由题意，按照百分位数的定义计算即可．
13．（2024高二上·广州期中）圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为 .
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，
当弦被点平分时，则，，
则直线的方程为，即为，
故答案为：.
【分析】先求圆心，再根据条件分析得到，由此可求，得直线的点斜式方程化简可得直线的方程.
14．（2024高二上·广州期中）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
且当时，函数取得最大值，最大值为，
作出函数与函数在上的图象，如图所示：
当，时，，，
，因为的值域为，则时，
必有解，即，解得，由图可知：.
故答案为：.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再作出与在上的图象，求出在上的值域，数形结合求解即可.
15．（2024高二上·广州期中）在一个盒子中有个白球，个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取个，取后不放回，直到个白球都被取出来后就停止取球．
（1）求个白球都被甲取出的概率；
（2）求将球全部取出才停止取球的概率．
【答案】（1）解：若个白球都被甲取出记为事件，则事件有三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
则，即个白球都被甲取出的概率为；
（2）解：若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球，
事件有四种情况：
①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
则，即将球全部取出才停止取球的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）分别讨论个白球都被甲取出的三种情况，再根据概率乘法公式求解即可；
（2）先确定最后一次取出的一定是白球，由此可得四种情况，根据概率乘法公式求解即可.
（1）若个白球都被甲取出记为事件，则事件有三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
，即个白球都被甲取出的概率为.
（2）若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球．
事件有四种情况：
①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
，即将球全部取出才停止取球的概率为.
16．（2024高二上·广州期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．
【答案】解：(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，
即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝，
在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，则，
(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，
由正弦定理得，，
设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式求解即可；
(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理求解即可.
17．（2024高二上·广州期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.
（1）求外接圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（3）若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程.
【答案】（1）解：设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即圆的标准方程为；
（2）解：由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或；
（3）解：由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
此时的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即①，
又圆M的方程为②，
①②：，
所以直线的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的一般式方程，代点计算即可；
（2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，根据点到直线距离公式求参数值即可；
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
求以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程．
（1）设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即圆的标准方程为；
（2）由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或.
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
此时的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即①，
又圆M的方程为②，
①②：，
所以直线的方程为.
18．（2024高二上·广州期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．（2024高二上·广州期中）常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，求之间的欧几里得距离和余弦距离；
（2）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，则，
所以，
又因为，
所以；
（2）解：因为点在函数的图象上且，
即，且点的坐标为，
故，
当时，则，
因为函数在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号；
当时，则，
且，则，代入可得；
当时，则，
因为函数在上单调递增，
所以， 当且仅当时取等号，
综上可知，的最小值为2；
（3）解：易得，
则，
令，则，
即与有交点，
可知半圆与直线有交点，如图所示：
先计算直线与半圆相切和经过点时的情况，
由圆心到直线的距离，解得，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
又因为，则；
所以的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据题干距离的定义计算求解即可；
（2）根据距离定义整理可得，分、和三种情况，结合函数单调性求最值即可；
（3）整理可得，令，分析可知与有交点，结合图象求的取值范围即可.
（1）因为，则，
所以，
又因为，
所以.
（2）因为点在函数的图象上且，
即，且点的坐标为，
故，
当时，则，
因为函数在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号；
当时，则，
且，则，代入可得；
当时，则，
因为函数在上单调递增，
所以， 当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为2．
（3）因为，
则，
令，则，
即与有交点，
可知半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况.
由圆心到直线的距离，解得，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
又因为，则；
所以的取值范围是.
1 / 1广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2024高二上·广州期中）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二上·广州期中）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二上·广州期中）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·广州期中）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·广州期中）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·广州期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·广州期中）在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·广州期中）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
9．（2024高二上·广州期中）对任意实数下列命题中正确的是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“都是无理数”的既不充分也不必要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
10．（2024高二上·广州期中）已知函数的图象关于点中心对称，则（ ）
A．
B．在区间有两个零点
C．直线是曲线的对称轴
D．在区间单调递增
11．（2024高二上·广州期中）两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为
D．当的长最小时，直线到平面的距离
12．（2024高二上·广州期中）2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是 （写出一个满足条件的值即可）．
13．（2024高二上·广州期中）圆内有一点，为过点的弦.当弦被点平分时，则直线的方程为 .
14．（2024高二上·广州期中）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ．
15．（2024高二上·广州期中）在一个盒子中有个白球，个红球，甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取个，取后不放回，直到个白球都被取出来后就停止取球．
（1）求个白球都被甲取出的概率；
（2）求将球全部取出才停止取球的概率．
16．（2024高二上·广州期中）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．
17．（2024高二上·广州期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.
（1）求外接圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（3）若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程.
18．（2024高二上·广州期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
19．（2024高二上·广州期中）常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）．
（1）若，求之间的欧几里得距离和余弦距离；
（2）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值；
（3）若，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，所以，解得，
则复数，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数为纯虚数求得的值，再根据复数的几何意义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的表示方法；一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：由题意可知：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，
则第一段图象为线段，且为增函数，故排除A，D；
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；
能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C．
故答案为：C．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加排除AD；再根据停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减排除B，即可得正确答案．
3．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：由，得，则集合；
由，得，则集合，
由图可知阴影部分表示的集合为.
故答案为：C．
【分析】解不等式先求得集合、，再根据阴影部分表示的集合为，利用集合的交集、补集运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由 得： ， 即 ，
所以 ，又 ，所以当 时， ，
故答案为：C.
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α-β）=cosα，然后验证C满足等式sin（α-β）=cosα，即可得到正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间向量线性运算法则计算即可.
6．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设，因为点关于直线的对称点为，
所以，的中点一定在上，且设中点为，如图所示：
由中点坐标公式得，代入，可得，
而可化为，
则其斜率为，可得到，解得，，
故得，我们把的斜率记为，的斜率记为，
由斜率公式得，，
则直线的斜率的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先根据点关于直线对称的性质求出点坐标，再结合图象求解即可.
7．【答案】D
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：设，因为，，，
所以，
整理得，则点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
因为直线上存在点，使得，所以直线与圆相交或相切，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】设，根据，得到关于点的轨迹方程，再由已知可得直线与圆由公共点，列出不等式求的范围即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、令，代入，
可得，求得，故A错误；
B、取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C、令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
D、分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件即可判断AC；取即可判断B；通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值即可判断D.
9．【答案】B,D
【知识点】充要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、取满足，但，，，故A错误；
B、时，是无理数，即充分性不成立，
，都是无理数，但是有理数，即必要性不成立，故B正确；
C、时，但，不充分，得，但，不必要，应为既不充分也不必要条件，故C错误；
D、时，若，则，不充分，当时，，因此有，必要性满足，即为必要不充分条件，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】由题意，根据充分、必要条件的定义逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数的图象关于点中心对称，
所以，，又因为，所以，故A正确；
则函数，，，
区间是函数的一个周期，而，
函数在区间有两个零点，故B正确；
，故C错误；
时，，在此区间上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由题意，先求函数的解析式，再根据正弦函数性质逐项判断即可．
11．【答案】A,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：A、将图形补成正方体，以原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
在平面上，直线方程为，设，在平面上直线方程为，因为，因此得，由得，
则，而平面的一个法向量是，
，所以，又平面，所以平面，故A正确；
B、三棱锥的外接球即为正方体的外接球，而正方体的对角线即为其外接球的直径，所以外接球直径为，，
外接球表面积为，故B错误；
C、，
当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点，
，，，
，，
设平面的一个法向量，
则，取得，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为，故C正确；
D、，即，平面，平面，所以平面，
，
因此直线到平面的距离等于，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】将图形补成正方体，以原点，建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，由与这个法向量垂直得证线面平行，平面与平面的法向量的夹角的余弦值得面面夹角的余弦值，由向量法由点面距离得线面距即可判断ACD；由三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求得球表面积即可判断B．
12．【答案】7（8，9，10均可）
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知7位同学成绩从小到大的排序为：6，7，7，8，8，9，10，其第25百分位数为第二个数据7，要使第25百分位数保持不变，不小于7就可以．
故答案为：7（8，9，10均可）．
【分析】由题意，按照百分位数的定义计算即可．
13．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，
当弦被点平分时，则，，
则直线的方程为，即为，
故答案为：.
【分析】先求圆心，再根据条件分析得到，由此可求，得直线的点斜式方程化简可得直线的方程.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
且当时，函数取得最大值，最大值为，
作出函数与函数在上的图象，如图所示：
当，时，，，
，因为的值域为，则时，
必有解，即，解得，由图可知：.
故答案为：.
【分析】由题意，先判断函数的单调性，再作出与在上的图象，求出在上的值域，数形结合求解即可.
15．【答案】（1）解：若个白球都被甲取出记为事件，则事件有三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
则，即个白球都被甲取出的概率为；
（2）解：若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球，
事件有四种情况：
①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
则，即将球全部取出才停止取球的概率为.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）分别讨论个白球都被甲取出的三种情况，再根据概率乘法公式求解即可；
（2）先确定最后一次取出的一定是白球，由此可得四种情况，根据概率乘法公式求解即可.
（1）若个白球都被甲取出记为事件，则事件有三种情况：
①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为；
②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球，其概率为；
，即个白球都被甲取出的概率为.
（2）若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第次取出的一定是白球．
事件有四种情况：
①第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
②第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
③第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
④第次和第次取出的是白球，另外次取出的是红球，其概率为；
，即将球全部取出才停止取球的概率为.
16．【答案】解：(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，
即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝，
在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，则，
(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，
由正弦定理得，，
设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式求解即可；
(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理求解即可.
17．【答案】（1）解：设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即圆的标准方程为；
（2）解：由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或；
（3）解：由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
此时的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即①，
又圆M的方程为②，
①②：，
所以直线的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的一般式方程，代点计算即可；
（2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，根据点到直线距离公式求参数值即可；
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
求以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程．
（1）设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即圆的标准方程为；
（2）由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为或.
（3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值，
此时的中点为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即①，
又圆M的方程为②，
①②：，
所以直线的方程为.
18．【答案】解：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
建立空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
又因为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得，
因此点，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，解得，
所以在棱上存在点使得平面，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理得出AB⊥平面再根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理证出平面.
（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值.
（3）假设在棱上存在点M，根据A，P，M三点共线，设，再根据平面得出，再由数量积的坐标表示求出实数的值，从而求出的值.
19．【答案】（1）解：因为，则，
所以，
又因为，
所以；
（2）解：因为点在函数的图象上且，
即，且点的坐标为，
故，
当时，则，
因为函数在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号；
当时，则，
且，则，代入可得；
当时，则，
因为函数在上单调递增，
所以， 当且仅当时取等号，
综上可知，的最小值为2；
（3）解：易得，
则，
令，则，
即与有交点，
可知半圆与直线有交点，如图所示：
先计算直线与半圆相切和经过点时的情况，
由圆心到直线的距离，解得，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
又因为，则；
所以的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【分析】（1）根据题干距离的定义计算求解即可；
（2）根据距离定义整理可得，分、和三种情况，结合函数单调性求最值即可；
（3）整理可得，令，分析可知与有交点，结合图象求的取值范围即可.
（1）因为，则，
所以，
又因为，
所以.
（2）因为点在函数的图象上且，
即，且点的坐标为，
故，
当时，则，
因为函数在上单调递减，
所以，当且仅当时取等号；
当时，则，
且，则，代入可得；
当时，则，
因为函数在上单调递增，
所以， 当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为2．
（3）因为，
则，
令，则，
即与有交点，
可知半圆与直线有交点，
如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况.
由圆心到直线的距离，解得，
由图知此时，即；
又由，代入点，解得，.
由图知，要使两者有交点，需使，
此时，
又因为，则；
所以的取值范围是.
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