广东省广州市番禺区石北中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题
1．（2024高二上·番禺期中）设向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 向量，，且，
所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求解即可.
2．（2024高二上·番禺期中）已知两个向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ， 存在实数 使得 ，
，解得 ， ， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】由已知可得存在实数 使得 成立，列式计算即可得结果．
3．（2024高二上·番禺期中）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
取，，，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
故点到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用空间向量法求点面距离即可.
4．（2024高二上·番禺期中）在正三棱柱中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正三棱柱中，易知，如图所示：
则，在等边中，，
故．
故答案为：B．
【分析】由正三棱柱的性质可得，即，再在正中算出，最后利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值即可．
5．（2024高二上·番禺期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为底面，所以底面，
所以，所以，故A错误；
B、因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以
，故B错误；
C、
，故C正确；
D、，
故D错误.
故答案为：C.
【分析】由空间向量的线性运算逐项分析判断即可.
6．（2024高二上·番禺期中）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（ ）.
A．－2 B．－ C． D．2
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
因为直线在x轴和y轴上的截距之和为1，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程先分别求直线在x轴和y轴上的截距，再由题意列式求解即可.
7．（2024高二上·番禺期中）已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，因为，
所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】先求圆心和半径，再利用垂径定理结合勾股定理列方程计算即可.
8．（2024高二上·番禺期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，
则，
设，由题意可得：，解得，
代入方程可得，则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由椭圆方程可得，设，根据的面积求得，，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
9．（2024高二上·番禺期中）下列说法中正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是
B．直线恒过定点
C．点关于直线对称的点为
D．过点且在轴 轴上的截距相等的直线方程为
【答案】B,C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、直线，令，求得，则直线在轴上的截距是，故A错误；
B、由，可得，因为，所以，
解得，故直线恒过定点，故B正确；
C、设，易知，直线的斜率为1，则，又因为的中点在直线上，所以点关于直线对称的点为，故C正确；
D、过点且在轴 轴上的截距相等的直线为或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，令，解y，即可判断A；把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，求解即可判断B；只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可判断C；截距相等分两种情况，截距为0和截距不为零两种情况计算，即可判断D.
10．（2024高二上·番禺期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 必过定点
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．圆 的过点 的切线方程为
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角；直线的斜截式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】A. 直线 化为 ，所以直线过点 ，故正确.
B. 直线 在 轴上的截距为 ， 正确.
C. 直线 的斜率 ，倾斜角为 ，故不正确.
D. 由 ，则点 在圆 上
所以圆 的过点 的切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，即 ，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件将直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，从而求出直线 必过的定点坐标；再利用直线的斜截式方程，从而求出直线 在 轴上的截距；将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而求出直线 的倾斜角；利用圆的切线方程求解方法，从而求出圆 的过点 的切线方程，进而找出说法正确的选项。
11．（2024高二上·番禺期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，EP//平面
B．当时，取得最小值，其值为
C．的最小值为
D．当平面CEP时，
【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：在棱长为2的正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，则点，
对于A，，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，故A错误；
B、，则，
因此当时，取得最小值，故B正确；
C、，
于是，
当且仅当时取等号，故C正确；
D、取的中点，连接，如图所示：
因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，平面，平面，则平面，即，而，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可判断A；利用两点间距离公式计算即可判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置即可判断D.
12．（2024高二上·番禺期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1，
则所求直线为，即．
故答案为：.
【分析】由题意，先求圆心坐标，根据两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，再利用直线的点斜式写出所求直线方程即可.
13．（2024高二上·番禺期中）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 .
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得，
则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据椭圆的标准方程列不等式求解范围即可.
14．（2024高二上·番禺期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 .
【答案】2
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形，
以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，设直线与平面所成的角为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，即，
所以，
即，解得或（舍去），所以，
故的长为2.
故答案为：2.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
15．（2024高二上·番禺期中）求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
【答案】（1）解：因为直线与直线平行，所以设直线的方程为，
又因为直线过点，所以，解得，即：；
（2）解：因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
又因为过点，所以，解得，即：.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）由题意，设直线平行与的方程为，将点代入求解即可；
（2）由题意，设直线的方程为，将点代入求解即可.
（1）直线与直线平行，可得的斜率.
又过点，
由点斜式可得：，即：.
（2）由直线的斜率为，直线与直线垂直，
所以直线的斜率，
又过点，由点斜式可得：，即：.
16．（2024高二上·番禺期中）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．
（1）证明：；
（2）求平面的法向量．
【答案】（1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，设，，
则，
即；
（2）解：，，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式求解即可.
（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，设，，
所以，
所以．
（2），，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为.
17．（2024高二上·番禺期中）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
（2）若，的面积为4，求b的值.
【答案】（1）若，因为，所以，
又因为点在椭圆上，所以，即，解得，
又因为，，，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，所以的面积，则，
根据椭圆定义，，
由勾股定理可得，
又，即，
在椭圆中有，将变形为，即，解得，
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由求出，将点坐标代入椭圆方程求出，结合椭圆中a，b，c的关系求得值即可；
（2）根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值即可.
（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.
又因为，，，所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.
由勾股定理可得.
又，即.
在椭圆中有，将变形为，即，解得.
18．（2024高二上·番禺期中）已知圆C过，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．
【答案】（1）解：由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
因为圆C过，，所以 ，解得，，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可得圆的标准方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求直线方程即可；
（3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，利用基本不等式求最大值即可.
（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线．
综上所述，直线的方程为或．
（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又∵，同理，
∴．
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
19．（2024高二上·番禺期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且.
（1）求三棱锥的高；
（2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；
（3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
则为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，
则，
且，则，
即三棱锥的高为1；
（2）解：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
因为为的中点，是边长为1的等边三角形，
所以是直角三角形，，，，
又因为CB、CD的中点为F、G， 所以，，，
由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
则直线和平面所成角的正弦值等于；
（3）解：在棱上存在点，使二面角的大小为，
设，
由（2）知，，，
，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
因为二面角的大小为，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，，
所以在棱上存在点，使二面角的大小为，.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直的性质得出线面垂直，即可得到为三棱锥的高，再利用体积公式代入计算即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算即可；
（3）根据题意，将线段比值设为向量关系，借助向量表示点，再分别求出两个平面的法向量，用法向量表示出已知条件，代入计算即可.
（1）∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
则为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，
则，
且，则，
即三棱锥的高为1.
（2）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形，
∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，，
由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
∴直线和平面所成角的正弦值等于.
（3）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设，
由（2）知，，，
，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
∵二面角的大小为，
∴，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，，
所以在棱上存在点，使二面角的大小为，.
1 / 1广东省广州市番禺区石北中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题
1．（2024高二上·番禺期中）设向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·番禺期中）已知两个向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2024高二上·番禺期中）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·番禺期中）在正三棱柱中，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024高二上·番禺期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·番禺期中）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（ ）.
A．－2 B．－ C． D．2
7．（2024高二上·番禺期中）已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（2024高二上·番禺期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2024高二上·番禺期中）下列说法中正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是
B．直线恒过定点
C．点关于直线对称的点为
D．过点且在轴 轴上的截距相等的直线方程为
10．（2024高二上·番禺期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 必过定点
B．直线 在 轴上的截距为
C．直线 的倾斜角为
D．圆 的过点 的切线方程为
11．（2024高二上·番禺期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则（ ）
A．当时，EP//平面
B．当时，取得最小值，其值为
C．的最小值为
D．当平面CEP时，
12．（2024高二上·番禺期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ．
13．（2024高二上·番禺期中）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 .
14．（2024高二上·番禺期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 .
15．（2024高二上·番禺期中）求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
16．（2024高二上·番禺期中）如图，在长方体中，，，点E在棱AB上移动．
（1）证明：；
（2）求平面的法向量．
17．（2024高二上·番禺期中）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
（1）若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
（2）若，的面积为4，求b的值.
18．（2024高二上·番禺期中）已知圆C过，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；
（3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值．
19．（2024高二上·番禺期中）如图，在三棱锥中，平面平面，，为BD的中点，是边长为1的等边三角形，且.
（1）求三棱锥的高；
（2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；
（3）在棱AD上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 向量，，且，
所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】 ， 存在实数 使得 ，
，解得 ， ， ，
则 ．
故答案为：C．
【分析】由已知可得存在实数 使得 成立，列式计算即可得结果．
3．【答案】C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
取，，，
设平面的法向量为，则，可得，
令，则，，所以平面的一个法向量，
故点到平面的距离.
故答案为：C.
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用空间向量法求点面距离即可.
4．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在正三棱柱中，易知，如图所示：
则，在等边中，，
故．
故答案为：B．
【分析】由正三棱柱的性质可得，即，再在正中算出，最后利用向量的加法法则与数量积的运算性质，算出的值即可．
5．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、因为底面，所以底面，
所以，所以，故A错误；
B、因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以
，故B错误；
C、
，故C正确；
D、，
故D错误.
故答案为：C.
【分析】由空间向量的线性运算逐项分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
因为直线在x轴和y轴上的截距之和为1，所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程先分别求直线在x轴和y轴上的截距，再由题意列式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，因为，
所以，即，解得.
故答案为：D.
【分析】先求圆心和半径，再利用垂径定理结合勾股定理列方程计算即可.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，
则，
设，由题意可得：，解得，
代入方程可得，则，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由椭圆方程可得，设，根据的面积求得，，结合向量数量积的坐标运算求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：A、直线，令，求得，则直线在轴上的截距是，故A错误；
B、由，可得，因为，所以，
解得，故直线恒过定点，故B正确；
C、设，易知，直线的斜率为1，则，又因为的中点在直线上，所以点关于直线对称的点为，故C正确；
D、过点且在轴 轴上的截距相等的直线为或，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，令，解y，即可判断A；把直线方程化成关于参数的方程，依题得到，求解即可判断B；只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与已知直线斜率互为负倒数即可判断C；截距相等分两种情况，截距为0和截距不为零两种情况计算，即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角；直线的斜截式方程；恒过定点的直线
【解析】【解答】A. 直线 化为 ，所以直线过点 ，故正确.
B. 直线 在 轴上的截距为 ， 正确.
C. 直线 的斜率 ，倾斜角为 ，故不正确.
D. 由 ，则点 在圆 上
所以圆 的过点 的切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，即 ，故正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件将直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，从而求出直线 必过的定点坐标；再利用直线的斜截式方程，从而求出直线 在 轴上的截距；将直线的一般式方程转化为直线的斜截式方程，从而求出直线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而求出直线 的倾斜角；利用圆的切线方程求解方法，从而求出圆 的过点 的切线方程，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：在棱长为2的正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，则点，
对于A，，，，而，
显然，即是平面的一个法向量，而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，故A错误；
B、，则，
因此当时，取得最小值，故B正确；
C、，
于是，
当且仅当时取等号，故C正确；
D、取的中点，连接，如图所示：
因为E为边AD的中点，则，当平面CEP时，平面，
连接，连接，连接，显然平面平面，
因此，平面，平面，则平面，即，而，所以，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明即可判断A；利用两点间距离公式计算即可判断BC；确定直线与平面CEP交点的位置即可判断D.
12．【答案】
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1，
则所求直线为，即．
故答案为：.
【分析】由题意，先求圆心坐标，根据两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，再利用直线的点斜式写出所求直线方程即可.
13．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得，
则实数k的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意，根据椭圆的标准方程列不等式求解范围即可.
14．【答案】2
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形，
以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，设直线与平面所成的角为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，即，
所以，
即，解得或（舍去），所以，
故的长为2.
故答案为：2.
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
15．【答案】（1）解：因为直线与直线平行，所以设直线的方程为，
又因为直线过点，所以，解得，即：；
（2）解：因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
又因为过点，所以，解得，即：.
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）由题意，设直线平行与的方程为，将点代入求解即可；
（2）由题意，设直线的方程为，将点代入求解即可.
（1）直线与直线平行，可得的斜率.
又过点，
由点斜式可得：，即：.
（2）由直线的斜率为，直线与直线垂直，
所以直线的斜率，
又过点，由点斜式可得：，即：.
16．【答案】（1）证明：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，设，，
则，
即；
（2）解：，，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式求解即可.
（1）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，设，，
所以，
所以．
（2），，，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
平面的法向量为.
17．【答案】（1）若，因为，所以，
又因为点在椭圆上，所以，即，解得，
又因为，，，所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，所以的面积，则，
根据椭圆定义，，
由勾股定理可得，
又，即，
在椭圆中有，将变形为，即，解得，
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由求出，将点坐标代入椭圆方程求出，结合椭圆中a，b，c的关系求得值即可；
（2）根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值即可.
（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.
又因为，，，所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.
由勾股定理可得.
又，即.
在椭圆中有，将变形为，即，解得.
18．【答案】（1）解：由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
因为圆C过，，所以 ，解得，，
则圆的方程为；
（2）解：因为直线与圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线，
综上所述，直线的方程为或；
（3）解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消元整理可得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又因为，同理，
所以，
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
【知识点】圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可得圆的标准方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求直线方程即可；
（3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，利用基本不等式求最大值即可.
（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为，
又圆C过，得 ，
解得，，所以圆的方程为；
（2）因为直线与圆C截得的弦长为，
所以圆心C到直线的距离为，
①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为，
直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意．
②若直线斜率存在时，设，整理得，
所以圆心C到直线的距离为，解得，
则直线，即直线．
综上所述，直线的方程为或．
（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为
由题可知：，，
故，
又∵，同理，
∴．
当且仅当时等号成立．所以的最大值为．
19．【答案】（1）解：因为，为的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
则为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，
则，
且，则，
即三棱锥的高为1；
（2）解：分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
因为为的中点，是边长为1的等边三角形，
所以是直角三角形，，，，
又因为CB、CD的中点为F、G， 所以，，，
由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
则直线和平面所成角的正弦值等于；
（3）解：在棱上存在点，使二面角的大小为，
设，
由（2）知，，，
，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
因为二面角的大小为，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，，
所以在棱上存在点，使二面角的大小为，.
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面垂直的性质得出线面垂直，即可得到为三棱锥的高，再利用体积公式代入计算即可；
（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算即可；
（3）根据题意，将线段比值设为向量关系，借助向量表示点，再分别求出两个平面的法向量，用法向量表示出已知条件，代入计算即可.
（1）∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
则为三棱锥的高，
又是边长为1的等边三角形，
则，
且，则，
即三棱锥的高为1.
（2）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形，
∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，，
由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
∴直线和平面所成角的正弦值等于.
（3）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设，
由（2）知，，，
，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
∵二面角的大小为，
∴，即，
整理得，解得或（舍去），
所以，，
所以在棱上存在点，使二面角的大小为，.
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