2024-2025学年湖南省“五市十校教研教改共同体·天壹”高一12月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省“五市十校教研教改共同体·天壹”高一12月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
3.设，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列说法正确的是( )
A. 若角的终边经过点，则
B. 第一象限角都是锐角
C. 是第三象限角
D. 若扇形的圆心角是，半径为，则扇形的弧长为
6.月日是全国生态日，年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型年月日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从年万亿元升至年万亿元，则我国经济总量从年至年的年平均增长率约为参考数据：，，，
A. B. C. D.
7.已知函数，且满足对任意，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足条件，，，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数且恒过定点，若点在一次函数的图象上，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 若的解集为，则的取值范围是
B. 存在实数，使在区间内有两个零点
C. 若的两个零点为，，且，则
D. 若有且只有整数零点，则所有正整数的值为，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知对数函数的图象经过点，则函数的定义域为 ．
14.设函数若方程有四个解，，，，且．
的取值范围是
若有意义，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为的内角，已知，求，的值
已知，求的值．
16.本小题分
已知集合，集合．
当时，求
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
首届全国青少年三大球运动会于年月日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青少年对三大球篮球、排球、足球的爱好兴趣王先生现有资金万元，准备全部用于投资销售篮球和足球器材已知投资万元销售篮球器材，获得利润万元与成正比投资万元销售足球器材，获得利润为万元没有投资时的利润为万元，且满足．
求，的解析式
王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少
18.本小题分
设函数且，为常数．
若为奇函数，求不等式的解集
若为偶函数，且，证明：在单调递增
设函数，在第问的条件下，若，，使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
给出定义：若函数的图象在区间上是连续不断的曲线，对任意，，都有当且仅当时等号成立，则称函数是区间上的凸函数若是区间上的凸函数，则对任意，，，，和任意满足的正实数，，，，都有，当且仅当时等号成立，请利用上述定义和性质完成下列问题：
证明：函数在上是凸函数
求函数的最大值
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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13.
14.，
15.解：为的内角，，
又，，，
由，得，
；
，
原式
．
16.解：时，，，
，
当时，，符合题意
当时，，由题得
当时，，由题得，
综上，的取值范围为
17.解：由题意可知，所以，，
所以，所以．
由题意可设，所以，所以．
设王先生投资万元销售足球器材，则投资万元销售篮球器材，
设他所获得的利润为万元，
则由题意有
，
当且仅当，即时等号成立．
所以当王先生投资万元销售足球器材，投资万元销售篮球器材时，他所获得的利润最大，最大利润为万元．
18.【解答】解：
由于有意义，奇函数满足，此时，满足，所以符合题意，由得，当时，得，即，即不等式的解集为；当时，得，即，即不等式的解集为；
为偶函数，由得或，任取，，且，则，可知，，，所以，所以，所以在单调递增；
由可知在上单调递增，所以时，的最小值为，由题意得，使，即在有解，令，由知在单调递增，所以，则，则转化为在有解，只需，因为在单调递减，且在单调递减，所以当时，取最大值为，所以，即的取值范围为
19.解：证明：对任意，，，
所以，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以函数在上是凸函数；
函数在上是凸函数，
令，，则由凸函数的性质有：
，其中，
即，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最大值为；
因为函数在上是凸函数，
所以对任意，，，都有，
即，
当且仅当时等号成立，
因为函数在上是增函数，
所以，当且仅当时等号成立，
当时，函数在上单调递增，
所以，符合题意
当时，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立
所以在上的最小值为，
由题意有，解得，
综上得实数的取值范围为

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