广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·白云期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·白云期中）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2024高二上·白云期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则
B．
C．若，则，的夹角是钝角
D．
4．（2024高二上·白云期中）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高二上·白云期中）在正三棱柱中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024高二上·白云期中）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·白云期中）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·白云期中）甲 乙 丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲 乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·白云期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若发生时一定发生，则
10．（2024高二上·白云期中）以下命题正确的是（ ）
A．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
B．若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则AC边上的高BD的长为
11．（2024高二上·白云期中）如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ）
A．平面
B．若为上的动点，则的最小值为
C．点到直线的距离为
D．平面与平面相交
12．（2024高二上·白云期中）某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 276 144 80
如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为 ；
13．（2024高二上·白云期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为
14．（2024高二上·白云期中）在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为 .
15．（2024高二上·白云期中）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；
（2）设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率.
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
16．（2024高二上·白云期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
（1）求证：是平面的一个法向量；
（2）求点到平面的距离；
（3）求与平面所成角的大小.
17．（2024高二上·白云期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）求与的夹角.
18．（2024高二上·白云期中），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
19．（2024高二上·白云期中）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：直线过点，，则直线的斜率为，
故直线的倾斜角为.
故答案为：B.
【分析】根据斜率公式先求直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求直线的倾斜角即可.
2．【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为平面的一个法向量，所以，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量垂直，数量积为零列方程化简求的值即可.
3．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：A、若，，则或，故A错误；
B、由向量数量积的运算律可知，故B正确；
C、若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误；
D、由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由空间向量的位置关系即可判断A；由向量数量积的运算律即可判断BD；当两向量的夹角为时，也成立即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线平行，所以且，解得，
故“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】先根据两直线平行得到方程和不等式，求得，再根据充分、必要条件判断即可.
5．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正三棱柱中，易知，如图所示：
则，在等边中，，
故．
故答案为：B．
【分析】由正三棱柱的性质可得，即，再在正中算出，最后利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值即可．
6．【答案】A
【知识点】样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：由题意可知，事件表示两次点数和为6，
则事件用样本点表示为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知，事件表示两次点数和为6，利用列举法表示即可.
7．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；余弦定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为，
所以，
因为，，，，，，
所以，所以，
因为异面直线AC与BD所成角为，，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】由图可得，两边同时平方代入可得，根据异面直线夹角的范围求解即可.
8．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，可知最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，
甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，
若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
所以丙获胜的概率为．
故答案为：B．
【分析】由题意，可得最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算即可．
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为与互斥，则，故A选项错误，
对于选项B、与相互独立，则，故B选项正确，
C、因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，故C选项正确，
D、因为发生时一定发生，所以，则，故D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断A，选项B，利用，求得即可判断B；利用相互独立的判断方法即可判断C；由题意知，即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；空间向量垂直的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：
A、根据投影向量公式可得，故A错误；
B、若，
则，
即，，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
C、，
，
故，解得，故C正确；
D、点到的距离
，
则AC边上的高BD的长为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用投影向量的公式求解即可判断A；变形得到，则P，A，B，C四点共面即可判断B；利用得到方程，求出即可判断C；利用点到直线的向量距离公式求出点到的距离即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
所以，
故与平面不平行，故A错误；
B、把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图所示：
连接与相交于点，此时最小，
最小值为，故B正确；
C、，，，
，
点到直线的距离为，故C错误；
D、，所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
显然与不平行，故平面与平面不平行，
又两平面不重合，故两平面相交，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行即可判断A；将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值即可判断B；利用点到直线距离向量公式求解即可判断C；求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交即可判断D.
12．【答案】
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为
故答案为：.
【分析】根据表中数据，用频率估计概率求解即可.
13．【答案】；
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：因为点，，所以的中点坐标为，
则，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即；
中，令得，令得，
故与两坐标轴的交点坐标分别为和，
故线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
故答案为：；.
【分析】由题意先求AB的中点坐标和直线AB的斜率，从而得到直线的斜率为，再利用点斜式写出直线的方程，化为一般式，再求出直线与两坐标轴的交点，得到三角形面积即可.
14．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知平面过点，
且其法向量为，则，
故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】易知平面过点，求得，再利用空间中点到平面的距离公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意，分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，
共12种不同的情况；
（2）解：事件，故；
（3）解：甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由题意，分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，利用列举法写甲、乙抽到牌的所有情况即可；
（2）列举出事件，根据古典概型求概率即可；
（3）计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，比较大小判断即可.
（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，
共12种不同的情况.
（2）事件，故；
（3）甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平.
16．【答案】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示：
正方体的棱长为2，
则 ，
， ，
，，
，，
平面，则是平面的一个法向量；
（2）解：因为是平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离是：；
（3）解：因为点是的中点，则，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
则平面的一个法向量，
设与平面所成角为 ，则
＝，
所以与平面所成角的大小.
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）由点到平面的距离向量求法，求点到平面的距离即可；
（3）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法，即可求得与平面所成角的大小.
（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，
正方体的棱长为2，
则 ，
，
，
，，
，，
平面，则是平面的一个法向量.
（2）因为是平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离是：
.
（3）因为点是的中点，则，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
则平面的一个法向量，
设与平面所成角为 ，则
＝，
所以与平面所成角的大小.
17．【答案】（1）解：根据向量的运算法则，可得
；
（2）解：因为，，
，
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，结合题设条件，准确运算，即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后结合空间向量的夹角公式，进行计算，即看得到答案.
（1）；
（2）因为，，
，
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为.
18．【答案】（1）解：记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是；
（2）解：设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，求解，两人各自闯关成功的概率即可；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
（1）记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是.
（2）设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
19．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，平面，所以平面；
（2）解： 设，取的中点，连接，则，所以平面，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为为直线与平面所成的角，所以，
又因为，所以，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
因为，则，
所以，即平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质定理得，再根据菱形对角线垂直证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，再求夹角余弦值，利用同角三角函数基本关系求正弦值即可.
（1）因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，平面，所以平面.
（2）如图： 设，取的中点，连接，则
，所以平面.
故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为为直线与平面所成的角，所以.
又，
所以，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
，则，
，即平面与平面所成角的正弦值为.
1 / 1广东省广州市白云中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
1．（2024高二上·白云期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：直线过点，，则直线的斜率为，
故直线的倾斜角为.
故答案为：B.
【分析】根据斜率公式先求直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系求直线的倾斜角即可.
2．（2024高二上·白云期中）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：，
因为平面的一个法向量，所以，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量垂直，数量积为零列方程化简求的值即可.
3．（2024高二上·白云期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，，则
B．
C．若，则，的夹角是钝角
D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：A、若，，则或，故A错误；
B、由向量数量积的运算律可知，故B正确；
C、若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误；
D、由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由空间向量的位置关系即可判断A；由向量数量积的运算律即可判断BD；当两向量的夹角为时，也成立即可判断D.
4．（2024高二上·白云期中）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线平行，所以且，解得，
故“”是“直线与直线平行”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】先根据两直线平行得到方程和不等式，求得，再根据充分、必要条件判断即可.
5．（2024高二上·白云期中）在正三棱柱中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正三棱柱中，易知，如图所示：
则，在等边中，，
故．
故答案为：B．
【分析】由正三棱柱的性质可得，即，再在正中算出，最后利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值即可．
6．（2024高二上·白云期中）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】样本点与有限样本空间
【解析】【解答】解：由题意可知，事件表示两次点数和为6，
则事件用样本点表示为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知，事件表示两次点数和为6，利用列举法表示即可.
7．（2024高二上·白云期中）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；余弦定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为，
所以，
因为，，，，，，
所以，所以，
因为异面直线AC与BD所成角为，，
所以，则.
故答案为：B.
【分析】由图可得，两边同时平方代入可得，根据异面直线夹角的范围求解即可.
8．（2024高二上·白云期中）甲 乙 丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲 乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意，可知最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，
甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），
若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，
若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，
所以丙获胜的概率为．
故答案为：B．
【分析】由题意，可得最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算即可．
9．（2024高二上·白云期中）已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则与相互独立
D．若发生时一定发生，则
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、因为与互斥，则，故A选项错误，
对于选项B、与相互独立，则，故B选项正确，
C、因为，所以，由相互独立的定义知与相互独立，故C选项正确，
D、因为发生时一定发生，所以，则，故D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断A，选项B，利用，求得即可判断B；利用相互独立的判断方法即可判断C；由题意知，即可判断D.
10．（2024高二上·白云期中）以下命题正确的是（ ）
A．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是
B．若A，B，C三点不共线，对于空间任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则AC边上的高BD的长为
【答案】B,C,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；空间向量垂直的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：
A、根据投影向量公式可得，故A错误；
B、若，
则，
即，，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
C、，
，
故，解得，故C正确；
D、点到的距离
，
则AC边上的高BD的长为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用投影向量的公式求解即可判断A；变形得到，则P，A，B，C四点共面即可判断B；利用得到方程，求出即可判断C；利用点到直线的向量距离公式求出点到的距离即可判断D.
11．（2024高二上·白云期中）如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ）
A．平面
B．若为上的动点，则的最小值为
C．点到直线的距离为
D．平面与平面相交
【答案】B,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：A、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
所以，
故与平面不平行，故A错误；
B、把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图所示：
连接与相交于点，此时最小，
最小值为，故B正确；
C、，，，
，
点到直线的距离为，故C错误；
D、，所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
显然与不平行，故平面与平面不平行，
又两平面不重合，故两平面相交，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行即可判断A；将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值即可判断B；利用点到直线距离向量公式求解即可判断C；求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交即可判断D.
12．（2024高二上·白云期中）某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 276 144 80
如果另有一人服用此药，估计其体重减轻的概率为 ；
【答案】
【知识点】用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为
故答案为：.
【分析】根据表中数据，用频率估计概率求解即可.
13．（2024高二上·白云期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为
【答案】；
【知识点】斜率的计算公式；直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】解：因为点，，所以的中点坐标为，
则，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即；
中，令得，令得，
故与两坐标轴的交点坐标分别为和，
故线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
故答案为：；.
【分析】由题意先求AB的中点坐标和直线AB的斜率，从而得到直线的斜率为，再利用点斜式写出直线的方程，化为一般式，再求出直线与两坐标轴的交点，得到三角形面积即可.
14．（2024高二上·白云期中）在空间直角坐标系中，表示经过点，且法向量为的平面的方程，则点到平面的距离为 .
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：易知平面过点，
且其法向量为，则，
故点到平面的距离为.
故答案为：.
【分析】易知平面过点，求得，再利用空间中点到平面的距离公式求解即可.
15．（2024高二上·白云期中）甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；
（2）设事件A=“乙抽到的牌的数字比3大”，求A的概率.
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
【答案】（1）解：由题意，分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，
共12种不同的情况；
（2）解：事件，故；
（3）解：甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】（1）由题意，分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，利用列举法写甲、乙抽到牌的所有情况即可；
（2）列举出事件，根据古典概型求概率即可；
（3）计算出甲胜的概率为，乙胜的概率为，比较大小判断即可.
（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，
则甲、乙抽到牌的所有情况为，
共12种不同的情况.
（2）事件，故；
（3）甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为，因此，所以此游戏不公平.
16．（2024高二上·白云期中）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.
（1）求证：是平面的一个法向量；
（2）求点到平面的距离；
（3）求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示：
正方体的棱长为2，
则 ，
， ，
，，
，，
平面，则是平面的一个法向量；
（2）解：因为是平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离是：；
（3）解：因为点是的中点，则，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
则平面的一个法向量，
设与平面所成角为 ，则
＝，
所以与平面所成角的大小.
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）由点到平面的距离向量求法，求点到平面的距离即可；
（3）求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法，即可求得与平面所成角的大小.
（1）如图，以为原点，建立空间直角坐标系D－xyz，
正方体的棱长为2，
则 ，
，
，
，，
，，
平面，则是平面的一个法向量.
（2）因为是平面的一个法向量，又，
所以点到平面的距离是：
.
（3）因为点是的中点，则，，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，
则平面的一个法向量，
设与平面所成角为 ，则
＝，
所以与平面所成角的大小.
17．（2024高二上·白云期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与的夹角都等于在棱PD上，，设，.
（1）试用表示向量；
（2）求与的夹角.
【答案】（1）解：根据向量的运算法则，可得
；
（2）解：因为，，
，
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，结合题设条件，准确运算，即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后结合空间向量的夹角公式，进行计算，即看得到答案.
（1）；
（2）因为，，
，
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为.
18．（2024高二上·白云期中），，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
【答案】（1）解：记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是；
（2）解：设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，求解，两人各自闯关成功的概率即可；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
（1）记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是.
（2）设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
19．（2024高二上·白云期中）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，平面，所以平面；
（2）解： 设，取的中点，连接，则，所以平面，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为为直线与平面所成的角，所以，
又因为，所以，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
因为，则，
所以，即平面与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质定理得，再根据菱形对角线垂直证明即可；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，再求夹角余弦值，利用同角三角函数基本关系求正弦值即可.
（1）因为平面，平面，所以；
底面为菱形，所以；
又因为，平面，所以平面.
（2）如图： 设，取的中点，连接，则
，所以平面.
故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为为直线与平面所成的角，所以.
又，
所以，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
，则，
，即平面与平面所成角的正弦值为.
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