湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期联考数学试卷（PDF版，含答案）

湖北省新高考联考协作体 2024-2025 学年高二上学期联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1 + ) = 1 + 3 ，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D. 2
2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是( )
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在
墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深 = 4 2√ 2，锯道 = 4√ 2，则图中弧 与弦
围成的弓形的面积为( )
A. 4 B. 8 C. 4 8 D. 8 8
√ 10
4.已知cos( + ) = ， ∈ (0, )，则sin(2 ) =( )
4 10 2 3
4+3√ 3 3+4√ 3 4 3√ 3 3 4√ 3
A. B. C. D.
10 10 10 10
5.平行六面体 1 1 1 1的底面 是边长为2的正方形，且∠ 1 =
∠ 1 = 60°， 1 = 3， 为 1 1， 1 1的交点，则线段 的长为( )
A. 3
B. √ 10
C. √ 11
D. 2√ 3
6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面
上的数字，得到样本空间为 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件 =“得到的点数为奇数”，记事件 =“得到的
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点数不大于4”，记事件 =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
5
A. 事件 与 互斥 B. ( ∪ ) =
8
C. ( ) = ( ) ( ) ( ) D. ， ， 两两相互独立
√ 3
7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的正弦值为 ，则
2
此圆台与其内切球的表面积之比为( )
4 13 7
A. B. 2 C. D.
3 6 3

8.在△ 中， = 2，∠ = ， 是△ 的外心，则 + 的最大值为( )
3
10 11
A. 2 B. C. D. 4
3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “ = 1”是“直线 2 + 1 = 0与直线 2 = 0互相垂直”的充要条件
B. “ = 2”是“直线 + 2 + 2 = 0与直线 + ( + 1) + 1 = 0互相平行”的充要条件
3
C. 直线 sin + + 2 = 0的倾斜角 的取值范围是[0, ] ∪ [ , )
4 4
1
D. 若点 (1,0)， (0,2)，直线 过点 (2,1)且与线段 相交，则 的斜率 的取值范围是 ≤ ≤ 1
2
10.已知函数 ( ) = cos ， ( ) = |sin |，下列说法正确的是( )

A. 函数 ( ) = ( ) ( )在( , )上单调递减
2
B. 函数 ( ) = ( ) ( )的最小正周期为2
C. 函数 ( ) = ( ) + ( )的值域为[ 1,√ 2]

D. 函数 ( ) = ( ) + ( )的一条对称轴为 =
4
11.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， 、 、 、 分别为棱 、 、 、 1 1的中点，则下列结
论正确的有( )
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A. 三棱锥 的外接球的表面积为
3√ 3
B. 过点 ， ， 作正方体的截面，则截面面积为
4
√ 3 √ 6
C. 若 为线段 1 1上一动点(包括端点)，则直线 1与平面 1 所成角的正弦值的范围为[ , ] 3 3
D. 若 为线段 上一动点(包括端点)，过点 1， ， 的平面分别交 1， 1于 ， ，则 + 的范
1
围是[ , ]
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 (2,1)， (4,3)两点到直线 + 1 = 0的距离相等，则 = ．
13.在空间直角坐标系中已知 (1,2,1)， (1,0,2)， ( 1,1,4)， 为三角形 边 上的高，则 = ．

14.对任意两个非零的平面向量 和 ，定义： = , ⊙ 2 2 = 2，若平面向量 ， 满足| | > | | >
| | +| | | |

0，且 和 ⊙ 都在集合{ | ∈ , 0 < ≤ 4}中，则 = ______，cos < ， >= ______．
4
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
√ 3
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = sin + cosC.
3
(1)求角 ;

(2)若 是△ 边 上的一点，且满足 = ，9 + 4 = 25，求 的最大值．
| | | |
16.(本小题12分)
已知△ 的顶点 (1,1)，边 上的高 所在直线的方程为 + 8 = 0，边 上的中线 所在直线的
方程为5 3 10 = 0．
(1)求直线 的方程;
(2)求△ 的面积．
17.(本小题12分)
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从
中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50 ≤ < 60,60 ≤ < 70,70 ≤
< 80,80 ≤ < 90,90 ≤ ≤ 100)，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完
成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多
少合理？
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(2)从样本数据在80 ≤ < 90，90 ≤ < 100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从
这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率．

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 1， 2， 3，…， 10，已知这10个分数的平均数 = 90，
标准差 = 5，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
18.(本小题12分)
在△ 中，∠ = 90°， = 3， = 6， ， 分别是 ， 上的点，满足 // ，且 经过△ 的
重心.将△ 沿 折起到△ 1 的位置，使 1 ⊥ ，存在动点 使 = 1 1 ( > 0)如图所示．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
1
(2)当 = 时，求二面角 的正弦值；
2
(3)设直线 与平面 1 所成线面角为 ，求 的最大值．
19.(本小题12分)
对于一组向量 , , 1 2 3 , … , ( ∈ , ≥ 3)，令 = 1 + 2 + 3 + + ，如果存在 ( ∈
{1,2,3… , })，使得| | ≥ | |，那么称 是该向量组的“ 向量”．
(1)设 = ( , + )( ∈
)，若 3 是向量组 1 , 2 , 3 的“ 向量”，求实数 的取值范围；

(2)若 = (cos , sin )( ∈ 2 2 +)，向量组 1 , 2 , 3 , … , 是否存在“ 向量”？若存在求出所有的“ 向
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量”，若不存在说明理由；

(3)已知 1 、 2 、 3 均是向量组 1 , 2 , 3 的“ 向量”，其中 1 = ( , 0)， = ( , 0)，求证：| |
2 + | |2 +
√ 2 2 √ 2 1 2
| 3 |
2可以写成一个关于 的二次多项式与一个关于 的二次多项式的乘积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2或1
13.【答案】3
1 3√ 2 √ 3
14.【答案】 或
4 8 3
√ 3
15.【答案】解：(1) ∵ = sin + cos ，
3
√ 3
∴ = sin + cos ，
3
√ 3
∴ = sin( + ) = sin sin + sin cos
3
√ 3
sin cos + cos sin = sin sin + sin cos
3
√ 3
cos sin = sin sinC.
3
又∵ ∈ (0, )，∴ sin ≠ 0，∴ tan = √ 3．

又∵ 0 < < ，∴ = ;
3

(2) ∵ = ，
| | | |

∴ = ，
| || | | || |

∴ cos∠ = cos∠ ，即 平分∠ ，得∠ = ∠ = ，
6
因为 △ = △ + △ ，
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1 1
所以 sin = ( + )sin ，即√ 3 = ( + )，
2 3 2 6
又因为9 + 4 = 25，
√ 3 1 1 1 1 1 1 4 9 1 4 9
所以 = + = (9 + 4 )( + ) = (13 + + ) ≥ (13 + 2√ · ) = 1，
25 25 25
4 9 5 5
当且仅当 = ，即 = ， = 时取等号，
3 2
则 ≤ √ 3，所以 的最大值为√ 3．
16.【答案】解：(1)由于边 上的高 所在直线方程为 + 8 = 0，
所以设直线 的方程为 + + = 0，
由于点 (1,1)在直线 上，即1 + 1 + = 0，解得 = 2，
所以直线 的方程为 + 2 = 0．
(2)由于点 既满足直线5 3 10 = 0的方程，又满足 + 2 = 0的方程，
5 3 10 = 0 = 2
所以{ ，解得{ ，故 C(2,0)，
+ 2 = 0 = 0
所以 = √ (2 1)2 + (0 1)2 = √ 2．
设 ( , )，由于点 满足直线 + 8 = 0，故 + 8 = 0，
+1 +1
设 的中点坐标为( , )，满足5 3 10 = 0，
2 2
+1 +1
所以5 × 3 × 10 = 0，整理得5 3 18 = 0，
2 2
+ 8 = 0 = 21
所以{ ，解得{ ，所以 (21,29)，
5 3 18 = 0 = 29
48
则点 (21,29)到直线 + 2 = 0的距离 = = 24√ 2，
√ 2
1 1
故 △ = × | | × = × √ 2 × 24√ 2 = 24． 2 2
17.【答案】解：(1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，0.162 = 0.8 ，解得 = 0.032，
又(0.008 + 0.016 + 0.032 + 0.04 + ) × 10 = 1，解得 = 0.004，
所以 = 0.032， = 0.004，
成绩落在[50,70)内的频率为：0.16 + 0.32 = 0.48，落在[50,80)内的频率为：0.16 + 0.32 + 0.40 = 0.88，
设第60百分位数为 ，则( 70)0.04 = 0.6 0.48，解得 = 73，
所以晋级分数线划为73分合理；
(2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为 ， ， ， 和 ， ，
则所有的抽样有： = { , , , , , , , , , , , , , , }，共15个样本点，
=“抽到的两位同学来自不同小组”，
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则 = { , , , , , , , }，共8个样本点，
8
所以 ( ) = ．
15

(3)因为 = 90，所以 1 + 2+. . . + 10 = 10 × 90 = 900，
1
所以 2 = ( 21 +
2
2 + +
2
10) 90
2 = 52，
10
所以 21 +
2 2
2 + + 10 = 81250，
剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为 1， 2， 3，…， 8，

平均数与标准差分别为 0， 0，
+ + + + 900 96 84
则剩余8个分数的平均数： = 1 2 3 80 = = 90； 8 8
2 1 2 2 2 2 1方差： = ( 2 2 20 8 1
+ 2 + + 8) 90 = (81250 96 84 ) 90 = 22.25． 8
18.【答案】(1)证明：翻折前，由∠ = 90°， // ，知 ⊥ ， ⊥ ，
翻折后， ⊥ ， ⊥ 1 ，
因为 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
因为 1 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)解：因为 经过△ 的重心，且 = 3， = 6，
所以 = 2， = 2， = 4，
由(1)知 1 ⊥平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以 1 = √ 1 2 2 = √ 2 2 = 2√ 3，
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,3,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， 1(0,0,2√ 3)，
1
当 = 时，点 是 1 的中点，所以 (1,0, √ 3)， 2
所以 = (0,3,0)， = (1, 3, √ 3)， = (2, 1,0)，
= 3 + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，则{
1 1 1 1 ，
1 = 3 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = √ 3， 1 = 0，所以 1 = ( √ 3, 0,1)，
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= 3 + √ 3 = 0
设平面 的法向量为 2 = ( 2,
2 2 2 2
2, 2)，则{ ，
2 = 2 2 2 = 0
令 2 = √ 3，则 2 = 2√ 3， 1 = 5，所以 2 = (√ 3, 2√ 3, 5)，
设二面角 的夹角为 ，
| | 3+5 √ 10
则| | = |cos < 1 ， 2 > | =
1 2 = = ，
| 1 | | 2 | 2×2√ 10 20
所以 √ 10 √ 390 = √ 1 | |2 = √ 1 ( )2 = ，
20 20
故二面角
√ 390
的正弦值为 ．
20
(3)解：由(2)知， = (2,0, 2√ 3)， 1 = (2, 1,0)， 1 = (0,3, 2√ 3)，
所以 1 = 1 = (2 , 0, 2√ 3 )，
所以 = + 1 1 = (0, 3,2√ 3) + (2 , 0, 2√ 3 ) = (2 , 3,2√ 3 2√ 3 )，
= 2 = 0
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
1 = 3 2√ 3 = 0
令 = 1，则 = 2， = √ 3，所以 = (1,2,√ 3)，
| | |2 6+6 6 | √ 2 √ 2
> | = = = =
所以 = |cos < ， | | | | √ 2 2 4 +9+(2√ 3 2√ 3 ) ×2√ 2 √ 2 16 24 +21 21 24 ， √ 2 +16

1 4 7
当 = ，即 = 时， 取得最大值
√ 14．
7 4 8
19.【答案】解：(1)由题意可得：| | ≥ | 3 3 3 | = | 1 + 2 |，
因为 = ( + , )，则 1 + 2 = ( + 1, ) + ( + 2,2) = (2 + 3,3)， 3 = ( + 3,3)，
则| 23 | ≥ | 1 +
2
2 | ，即( + 3)
2 + 9 ≥ (2 + 3)2 + 9，
整理得 (3 + 6) ≤ 0，
解得 2 ≤ ≤ 0，
所以实数 的取值范围为[ 2,0]；
(2)存在，理由如下：
假设存在“ 向量” ，

因为| | = (cos , sin ) = √ cos2 + sin2 = 1， 2 2 2 2
+4 +4
且 + 4 = (cos , sin ) = (cos , sin ) = ， 2 2 2 2
则由题意，只需要使得| 11 | = 1，
又因为 1 + 2 + 3 + 4 = (0,1) + ( 1,0) + (0, 1) + (1,0) = (0,0)，
则 11 = 1 + 2 + 3 + + 1 1 = 1 + 2 + 3 = ( 1,0)，
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可得 11 = ( 1 cos , sin )， 2 2

由|( 1 cos , sin )| ≤ 1，
2 2
2 即√ ( 1 cos ) + ( sin )2 ≤ 1，
2 2

整理得2 + 2 ≤ 1，
2
1
解得cos ≤ ，
2 2
又因为 ∈ { ∈ | ≤ 11}，即 = 2，6，10满足上式，
所以存在“ 向量”，分别为 2 ， 6 ， 1 0 满足题意；
(3)证明：由题意得：| 1 | ≥ | 2 + 3 |，| 1 |
2 ≥ | + |22 3 ，
2 2 2 2 2即 1 ≥ ( 2 + 3 ) ， 1 ≥ 2 + 3 + 2 2 3 ，
2 2 2 2 2 2
同理 2 ≥ 1 + 3 + 2 1 3 ， 3 ≥ 1 + 2 + 2 1 2 ，
2 2 2
三式相加并化简得：0 ≥ 1 + 2 + 3 + 2 1 2 + 2 1 3 + 2 2 3 ，
即( 1 + 2 + )
2
3 ≤ 0，| 1 + 2 + 3 | ≤ 0，
所以 1 + 2 + = 0 3 ，
+
由 1 + 2 + 3 = 0 ，可得 3 = ( , 0)， √ 2
2 2 2 2 2
可得| |2 2 2
( + ) 1 2 2
1 + | 2 | + | 3 | = + + = + + ( + + 2) 2 2 2 2 2 2
= 2 + 2 + 1
= ( + )2 1
= ( + + 1)( + 1)
= (
1 1
+ + 1)( +
1) = ( 2 + + 1)( 2 + 1)，

所以| |2 + | 2 2 1 2 | + | 3 | 可以写成一个关于 的二次多项式与一个关于 的二次多项式的乘积．
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