2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江西省“三新协同教研共同体”高二上学期12月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且在上的投影数量为，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
4.三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为( )
A. B. C. D.
5.在正方体中，，其中，，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为( )
A. 或 B. C. D. 或
8.在等腰直角中，，是所在平面内的一点，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某单位安排名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 直线的方程为 D. 以线段为直径的圆与轴相切
11.已知正方体的棱长为，动点满足，则下列说法正确的是( )
A. 当，时，三棱锥的体积为
B. 当，且时，点的轨迹的长度为
C. 当，时，的最小值为
D. 当，时，过点，，的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若，则 ．
13.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如，等都是“凸数”用，，，，这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 用数字作答
14.已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程
过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，求的面积．
16.本小题分
按要求完成下列问题：
从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论
若，求的值．
17.本小题分
如图，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图，为的中点．
证明：．
求二面角的余弦值．
试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，求出线段的长度若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知抛物线上一点，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于，两点．
当时，求的面积
证明：直线过定点．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，定义：为，两点间的“曼哈顿距离”．
已知，，求的取值范围．
我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为的点的轨迹记为．
求轨迹上的动点与直线上的动点的“曼哈顿距离”的最小值．
若多边形的顶点都在同一个椭圆上，我们将这个椭圆称为该多边形的外接椭圆，轨迹的外接椭圆为若，，，这四个点均在椭圆上，直线过椭圆的右焦点，且满足，求四边形面积的最大值．
参考答案
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15.解：由双曲线过点，可设方程为，
则，得，
双曲线的标准方程为．
根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线，
有 ，，
的面积．
16.解：，
证明如下：易知，，，
．
原式
，
所以或．
17.解：在图的等腰直角中，为的中点，则，
所以在图中，有，，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
因为平面，所以是二面角的平面角，
即，所以为正三角形，
因为为的中点，所以，
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则所以平面的一个法向量为．
同理平面的个法向量为，
所以，，
所以二面角的余弦值为．
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
，，设，
则，，
依题意可得，解得或舍去，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．

18.解：因为点在抛物线上，
所以，解得，则抛物线．
当时，直线为圆的一条切线，
不妨设直线为直线，则．
设直线的方程为，即．
因为直线为圆的切线，所以，即，解得，
则的方程为．
由得．
设，则，解得，
所以，则
又因为，所以直线的方程为，
则，
又点到直线的距离为，
所以．
设，，若直线的斜率存在，则斜率为，
所以直线的方程为，化简得．
直线的斜率不存在时也满足式
因为直线为圆的切线，所以．
两边平方展开化简得．
又因为点在抛物线上，所以，
代入式化简得，
同理可得，
所以直线的方程为，
整理得．
由，得
所以直线过定点．
19.解：设点，则，
则当，时，有
当，时，有
当，时，有
当，时，有．
作出图象，如图所示，
则的取值范围为．
设到两定点，的“曼哈顿距离”之和为的点为，
则的方程为，即．
画出的图象，其为六边形，如图所示
作与直线平行且过六边形的左顶点的直线，易得此直线方程为，
在直线上任取一点，以为中心作曼哈顿正方形交直线于，
设，，
由，得，解得，
所以，
所以轨迹上的动点到与直线上的点的“曼哈顿距离”的最小值为．
由题意可设椭圆的方程为，
将点代入此方程得，
所以椭圆的方程为．
因为，
所以四边形为平行四边形．
设直线，，，
由得，
则
所以四边形的面积，
其中，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为
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