2024-2025学年浙江省“南太湖联盟”高一上学期第二次联考（12月）数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省“南太湖联盟”高一上学期第二次联考
数学试题（12月）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
5.如图，终边在阴影部分含边界的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
6.往一个高为的水瓶中注水，直到注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是下图中的
A. B. C. D.
7.已知定义在的奇函数满足；，且，，则的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知实数，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.下列四个函数中，定义域与值域相同的是( )
A. B.
C. D.
11.关于函数，实数满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的半径为，弧长为，则该扇形的圆心角为________．
13.恒成立，则实数的取值范围是_________．
14.已知，对正整数，如果满足：为整数，则称为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为，则集合__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
Ⅰ
Ⅱ
16.本小题分
已知集合 ，．
Ⅰ当时，求；
Ⅱ已知，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直与地平面，单位长度为千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中与发射的方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
Ⅰ求炮的最大射程；
Ⅱ设在第一象限有一飞行物忽略其大小，其飞行高度为千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
18.本小题分
已知函数， ．
Ⅰ判断函数的奇偶性并证明；
Ⅱ判断函数的单调性并证明；
Ⅲ若实数，满足 ，求的取值范围．
19.本小题分
我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
Ⅰ由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：；
Ⅱ已知函数，写出图象的对称中心，并求的值．
Ⅲ若函数具有以下性质：
定义域为，
在其定义域内单调递增，
，都有函数，求使不等式成立的实数的取值范围．
参考答案
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15.解：原式；
Ⅱ原式．
16.解：或，
当时，，或
，，
若，则，
若，有
或
综上所述，或实数的取值范围为

17.解：在中，
令，得．
由实际意义和题设条件知，．
解以上关于的方程得，
当且仅当时取等号．
所以炮的最大射程是千米．
，
炮弹可以击中目标存在，使成立即关于的方程有正根．
由于，，
由韦达定理可知两根之和大于，两根之积大于，
所以只需，
解得．
当横不超过千米时，炮单可出击中目标．

18.解：Ⅰ因为，解得，，
所以函数的定义域为，
任取，则，
所以函数为奇函数．
Ⅱ函数在上单调递增，
证明：函数的定义域为
，且
，
即，
又，
即，在上单调递增．
Ⅲ由题意，，
，得．，解得，
所以
，
令，由得
结合对勾函数性质知，
令，则在时单调递增，
所以的取值范围是
19.解：令，由已知可得，
即，
设，则，
整理得，即，
Ⅱ设函数图象的对称中心为，
，
该函数为奇函数，
，
，
函数图象的对称中心为．
由可得，
则，，
，．
．
，
由已知条件得，
．
，
，
又，
，
．
的定义域为，
的定义域为，
又且在其定义域内单调递增，
在定义域上单调递增，
，
实数的取值范围为．
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