2024-2025学年贵州省遵义市高二（上）期中数学试题（含答案）

2024-2025学年贵州省遵义市高二（上）期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为的正四面体中，为的中心，为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，，，分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在点测得点的仰角为，在点测得点的仰角为，则该建筑物的高约为 参考数据：，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，是方程的两个根，则( )
A. B. 为纯虚数 C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为，
C. 在上的值域为
D. 将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则
11.已知球的半径为，则( )
A. 球的内接正方体的内切球表面积为 B. 球的内接正方体的内切球体积为
C. 球的内接正四面体的内切球半径为 D. 球的内接正四面体的内切球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，，，这个数中，随机抽取个不同的数，则这个数的和为奇数的概率是______．
13.已知点，，，，若，，，四点共面，则 ______．
14.已知函数与的图像恰有一个交点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在四棱柱中，，，，，点满足．
若，求的值；
求
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角
若，求的面积的最大值．
17.本小题分
已知四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，，为的中点．
证明：平面．
求四棱锥的体积．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
若，，求的周长；
若，，是边上的两点，且，求的值．
19.本小题分
如图，在几何体中，已知四边形是边长为的正方形，平面，，．
求异面直线与所成角的余弦值．
证明：平面平面．
若是几何体内的一个动点，且点满足，，求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：连接，
因为，
所以
，
则；
由题意，，，
，
则，，，
所以
．
16.解：由，可得，即，
因为，所以，解得；
由余弦定理可得，
因为，所以，
即，当且仅当时，等号成立，
故的面积的最大值为．
17.解：证明：令为的中点，连接，．
由于为的中点，因此，，
又因为，，因此，，
因此四边形为平行四边形，因此．
由于平面，平面，
因此平面．
令为的中点，连接，所以，，
因此四边形为平行四边形，因此，
因此，因此．
所以梯形的面积为，
所以四棱锥的体积为．

18.解：因为，
所以由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，
则，，又因为，
所以；
因为，所以，则，
又因为，所以，
故，得，
所以的周长为；
因为，
所以，则，
因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则．
19.解：由四边形是正方形，平面，
可得，，两两垂直，故以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
则，，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为；
证明：取的中点，连接，，则，
所以，，，，
所以，，，
则，所以，
又，，则，
又为中点，所以，，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
因为，
所以在线段上，
因为，
所以，故在平面上，
，
设为的中点，
所以，
因为，所以，
故，所以的最小值为．
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