2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖北省市级示范高中智学联盟高二上学期12月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆：的两个焦点与椭圆：的两个焦点构成正方形的四个顶点，则( )
A. B. C. D.
4.“”是“直线与直线平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，在正四面体中，过点 作平面 的垂线，垂足为 点，点 满足，则
A. B.
C. D.
6.已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为．是面积为的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆，圆，则下列结论正确的是( )
A. 若和外离，则或
B. 若和外切，则
C. 当时，和内含
D. 当时，有且仅有一条直线与和均相切
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C. 当时，曲线可能为焦点在轴上的椭圆
D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为
11.已知四棱柱的底面是边长为的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则( )
A. 当为底面的中心时，
B. 当时，长度的最小值为
C. 当时，长度的最大值为
D. 当时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程是___________．
13.已知向量，满足，，且则在上的投影向量的坐标为_________．
14.已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形面积的最大值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
大冶市甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制先赢三局的学校获胜，比赛结束约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后只进行女生排球比赛按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
求甲校以：获胜的概率．
17.本小题分
在中，，，，分别是上的点，满足且 点是边靠近点的三等分点，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示：
求证：平面；
求与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为．
求圆的标准方程；
设为圆的动弦，且不经过点，记分别为弦的斜率．
若，求面积的最大值；
若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
19.本小题分
法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆已知椭圆过点，且短轴的一个端点与焦点的连线与轴所成角的正弦值等于．
求椭圆的蒙日圆的方程；
若斜率为的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点；
设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值．
参考答案
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15.解：由于，
所以的斜率为，中点的坐标为，
则由点斜式可得，直线的方程为，即；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为，符合题意；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或

16.解：恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校连胜局，概率为
乙校连胜局，概率为，
故恰好比赛三局，比赛结束的概率；
甲校以获胜的情况如下：
前两局男生排球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为
前两局甲校胜负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为，
故甲校以获胜的概率．
17.证明：因为在中，，，
所以，
因为折叠前后对应角相等，所以，
所以平面，，
又，，、平面，
所以平面；
解：因为经过的重心，故，
由知平面，以为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，由几何关系可知，，

故，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
设与平面所成角的大小为，
则，，
故C与平面所成角的余弦值为．

18.解：设圆的标准方程为，
由已知可得：
解得：，，，
所以圆的标准方程为；
由知，因为，所以，
从而直线经过圆心，是直角三角形，且，
设，，则，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以；
由已知得：直线的斜率必存在，
设直线的方程为，，，
由，消去得：，
，，，
又，
即，
代入得：，
即，解得：，或，
当时，此时直线的方程为，过定点舍去，
当时，此时直线的方程为，过定点，
故当，动弦过定点．

19.解：由已知可得，，
由椭圆过点，得
由解得，，
于是，所以椭圆的蒙日圆的方程为．
由知，椭圆的方程为，设直线的方程为，
由消去并整理得，，
由，得，即，
则坐标原点到直线的距离，，
所以的面积．
由知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为，
设，则，设，，则，，
当切线的斜率存在时，设的方程为，
由消去得，
，整理得，
即，则，解得，
于是，即，
当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式，
因此切线的方程为，同理切线的方程为，
将代入切线，的方程，有，，
从而直线的方程为，当时，
由消去并整理得：，
显然，，
，，
则，
又点到直线的距离，
于是的面积，
设，则，，
令，，
定义法易证明函数在上单调递增，，
当，即时，由对称性不妨令，直线，
由，解得，，，，
所以面积的最小值为．

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