2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高一上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高一上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若幂函数在上单调递增，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.下列说法正确的是( )
A. 函数与为同一函数
B. 函数的单调递减区间为
C. 函数，且的图象恒过点
D. 函数，且的图象恒过点
5.若，，，则( )
A. B. C. D.
6.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.已知函数在上单调递减，且为奇函数若实数满足不等式，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 若集合中只有一个元素，则
D.
10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则下列结论正确的是( )
A. 存在，使得成立
B.
C. 存在一个不为的实数，使得对任意实数均成立
D. 在的图象上存在三个不同的点，，，使得为等边三角形
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的单调递增区间为
B. 若，则方程有两个不等实数根
C. ，，且，
D. 规定，，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，则 ．
13.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为 ．
14.已知满足不等式的每一个的值至少满足两个不等式和中的一个，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求的值
求值：．
16.本小题分
已知函数为上的偶函数，且当时，．
在所给的网格坐标系中作出的图象
求的解析式
若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数的图象过点，且．
求的解析式
设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：
由偶函数知“函数的图象关于轴对称”的充要条件是“，”．
推广“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”
由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”．
推广“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”．
已知函数．
求的定义域及单调区间．
判断的图象是否具有对称性若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明若没有，说明理由．
求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数与的图象关于直线对称．
若是奇函数，求实数的值
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
已知实数，满足，，求的值．
参考答案
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15.解：，
两边平方得，
将两边平方，得，
所以．
原式
．
16.解：的图象如图所示：
若，则，
因为为偶函数，
所以．
故
由图可知这三个整数解分别为，，，
因为，，
所以
17.解：由可知图象的对称轴为直线，
则，得．
由，得．
故．
由题意得为增函数．
当时，
令，则在上单调递减，
所以．
因为对任意的，总存在，使得成立，所以，，
所以解得，即实数的取值范围是
18.解：由得，所以的定义域为．
由题意得，
由复合函数的单调性可得，的单调递增区间为，单调递减区间为．
的图象具有对称性，且的图象关于直线对称．
因为，
根据推广可知的图象关于直线对称．
由和可得
解得，
故不等式的解集为
19.解：因为函数与的图象关于直线对称，所以
由题意得．
因为是奇函数，
所以，
整理得，
所以，解得，
经检验，为奇函数，则．
对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立．
令，，
所以，
令，，
由对勾函数的图象与性质可得，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为，
所以，故实数的取值范围是
因为实数，满足，，
所以，，则，
所以，，即，，．
令，，设，则，，，
所以，即，
所以在上单调递增．
因为方程等价于，
所以，即，
所以．
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