2024-2025学年广东省五校高二上学期第二次联考数学试题（含答案）

2024-2025学年广东省五校高二上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.若圆的圆心为，且被轴截得的弦长为，则圆的一般方程为( )
A. B.
C. D.
5.圆：与圆：的公切条数为( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面上涨后，水面的宽度为( )
A. B. C. D.
7.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知点为椭圆：上任意一点，直线过圆：的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线与直线互相垂直，则或
B. 若直线与直线互相平行，则或
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是或
10.已知直线：与圆：，下列说法正确的是( )
A. 点在圆外
B. 直线与圆相离
C. 点为圆上的动点，点为直线上的动点，则的取值范围是
D. 将直线下移个单位后得到直线，则圆上有且仅有个点到直线的距离为
11.在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则( )
A.
B. 该三棱柱的体积为
C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三条直线，与相交于一点，则的值为__________．
13.已知空间中的三点，，，则点到直线的距离为__________．
14.已知双曲线：的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，，使得为正三角形，且，则的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的标准方程
求过点且与曲线相切的直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，求平面和夹角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的离心率为，虚轴长为．
求的方程；
直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程
18.本小题分
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知圆：，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
斜率存在且不过的直线与曲线相交于、两点，与的斜率之积为．
证明：直线过定点；求面积的最大值．
参考答案
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15.解：设，则 ， ，
由 ，
得 ，
所以曲线 的标准方程为 ．
曲线 是以 为圆心，为半径的圆，
过点 的直线若斜率不存在，直线方程为 ，满足与圆 相切；
过点 的切线若斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
由圆心到直线距离 ，解得 ，
则方程为 ．
过点 且与曲线 相切的直线的方程为 或 ．

16.解：证明：取中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，则，，
因为，，则，，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
则，，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
由，，
则，，，，所以，，
显然面的一个法向量为，
若面的一个法向量为，则，
令，则，
设平面和夹角为，则，
所以平面和夹角的余弦值为
17.解：依题意可得，
解得，
双曲线的标准方程为．
由得，
由，
得，设，，
则，，
所以，
点到直线的距离．
因为，
所以，
所以或，
所以或，
所以直线方程为或或或．
18.解：证明：
因为在中，，，且，
所以，，
则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，且都在面内，
所以平面；
由知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ，
因为，故，
由几何关系可知，
，，，
故，，，
，，，
，，
，
设平面的法向量为，
则，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则有
，
所以，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，
使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，
，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即
不妨令，则，，
所以平面的一个法向量为
，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足
，
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，
使平面与平面成角余弦值为，
此时的长度为或．

19.解：已知圆：，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点满足，
设，，
则，
因为，
所以，
则，
解得，
因为在圆：上，
则，
即，
所以曲线的方程为．
证明：依题意，设直线的方程为，，
联立，
消去得，
则，
设，，
所以，
则
，
则，
则，
整理得，
解得，
所以直线过定点；
解：由得，，
则，
所以，
令，
则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
满足，
所以面积的最大值为．
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