北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题
1．（2024高二上·大兴期中）直线的倾斜角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·大兴期中）已知两个向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·大兴期中）过点，的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·大兴期中）圆关于轴对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·大兴期中）若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．平行
C．相交但不垂直 D．垂直
6．（2024高二上·大兴期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·大兴期中）在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·大兴期中）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2024高二上·大兴期中）已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024高二上·大兴期中）如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2024高二上·大兴期中）已知，，三点共线，则 ．
12．（2024高二上·大兴期中）已知圆，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 .
13．（2024高二上·大兴期中）已知平面过点三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 ．
14．（2024高二上·大兴期中）直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为 ．
15．（2024高二上·大兴期中）如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论：
①存在，使得；
②存在，使得平面；
③当为线段中点时，三棱锥的体积最小；
④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2024高二上·大兴期中）已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
17．（2024高二上·大兴期中）已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的标准方程.
（2）求直线：与圆相交的弦长.
18．（2024高二上·大兴期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且．
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．
19．（2024高二上·大兴期中）已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
20．（2024高二上·大兴期中）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（2024高二上·大兴期中）已知圆：及其上一点．
（1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；
（3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，则.
故答案为：A.
【分析】根据斜率和倾斜角的关系直接选答案即可.
2．【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直数量积为零列方程化简求的值即可.
3．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为过点，直线的斜率为，所以，解得，
则，故.
故答案为：B.
【分析】根据斜率计算求得，再根据两点距离公式求得值就可.
4．【答案】D
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
因为关于轴对称的点为，所以对称圆的方程为，
故答案为：D.
【分析】先求圆心和半径，再求圆心关于轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程即可求得.
5．【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：，，，则直线与平面不垂直；
由，则直线l与平面α不平行，
综上可知：直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
故答案为：C.
【分析】根据与的坐标判断其是否共线或垂直，即可得直线与平面的位置关系．
6．【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，
解得 ，
因为直线 与直线
所以它们之间的距离为 ．
故答案为：C
【分析】 由两直线平行与系数间的关系列式求得m值，再由两平行线间的距离公式求解．
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意，以作为基向量表示，
因为，
所以
，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，以作为基向量表示，再根据向量运算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在中，，
则当最小时，最小，因为，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，连接，在中，，当最小时，最小，利用点到直线的距离公式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】设圆心为，易知，半径，
当为等边三角形时，，而，
因为，所以，
当时，直线为：，而，
所以，所以，所以为等腰三角形，
因为，
圆心到直线的距离为，即，
所以圆心为的重心，同时也是的外心，
所以为等边三角形，
所以“为等边三角形”是“”的充要条件，
故答案为：A.
【分析】当为等边三角形时，求出斜率k的值，当k=1时，判断形状，即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：大圆的半径为2，小圆的半径为1，如图1所示：
则大圆的面积为，小圆的面积为，
①、当时，直线的方程为，
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，
所以，故①正确；
②、根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为，
当时，直线的方程为，即，
小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示：
所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确；
③、当时，如图3所示：
直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，
当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故答案为：A．
【分析】易知直线：恒过定点，为直线的斜率，根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项判断即可.
11．【答案】0
【知识点】斜率的计算公式；三点共线
【解析】【解答】解：因为，所以直线斜率存在，
因为三点共线，所以，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据三点共线可知，结合斜率的计算公式求解即可.
12．【答案】；4
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，配方可得，
则圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得.
故答案是，4.
【分析】将圆的一般方程进行配方可得，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
因为，
所以，所以，所以，
取，则，
又因为直线与平面垂直，所以直线的方向向量与平面的法向量共线，
所以可取方向向量为（不唯一，非零共线即可），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】设平面的法向量为，先求解出平面的法向量，再根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此求方向向量即可.
14．【答案】4
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：直线，令，解得，则直线与轴交于，
直线，令，解得，则直线与轴交于，
联立，可得，则两直线交于，
故围成的四边形面积为.
故答案为：.
【分析】先分别求直线与坐标轴的正半轴交点坐标，再联立直线方程求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积即可.
15．【答案】②④
【知识点】异面直线所成的角；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
①、因为，所以，
当时，，解得，不符合题意，故①错误；
②、当与重合时，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面，故②正确；
③、设到平面的距离为，如图所示：
所以，且为定值，
所以当最小时，三棱锥的体积最小，
因为，所以，
设平面的法向量为，
所以，所以，取，所以，
又，所以，
当时有最小值，故③错误；
④、设直线与直线所成角为，
因为，
所以，
令，所以，所以，
因为，所以时取最大值，此时取最小值，
此时，即与重合，故④正确；
故答案为：②④.
【分析】建立空间直角坐标系，设，根据求得的值并判断是否正确即可判断 ① ；考虑与重合时的情况即可判断②；根据，分析的最小值即可判断③；利用向量法先表示出，结合换元法和二次函数性质求解出最小值即可判断④.
16．【答案】解：（1）易知的中点坐标为 ，
，即的中垂线斜率为
故直线的点斜式为 ，即直线的中垂线方程为 ；
（2）由点斜式 ，则直线的方程.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)先求的中点坐标，再求得斜率，利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程.
17．【答案】解：（1）令圆心为且，则由圆与相切，由，解得；
则圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，，
则到直线的距离为，
故直线与圆相交的弦长为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，利用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程即可；
（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.
18．【答案】（1）解：由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设直线与直线所成角为，则，
由于，所以；
（2）解：，，
设平面的法向量为，
则，则，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与直线所成角的大小即可；
（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值即可．
（1）由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设直线与直线所成角为，
则，
由于，所以.
（2），，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
19．【答案】（1）解：设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）解：设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；
（3）解：已知如图所示：
因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数即可得圆的方程；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程即可；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，再利用对称关系将转化为，结合三点共线求最小值即可.
（1）设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
（3）因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
20．【答案】（1）证明：选①、因为平面平面，且交线为，平面，，所以平面；
（2）解：由（1）知平面，，两两垂直，
以为原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，，
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面夹角的为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：由（2）可得，，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）选择条件①，根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理证平面即可；
（2）由（1）知平面，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值即可；
（3）利用向量法求得点到平面的距离即可.
（1）若选①，由于平面平面，且交线为，平面，，
所以平面.
若选②，由于，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，，两两垂直，
以为原点，分别所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面夹角的为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由已知得，，
所以点到平面的距离为.
21．【答案】（1）解：已知如图所示：
圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为，
由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，
结合图象可知圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）解：由于，所以三角形是等腰直角三角形，且，
所以到直线的距离为，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，两边平方并化简得，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或；
（3）解：，所以，
因为，为圆上的两点，所以，
由，得，即，，
，
解得，即实数的取值范围为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）将一般方程化为标准方程，求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程；
（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程；
（3）将原问题转化为求解即可.
（1）圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为.
由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，
结合图象可知圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且，
所以到直线的距离为，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，两边平方并化简得，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或.
（3），所以，
因为，为圆上的两点，所以，
由，得，即，，
，
解得，即实数的取值范围为．
1 / 1北京市大兴区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题
1．（2024高二上·大兴期中）直线的倾斜角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，则.
故答案为：A.
【分析】根据斜率和倾斜角的关系直接选答案即可.
2．（2024高二上·大兴期中）已知两个向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直数量积为零列方程化简求的值即可.
3．（2024高二上·大兴期中）过点，的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：因为过点，直线的斜率为，所以，解得，
则，故.
故答案为：B.
【分析】根据斜率计算求得，再根据两点距离公式求得值就可.
4．（2024高二上·大兴期中）圆关于轴对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
因为关于轴对称的点为，所以对称圆的方程为，
故答案为：D.
【分析】先求圆心和半径，再求圆心关于轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程即可求得.
5．（2024高二上·大兴期中）若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．直线在平面内 B．平行
C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】C
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：，，，则直线与平面不垂直；
由，则直线l与平面α不平行，
综上可知：直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
故答案为：C.
【分析】根据与的坐标判断其是否共线或垂直，即可得直线与平面的位置关系．
6．（2024高二上·大兴期中）已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】因为直线 与直线 平行，
所以 ，
解得 ，
因为直线 与直线
所以它们之间的距离为 ．
故答案为：C
【分析】 由两直线平行与系数间的关系列式求得m值，再由两平行线间的距离公式求解．
7．（2024高二上·大兴期中）在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：由题意，以作为基向量表示，
因为，
所以
，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，以作为基向量表示，再根据向量运算求解即可.
8．（2024高二上·大兴期中）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在中，，
则当最小时，最小，因为，
所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意，连接，在中，，当最小时，最小，利用点到直线的距离公式求解即可.
9．（2024高二上·大兴期中）已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】设圆心为，易知，半径，
当为等边三角形时，，而，
因为，所以，
当时，直线为：，而，
所以，所以，所以为等腰三角形，
因为，
圆心到直线的距离为，即，
所以圆心为的重心，同时也是的外心，
所以为等边三角形，
所以“为等边三角形”是“”的充要条件，
故答案为：A.
【分析】当为等边三角形时，求出斜率k的值，当k=1时，判断形状，即可得出答案.
10．（2024高二上·大兴期中）如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论：
①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；
②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；
③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：大圆的半径为2，小圆的半径为1，如图1所示：
则大圆的面积为，小圆的面积为，
①、当时，直线的方程为，
此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，
所以，故①正确；
②、根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为，
当时，直线的方程为，即，
小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示：
所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确；
③、当时，如图3所示：
直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，
当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．
综上所述，①②正确．
故答案为：A．
【分析】易知直线：恒过定点，为直线的斜率，根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项判断即可.
11．（2024高二上·大兴期中）已知，，三点共线，则 ．
【答案】0
【知识点】斜率的计算公式；三点共线
【解析】【解答】解：因为，所以直线斜率存在，
因为三点共线，所以，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据三点共线可知，结合斜率的计算公式求解即可.
12．（2024高二上·大兴期中）已知圆，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 .
【答案】；4
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，配方可得，
则圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得.
故答案是，4.
【分析】将圆的一般方程进行配方可得，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得的值.
13．（2024高二上·大兴期中）已知平面过点三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】直线的方向向量
【解析】【解答】解：设平面的法向量为，
因为，
所以，所以，所以，
取，则，
又因为直线与平面垂直，所以直线的方向向量与平面的法向量共线，
所以可取方向向量为（不唯一，非零共线即可），
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】设平面的法向量为，先求解出平面的法向量，再根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此求方向向量即可.
14．（2024高二上·大兴期中）直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为 ．
【答案】4
【知识点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：直线，令，解得，则直线与轴交于，
直线，令，解得，则直线与轴交于，
联立，可得，则两直线交于，
故围成的四边形面积为.
故答案为：.
【分析】先分别求直线与坐标轴的正半轴交点坐标，再联立直线方程求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积即可.
15．（2024高二上·大兴期中）如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论：
①存在，使得；
②存在，使得平面；
③当为线段中点时，三棱锥的体积最小；
④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【知识点】异面直线所成的角；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
①、因为，所以，
当时，，解得，不符合题意，故①错误；
②、当与重合时，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面，故②正确；
③、设到平面的距离为，如图所示：
所以，且为定值，
所以当最小时，三棱锥的体积最小，
因为，所以，
设平面的法向量为，
所以，所以，取，所以，
又，所以，
当时有最小值，故③错误；
④、设直线与直线所成角为，
因为，
所以，
令，所以，所以，
因为，所以时取最大值，此时取最小值，
此时，即与重合，故④正确；
故答案为：②④.
【分析】建立空间直角坐标系，设，根据求得的值并判断是否正确即可判断 ① ；考虑与重合时的情况即可判断②；根据，分析的最小值即可判断③；利用向量法先表示出，结合换元法和二次函数性质求解出最小值即可判断④.
16．（2024高二上·大兴期中）已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】解：（1）易知的中点坐标为 ，
，即的中垂线斜率为
故直线的点斜式为 ，即直线的中垂线方程为 ；
（2）由点斜式 ，则直线的方程.
【知识点】两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)先求的中点坐标，再求得斜率，利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程.
17．（2024高二上·大兴期中）已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的标准方程.
（2）求直线：与圆相交的弦长.
【答案】解：（1）令圆心为且，则由圆与相切，由，解得；
则圆的标准方程为；
（2）由（1）知：，，
则到直线的距离为，
故直线与圆相交的弦长为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，利用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程即可；
（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.
18．（2024高二上·大兴期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且．
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线PD与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】（1）解：由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设直线与直线所成角为，则，
由于，所以；
（2）解：，，
设平面的法向量为，
则，则，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与直线所成角的大小即可；
（2）利用向量法来求得直线PD与平面PAC所成角的正弦值即可．
（1）由于平面，平面，所以，
由于，所以两两相互垂直.
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，设直线与直线所成角为，
则，
由于，所以.
（2），，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线PD与平面PAC所成角为，
则.
19．（2024高二上·大兴期中）已知圆过三点，直线．
（1）求圆的方程；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
【答案】（1）解：设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）解：设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；
（3）解：已知如图所示：
因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【分析】（1）设圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数即可得圆的方程；
（2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程即可；
（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，再利用对称关系将转化为，结合三点共线求最小值即可.
（1）设圆的方程为，代入，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）设，
由对称关系可知，解得，所以，
又因为对称圆的半径不变，
所以的方程为；
（3）因为，
由（2）可知关于直线的对称点为，
所以，
当且仅当共线时取等号，
所以，即的最小值为.
20．（2024高二上·大兴期中）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明：选①、因为平面平面，且交线为，平面，，所以平面；
（2）解：由（1）知平面，，两两垂直，
以为原点，分别所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
所以，，
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面夹角的为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：由（2）可得，，
所以点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）选择条件①，根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理证平面即可；
（2）由（1）知平面，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值即可；
（3）利用向量法求得点到平面的距离即可.
（1）若选①，由于平面平面，且交线为，平面，，
所以平面.
若选②，由于，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，，两两垂直，
以为原点，分别所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
由（1）知平面的法向量，
设平面的法向量为，则，
即，令，则，
设平面与平面夹角的为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）由已知得，，
所以点到平面的距离为.
21．（2024高二上·大兴期中）已知圆：及其上一点．
（1）若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；
（3）设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：已知如图所示：
圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为，
由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，
结合图象可知圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）解：由于，所以三角形是等腰直角三角形，且，
所以到直线的距离为，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，两边平方并化简得，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或；
（3）解：，所以，
因为，为圆上的两点，所以，
由，得，即，，
，
解得，即实数的取值范围为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）将一般方程化为标准方程，求得圆的圆心和半径，从而求得圆的标准方程；
（2）利用圆心到直线的距离列方程，求得直线的斜率，从而求得直线的方程；
（3）将原问题转化为求解即可.
（1）圆的方程可化为，
所以圆心为，半径为.
由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，
结合图象可知圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且，
所以到直线的距离为，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，两边平方并化简得，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或.
（3），所以，
因为，为圆上的两点，所以，
由，得，即，，
，
解得，即实数的取值范围为．
1 / 1
