能力微专训2 遇角平分线如何添加辅助线
类型1 作垂线,构造全等三角形
方法1 点在角平分线上,可向两边作垂线
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.如图,若OP是∠AOB的平分线,PE⊥OA,可过P点作PF⊥OB,则可用结论:(1)PF=PE;(2)证得△OPF≌△OPE;(3)证得OF=OE.
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=12 cm,BD=8 cm,那么点D到直线AB的距离是 ( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.10 cm
2.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若DE=1,则BC的长为 ( )
A.2+ B.+ C.2+ D.3
3.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB相交于点C,D,问PC与PD相等吗 试说明理由.
类型2 作平行线,构造等腰三角形
方法2 平分加平行,可得等腰三角形
过角平分线上一点,作角的一边的平行线,可构造等腰三角形.如图,若OP是∠AOB的平分线,过P点作OB的平行线交OA于E点,可用结论:△EOP是等腰三角形.
4.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C的度数为 ( )
A.105° B.120° C.130° D.150°
如图,已知△ABC的两边AB=5,AC=8,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,过点O作EF∥BC,则△AFE的周长等于 .
类型3 作垂线,构造等腰三角形
方法3 平分加垂线,得等腰三角形
从角的一边上一点作角平分线的垂线,与另一边相交,可得等腰三角形.
如图,若OP是∠AOB的平分线,EP⊥OP,则可延长EP交OB于F点,可用结论:(1)△OEF是等腰三角形;(2)P是EF的中点.
如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D.
(1)求证:∠2=∠1+∠C.
(2)若ED∥BC,∠ABD=28°,求∠ADE的度数.
如图,在△ABO中,OA=OB,∠AOB=90°,AD平分∠OAB,OE⊥AD于点E,交AB于点F.
求证:(1)OD=BF.
AD-OF=2DE.
类型4 作等线段,构造对称图形
方法4 在角的两边取相等线段,可得全等三角形
如图,若OP为∠AOB的平分线,可在OB上取OF=OE,则可用结论:
(1)△OPF≌△OPE.
(2)PF=PE,OF=OE.
(3)∠PFO=∠PEO,∠OPF=∠OPE.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC,求证:BC=AC+CD.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE=AD,求证:∠ECA=40°.
【参考答案】
1.B 2.A
3.【解析】PC=PD.理由:如图,过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,
垂足分别为E,F.
∵OM平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°.
又∵∠AOB=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=∠DPF+∠CPF=90°,
∴∠EPC=∠DPF,∴△CPE≌△DPF(ASA),
∴PC=PD.
4.B 5.13
6.【解析】(1)证明:如图,延长AD交BC于点H.
∵BD⊥AH,
∴∠BDA=∠BDH=90°.
∵∠ABD=∠HBD,BD=BD,
∴△BDA≌△BDH(ASA),
∴∠2=∠BHA.
∵∠BHA=∠1+∠C,
∴∠2=∠1+∠C.
(2)∵∠ABD=28°,∠BDA=90°,
∴∠2=62°,
∴∠AHB=∠2=62°,
∴∠AHC=180°-62°=118°.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AHC=118°.
7.【证明】(1)如图1,连接DF,∵OF⊥AD,
∴∠AEF=∠AEO=90°.
∵AD平分∠FAO,
∴∠FAE=∠OAE.
在△FAE和△OAE中,
∴△FAE≌△OAE(ASA),
∴FE=OE,∠AFO=∠AOF.
∵AD⊥OF,∴DF=DO,
∴∠DFO=∠DOF.
∵∠AFO=∠AOF,
∴∠AFD=∠AOB=90°.
∵∠AOB=90°,AO=BO,
∴∠B=45°,
∴∠FDB=∠AFD-∠B=90°-45°=45°=∠B,
∴BF=DF,∴OD=BF.
(2)如图2,在AD上截取AM=OF,连接OM,
∵∠OAB=∠B=45°,AD平分∠OAB,
∴∠OAM=22.5°.
∵OD=DF,∴∠DFO=∠DOF.
∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF,
∴∠FOB=22.5°=∠OAM.
在△AMO和△OFB中,
∴△AMO≌△OFB(SAS),∴MO=BF=OD.
∵OF⊥AD,∴DE=ME,
∴AD-OF=DM=2DE.
8.【证明】如图,在线段BC上截取BE=BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC.
在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.
又∵AB=AC,∠A=108°,
∴∠ACB=∠ABC=(180°-108°)=36°,
∴∠ABD=∠EBD=18°.
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°.
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°,
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°,
∴∠CDE=∠DEC,
∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AC+CD.
9.【证明】如图,在BC上截取BF=AB,连接DF,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠FBD,
∴△ABD≌△FBD(SAS),
∴DF=DA=DE,∠A=∠DFB.
又∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠A=80°,
∴∠FDC=60°,
∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°,
∴∠FDC=∠EDC,∴△DCE≌△DCF(SAS),
∴∠ECA=∠DCB=40°.能力微专训5 相似三角形的七大模型
模型1 X字型
模型分析
如图1,若AB∥CD,则△ABE∽△DCE;如图2,若∠A=∠D或∠B=∠C,则△ABE∽△DCE.
如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥CD交BD于点F,AB∶CD=2∶3,那么EF∶AB= .
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长.
模型2 A字型
模型分析
如图1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC;如图2,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ACB.
如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,则的值为 .
如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
模型3 子母型
模型分析
已知:∠1=∠2.结论:△ACD ∽△ABC.
在图中,我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形.在模型中,由△ACD∽△ABC,进而可以得到AC2=AD·AB.
如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,则AC的长为 .
如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.
(1)求证:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
模型4 双垂直型
模型分析
①如图1,在三角形ABC中,AD为BC边上的高,这个是子母型的特殊情况,则AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD.
②如图2,在三角形ABC中,若BD,CE分别是AC和AB边上的高,则△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC.
7.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上的一点,过点C作CD⊥AB于点D,AC=2 cm.若AD∶DB=4∶1,求AD的长.
如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,求证:
(1)△ABC∽△ADE.
(2)BC=2DE.
9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB上一点.
(1)如图1,若CD⊥AB,求证:AC2=AD·AB.
(2)如图2,若AC=BC,H为CD上一动点,过点H作EF⊥CD交BC于点E,交AC于点F,=,求的值.
模型5 三垂直型
模型分析
一线三直角是一种常见的相似模型,指的是由三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.
如图1,2,△ACD∽△BAE.特殊地,当AB=AC时,△ACD≌△BAE.
三垂直型应用:1.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;2.图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;3.图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;4.图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型.
如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,EF⊥AE交DC于点F.若AB=4,BC=6,则CF的长为 .
如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=4,CD=2,P为线段BC上的点,设BC=m.
(1)已知m=9.
①若△BAP∽△CDP,求线段BP的长;
②若△BAP∽△CPD,求线段BP的长.
(2)若△BAP与△CDP相似,求m的值.
模型6 一线三等角型
模型分析
已知:在图1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.
结论:△ABC∽△CDE.
如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,且∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.图2,3同理可证△ABC∽△CDE.
在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形.
12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E,F是CD上的两点,且∠ACB=∠AED=∠BFD.若AD=8,BD=12,tan∠ACB=2,则CD的长为 ( )
A.14 B.16 C.18 D.20
如图,在△ABC中,AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B. 求证:
(1)△ABP∽△PCD.
(2)AB·CD=CP·BP.
模型7 手拉手模型
模型分析
特征:共顶点,等顶角,BD,CE为拉手线.已知:∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE或=.结论:△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE.
14.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,连接BD,CE.求证:△ADB∽△AEC.
如图,∠DAB=∠EAC,AD=6,AE=4,DE=9,AB=12,AC=8.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)求BC的长.
【参考答案】
1.3∶5
2.【解析】(1)证明:∵在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠DCF,
∴△ADE∽△FCE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=4,
∴AB=CD=4.
又∵△ADE∽△FCE,
∴=.
∵AD=6,CF=2,
∴=,
∴DE=3.
3.
4.【解析】(1)证明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
∴∠AEF+∠EAF=90°,∠GAC+∠ACG=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AEF=∠ACG.
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC,
∴=.
∵AD=BE=4,AE=3,
∴AB=BE+AE=4+3=7,
∴=,
解得AC=,
∴CD=AC-AD=-4=.
5.
6.【解析】(1)证明:∵AB=4,BC=8,BD=2,
∴=.
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,如图所示,则△ABC∽△EDC,
∴=,
即=,
解得DE=3.
7.【解析】如图,连接BC.
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACB=∠ADC.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC.
∴=.
设DB=x cm,则AD=4x cm,AB=5x cm.
∴=,
即5x·4x=(2)2,
解得x=,∴AD=4 cm.
8.【证明】(1)∵△ABD∽△ACE,
∴=.又∵∠A=60°,
∴∠ABD=30°,
∴==.
又∵∠A为公共角,∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)可知,∵==,∴BC=2DE.
9.【解析】(1)证明:∵△ACD∽△ABC,
∴AC2=AD·AB.
(2)如图,过点A作AM⊥AC交直线CD于点M,易证△ADM∽△BDC,===tan∠ACD=.
又∵tan∠ACH==,∴CH=2FH.
又∵∠ACH=∠FEC,
∴tan∠FEC=tan∠ACD==,
∴EH=2CH,
∴EH=4FH,
∴=.
10.
11.【解析】(1)∵如图,BC=9,
∴PC=9-BP.
①∵△BAP∽△CDP,
∴=,即=,
解得BP=6.
②∵△BAP∽△CPD,
∴=,即=,
解得BP=8或BP=1.
(2)当△BAP与△CDP都是等腰直角三角形时,这两个三角形相似,
此时∠BPA=∠CPD=45°,
则BP+PC=BC=AB+CD=6.
当∠BAP=∠CPD时,△BAP∽△CPD,
∴=,即=,
∴BP2-mBP+8=0,
∴Δ=m2-32=0,
∴m=4或m=-4(舍去).
综上所述,当m=6或m=4时,使得△BAP与△CDP相似.
12.B
13.【证明】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠APD=∠B,∠APC=∠BAP+∠B=∠APD+∠DPC,
∴∠BAP=∠CPD.
∴△ABP∽△PCD.
(2)∵△ABP∽△PCD,
∴=,
∴AB·CD=CP·BP.
14.【证明】∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE,
∴AC=AE,AB=AD,∠BAC=∠DAE,
∴=,∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,
∴∠BAD=∠CAE,∴△ADB∽△AEC.
15.【解析】(1)证明:∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC,
即∠DAE=∠BAC.
∵AD=6,AE=4,AB=12,AC=8,
∴==,
∴△ADE∽△ABC.
(2)由(1)可知△ADE∽△ABC,
∴=,即=,
∴BC=18.能力微专训1 反比例函数中的面积问题
类型1 边与坐标轴平行或重合
1.(原创)如图,A是反比例函数y=图象上的任意一点,过点A分别作x轴,y轴的垂线,垂足为B,C,则四边形OBAC的面积为 ( )
A.1.5 B.3 C.6 D.9
2.如图,A是反比例函数y=(x>0)图象上任意一点,AB⊥y轴于点B,C是x轴上的动点,则△ABC的面积为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.不能确定
3.如图,A是反比例函数y=的图象上一点,过点A作AB∥y轴交反比例函数y=的图象于点B,已知△OAB的面积为3,则k的值为 ( )
A.4 B. 5 C.7 D.13
4.如图,双曲线y=-(x<0)经过 ABCO的对角线交点D,已知边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,则 OABC的面积是 ( )
A. B. C.3 D.6
5.如图,P是反比例函数y=(x>0)图象上的任意一点,过点P分别作两坐标轴的垂线,与坐标轴构成矩形OAPB,D是矩形OAPB内任意一点,连接DO,DA,DP,DB,则图中阴影部分的面积是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在第二象限和第一象限,AB与x轴平行,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,函数y=(x<0)和y=(x>0)的图象分别经过点A,B,则的值为 ( )
A. B.- C. D.-
7.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的四条边分别与坐标轴交于点E,F,G,H,AD∥x轴,四边形AFOE与四边形CHOG的面积分别为2,3,点B,D分别在反比例函数y=(x<0),y=(x>0,k>0)的图象上,则k的值为 ( )
A. B.3 C.4 D.6
8.如图,已知A是x轴的正半轴上一点,点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,OA=AB=2,∠OAB=120°,则k= .
如图,在平面直角坐标系中,OA=3,将OA沿y轴向上平移3个单位长度至CB,连接AB,若反比例函数y=(x>0)的图象恰好过点A与BC的中点D,则k= .
方法总结
当过反比例函数图象上的点的图形不是长方形或直角三角形时,要过该点作垂线,通过割补法变成长方形或直角三角形,如图所示.
类型2 边不与坐标轴平行或重合
10.如图,A,B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点,若A,B两点的横坐标分别是2,4,则△OAB的面积是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
11.如图, OABC的顶点O,B在y轴上,顶点A在反比例函数y=-的图象上,顶点C在反比例函数y=的图象上,则 OABC的面积是 ( )
、
A. B. C. D.
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB∶BC=3∶2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴,y轴上,反比例函数y=的图象经过点D,则k值为 ( )
-14 B.14 C.7 D.-7
【参考答案】
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.D 8.3 9.2 10.B 11.D 12.B能力微专训3 全等三角形的六大模型
模型1 平移型
模型分析
把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形.图1,图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型全等的试题中,常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1,若BE=CF,则BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如图2,若BE=CF,则BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD∥EC,∠AED=∠B.若DE=3,CE=4,则AD+BC= .
2.如图,点E,F在边AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF,求证:△ADF≌△BCE.
模型2 轴对称(翻折)型
模型分析
将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称为翻折型全等三角形.此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等.
3.如图,在△ABC和△ABD中,BC交AD于点E,若∠C=∠D,AE=BE.求证:△AEC≌△BED.
如图,Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)不添加辅助线,找出图中其他的全等三角形.
(2)求证:CF=EF.
模型3 旋转型
模型分析
将三角形绕公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时,如图1,涉及对顶角相等;如图2,涉及等角加(减)等角的条件.
5.如图,在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.求证:△ABC≌△DEC.
6.如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:AD=AE.
模型4 一线三垂直型
模型分析
常用三个垂直作条件进行角度等量代换,即同(等)角的余角相等,相等的角就是对应角,证三角形全等时必须还有一组边相等.
如图1(变形前),已知:AB⊥BC,DE⊥CE,AC⊥CD,AB=CE.
结论:①∠A=∠DCE,∠ACB=∠D;②BE=AB+DE;③连接AD,△ACD是等腰直角三角形.
图1
如图2(变形前),已知:AB⊥BC,AE⊥BD,CD⊥BD,AB=BC.
图2
结论:①∠A=∠DBC,∠ABE=∠C;②DE=AE-CD.
7.如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,点B,D到直线a的距离分别为1,3,则正方形的边长为 ( )
A. B.2 C.4 D.5
8.如图,四边形ABCD是正方形,M为BC上一点,连接AM,延长AD至点E,使得AE=AM,过点E作EF⊥AM,垂足为F,求证:AB=EF.
模型5 一线三等角型
模型分析
1.两个三角形在直线同侧,点P在线段AB上.
已知:∠1=∠2=∠3,AP=BD,结论:△CAP≌△PBD.
2.两个三角形在直线异侧,点P在AB(或BA)的延长线上.
已知:∠1=∠2=∠3,CP=PD,结论:△CAP≌△PBD.
9.如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别为AB,BC,AC上的点,∠DEF=60°,BD=CE,求证:BE=CF.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在△ABC的三边上,且∠B=∠1,BD=CF.求证:△EBD≌△DCF.
11.如图,正方形ABCD的顶点A在直线l上,分别过点B,D作直线l的垂线,E,F为垂足,连接BF.
(1)求证:AE=DF.
(2)若AE=6,BF=2,则△ABF的面积为 .
模型6 手拉手模型(构造全等)
模型分析
如图,在△OAB中,OA=OB,在△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,连接AC,BD交于点E.简记:双等腰,共顶点,顶角相等,旋转得全等.
则(1)△AOC≌△BOD(SAS);(2)AC=BD;(3)两条拉手线AC,BD所在直线的夹角与∠AOB相等或互补.
12.如图,四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形,连接AG,CE.求证:AG=CE.
13.如图,△ADC与△EDG都为等腰直角三角形,连接AG,CE,相交于点H,AG交CD于点O.
(1)求证:AG=CE.
(2)求∠CHA的度数.
【参考答案】
1.7
2.【证明】∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,即AF=BE.
在△ADF和△BCE中,
∴△ADF≌△BCE(SAS).
3.【证明】∵BC交AD于点E,
∴∠AEC=∠BED.
∵∠C=∠D,AE=BE,
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(AAS).
4.【解析】(1)图中其他的全等三角形为△ACD≌△AEB,△DCF≌△BEF.
(2)证明:∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AC=AE,AD=AB,∠CAB=∠EAD,
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB,
即∠CAD=∠EAB,
∴△CAD≌△EAB,
∴CD=EB,∠ADC=∠ABE.
又∵∠ADE=∠ABC,
∴∠CDF=∠EBF.
又∵∠DFC=∠BFE,
∴△CDF≌△EBF(AAS),
∴CF=EF.
5.【证明】∵∠BAE=∠BCE=90°,
∴∠ABC+∠AEC=180°.
∵∠AEC+∠DEC=180°,
∴∠DEC=∠B.
在△ABC与△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).
6.【证明】∵AB⊥AC,AD⊥AE,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴AD=AE.
7.A
8.【证明】∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠EAF=∠BMA.
∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°=∠B.
在△ABM和△EFA中,
∴△ABM≌△EFA(AAS),
∴AB=EF.
9.【证明】∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=60°,BD=CE
∵∠CED=∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
∴∠CEF=∠BDE,
∴△DBE≌△ECF(ASA),∴BE=CF.
10.【证明】∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠EDC=∠BED+∠B=∠1+∠FDC,
又∵∠B=∠1,∴∠FDC=∠BED.
在△EBD和△DCF中,
∴△EBD≌△DCF(AAS).
11.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD.
∵BE⊥l,DF⊥l,
∴∠AEB=∠DFA=90°.
∵∠EAB+∠FAD=90°,∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠FAD=∠EBA.
在△BEA和△AFD中,
∴△BEA≌△AFD(AAS),∴AE=DF.
(2)由(1)可知,△BEA≌△AFD,
∴AF=BE,设AF=BE=x(x>0),
则EF=AF+AE=x+6,
在Rt△BEF中,BE2+EF2=BF2,
即x2+(x+6)2=(2)2,
即x2+6x-40=0,解得x1=4,x2=-10(舍去),
∴S△ABF=×AF×BE=×4×4=8.
故答案为8.
12.【证明】∵四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形,
∴AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE,
∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG,
∴∠ABG=∠CBE.
在△ABG和△CBE中,
∴△ABG≌△CBE(SAS),
∴AG=CE.
13.【解析】(1)证明:∵∠ADG=∠ADC+∠CDG,∠CDE=∠GDE+∠CDG,∠ADC=∠EDG=90°,
∴∠ADG=∠CDE.
在△ADG和△CDE中,
∴△ADG≌△CDE(SAS),
∴AG=CE.
(2)∵△ADG≌△CDE,
∴∠DAG=∠DCE.
∵∠COH=∠AOD,
∴∠CHA=∠ADC=90°.能力微专训6 矩形的折叠模型
模型1 矩形折叠→直角三角形
模型分析
如图,在矩形ABCD中,E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠得到△AB'E,则△AB'E为直角三角形.
1.如图,将矩形纸片ABCD沿AF折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,若AD=6,则AF等于 ( )
A.2 B.10
C.8 D.4
2.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E为BC上一点,把△CDE沿DE翻折,点C 恰好落在AB边上的F处,则CE的长是 ( )
A.1 B. C. D.
3.如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,点E不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为 .
4.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB的中点,F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△GEF,则GC的长的最小值是 ( )
A.2-2 B.2-1
C.2 D.2
模型1 矩形折叠→等腰三角形
模型分析
如图,在矩形纸片ABCD中,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,则AO=OC,即△AOC为等腰三角形.
5.如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4,AB=8,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点F,若DF=3,则EF的长为 ( )
A.3 B.2 C.4 D.5
6.将一张宽为5 cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示的图形,若重叠部分是一个三角形,则这个三角形的面积的最小值是 ( )
A. cm2 B. cm2
C.25 cm2 D. cm2
7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E,F分别在边AD,BC上,且AE=3,按以下步骤操作:
第一步,沿直线EF翻折,点A的对应点A'恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B',则线段BF的长为 ;
第二步,分别在EF,A'B'上取点M,N,沿直线MN继续翻折,使点F与点E重合,则线段MN的长为 .
【参考答案】1.C 【解析】设DE=CE=CD=AB=a,则AE=AB=2a,在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2,即(2a)2=a2+36,解得a=2.设BF=b,则FC=6-b,在Rt△EFC中,同理可得b=4,故AF===8.
2.D 【解析】设CE=x,则BE=3-x,
由折叠性质可知EF=CE=x,DF=CD=AB=5,
在Rt△DAF中,AD=3,DF=5,
∴AF==4,
∴BF=AB-AF=5-4=1.
在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
即(3-x)2+12=x2,解得x=.
3.4+2
【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=AB',
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠C=90°,且四边形ABEB'是正方形,
∴AB=BE=CD,∠BAE=45°,
又∵DE=EF,
∴△BEF≌△CDE(HL),
∴BF=CE=2.
由折叠可知BF=FG=2,BE=GE,∠FGE=∠B=90°,
∴AF=FG=2,
∴AB=BE=2+2,
∴AD=BC=BE+EC=2+2+2=4+2.
4.A 【解析】
以点E为圆心,AE的长度为半径作圆,连接CE,当点G在线段CE上时,GC的长取最小值,如图所示,根据折叠可知GE=AE=AB=2.
在Rt△BCE中,BE=AB=2,BC=6,∠B=90°,∴CE==2,∴GC的最小值=CE-GE=2-2.
5.A 【解析】∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=90°,在Rt△ADF中,AF==5.
∵把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在E处,
∴AE=AB=8,∴EF=8-5=3.
6.B 【解析】
如图,当AC⊥AB时,三角形的面积最小,
∵∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴AB=AC=5 cm,
∴S△ABC=×5×5=(cm2).
7.1
【解析】如图,过点F作FT⊥AD于点T,则四边形ABFT是矩形,连接FN,EN,设AC交EF于点J.
∵四边形ABFT是矩形,
∴AB=FT=4,BF=AT.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=4,AD=BC=8,∠B=∠D=90°,
∴AC===4.
∵∠TFE+∠AEJ=90°,∠DAC+∠AEJ=90°,
∴∠TFE=∠DAC.
∵∠FTE=∠D=90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴==,
∴==,
∴TE=2,EF=2,
∴BF=AT=AE-ET=3-2=1.
设A'N=x.
∵NM垂直平分线段EF,
∴NF=NE,
∴B'F2+B'N2=FN2=A'E2+A'N2,
∴12+(4-x)2=32+x2,
∴x=1,
∴FN===,
∴MN===.能力微专训7 利用轴对称性质求最值
模型分析
【问题1】 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小 连接AB,与l的交点即为点P 两点之间线段最短.PA+PB的最小值为AB
【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理
在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小 作点B关于l的对称点B',连接AB',与l的交点即为点P 两点之间线段最短.PA+PB的最小值为AB'
【问题3】 作法 图形 原理
在直线l1、l2上分别求点M、N,使△PMN的周长最小 分别作点P关于两直线的对称点P'和P″,连接P'P″,与两直线的交点即为点M、N 两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为P'P″
【问题4】“造桥选址” 作法 图形 原理
直线m∥n,在m、n上分别求点M、N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小 将点A向下平移MN的长度得到点A',连接A'B,交n于点N,过点N作NM⊥m于点M 两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为A'B+MN
1.如图,在正方形ABCD中,AB=4,E是AB的中点,P是BD上一动点,则PA+PE的最小值是 ( )
A.2 B.4 C.4 D.2
2.如图,点C的坐标为(3,y),当△ABC的周长最小时,y的值为 ( )
A. B. C. D.
3.如图,正△ABC的边长为1,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D为线段BC'上一动点,则AD+CD的最小值和最大值分别是 ( )
A.2,1+2
B.2,3
C.2,1+
D.2,1+
4.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,的值是 .
5.如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P为CD上的动点,则|PA-PB|的最大值为 .
6.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OA=6,OC=4,D为OC的中点,点E,F在线段OA上,点E在点F的左侧,EF=2.当四边形BDEF的周长最小时,求点E的坐标.
【参考答案】1.D 【解析】如图,连接CE,交BD于点P,连接AP,则此时PA+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形,
∴点A,C关于BD对称,
∴PA=PC,
∴PA+PE=PC+PE=CE.
∵E是AB的中点,
∴BE=2,
∴CE===2,
故PA+PE的最小值是2.
2.D 【解析】作点A关于直线x=3的对称点A',连接A'B交直线x=3于点C.∵点A与点A'关于直线x=3对称,
∴AC=A'C,
∴AC+BC=A'C+BC.
当点B、C、A'在同一条直线上时,A'C+BC取得最小值,即△ABC的周长取得最小值.
∵点A与点A'关于直线x=3对称,
∴点A'的坐标为(6,3).
设直线BA'的方程为y=kx+b,把(6,3),(2,0)代入,得
解得
∴直线BA的解析式为y=x-.
将x=3代入直线BA的解析式,得y=.
∴y的值为.故选D.
3.C 【解析】
如图,由图分析可知A'D=CD,
AD+CD=AD+A'D.
当点D在线段A'A上时,AD+A'D有最小值2;
当点D在C'处时,AD+A'D有最大值1+.故选C.
4.
【解析】 作点E关于AC的对称点E',连接FE'交AC于点P',连接PE'.
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称,
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上,且AE'=AE,
过点F作FG⊥AB交AC于点G,则∠GFA=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠B=90°,∠CAB=∠ACB=45°,
∴FG∥BC∥AD,∠AGF=∠ACB=45°,
∴GF=AF.
∵E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,
∴AE'=AE=EF=FB,
∴GC=AC,==,
∴AG=AC,==,
∴AP'=AG=×AC=AC,
∴P'C=AC-AP'=AC-AC=AC,
∴==,故答案为.
5.4
【解析】如图,作点A关于CD的对称点A',连接A'B并延长交CD于点P,则点P就是使|PA-PB|的值最大的点,|PA-PB|=A'B.
连接A'C.
∵△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=4,
∴∠CAB=∠ABC=45°,
∠ACB=90°.
∵∠BCD=15°,
∴∠ACD=75°,
∴∠CAA'=15°.
∵AC=A'C,
∴A'C=BC,∠CA'A=∠CAA'=15°,
∴∠ACA'=150°.
∵∠ACB=90°,
∴∠A'CB=60°,
∴△A'BC是等边三角形,
∴A'B=BC=4.
6.
【解析】如图,将点B向左平移2个单位长度得到B'(4,4),作点D关于x轴的对称点D'(0,-2),连接B'D',其与x轴的交点为E,此时四边形BDEF的周长最小.
理由:四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF,BD与EF是定值.
∵当BF+DE最小时,四边形BDEF的周长最小,
∴BF+ED=B'E+ED'=B'D'.
设直线B'D'的解析式为y=kx+b,把(4,4),(0,-2)代入,得
解得
∴直线B'D'的解析式为y=x-2.
令y=0,得x=.
∴点E的坐标为,0.能力微专训4 中点的妙用
模型1 三角形的中位线
模型分析
在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC,且DE=BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角问题,线段之间的倍半、相等及平行问题.
1.如图,在△ABC中,∠B=90°,D,E分别是AB,AC的中点,若AB=4,BC=6,则△ADE的面积为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是AB的中点,OE=5,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.20 B.40 C.60 D.80
3.在△ABC中,AB=AC,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点.
(1)如图1,若∠A=90°,请判断四边形AEDF的形状,并证明你的结论.
(2)如图2,若∠A=120°,BC=4,求四边形AEDF的周长和面积.
模型2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
模型分析
在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=AB,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使AD=AB,则DF的长为 .
5.如图,在△ABC中,∠C=2∠B,D为BC上一点,且AD⊥AB,E是BD的中点,连接AE.
(1)求证:∠AEC=∠C.
(2)求证:BD=2AC.
(3)若AE=8.5,AD=8,求△ABE的周长.
模型3 等腰三角形中的“三线合一”
模型分析
如图,在等腰三角形ABC中,D为BC的中点.等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到 “边等、角等、三线合一”.
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.求证:CD=AB+BD.
7.如图,在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D,∠FAC=∠ABC,且∠FAC在AC下方.P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PE⊥CQ于点E,连接DE.若∠ABC=60°,BP=AQ.当点P在线段BD上运动时,求证:DE=AQ,DE∥AQ.
模型4 垂直平分线
模型分析
在△ABC中,DE垂直平分BC,连接BE,由垂直平分线的性质即可得到BE=CE.出现线段垂直平分线时,往往在线段垂直平分线上利用已知点(或构造点)与线段两端连线,得到相等线段构成等腰三角形.
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E分别在BC,AB上,DE垂直平分AB,则BD的长为 .
9.如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,DG⊥CE,G为垂足.求证:DC=BE.
如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接AG,BG,CG,DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:∠GDA=∠GCB.
(2)连接FE,求证:∠GDA=∠GFE.
模型5 中线平分三角形的面积
模型分析
AD为△ABC的中线,则S△ACD=S△ABD=S△ABC.(注意:△ACD和△ABD等底同高)
11.如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,CF,AD的中点,且S△ABC=16,则S△DEF= ( )
A.2 B.8 C.4 D.1
12.如图,在边长为a的正方形ABCD中,E是AB的中点,DE交AC于点F,则△CDF的面积为 ( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
13.如图,在△ABC中,依次取BC的中点D1,BA的中点D2,BD1的中点D3,BD2的中点D4,…,并连接AD1,D1D2,D2D3,D3D4,….若△ABC的面积是1,则△BDn-1Dn的面积是 .
模型6 倍长中线构造全等
模型分析
如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使DE=AD,易证:△ADC≌△EDB(SAS).
如图2,D是BC的中点,延长FD至点E,使DE=FD,易证:△FDB≌△EDC(SAS).
当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移.
如图,AD是△ABC的中线.
(1)求证:AB+AC>2AD.
(2)若AB=6,AC=4,求AD的取值范围.
15.如图,AD是△ABC的中线,E为AC上一点,AD,BE交于点F,∠BFD=∠DAC,求证:BF=AC.
16.(新考法)如图,在 ABCD中,过点A作AE⊥CD于点E,F是BC的中点,连接AF,EF,求证:AF=EF.(分别作出两种方法的辅助线并选择其中一种进行证明)
模型7 圆中弦或弧的中点
模型分析
如图1,E为弦AB的中点,如图2,C为弧AB的中点.
弦的中点一般利用垂径定理或者构造中位线解题,弧的中点有三种常见的处理方法:①弧的中点与圆心相连,构建垂直关系;②弧的中点与弧所对的弦的端点相连,构建等腰三角形;③弧的中点与圆上的另一点相连,构建内(外)角平分线.
17.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,OD⊥BC于点D,AC=6,则OD的长为 ( )
A.2 B.3 C.3.5 D.4
如图,AB是半圆O的直径,△ABC的两边AC,BC分别交半圆于点D,E,且E为BC的中点,已知∠BAC=50°,则∠C= .
如图,AB是☉O的直径,D是的中点,DC是☉O的弦,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N.(AM
(1)求证:CM=AM=DN.
(2)若☉O的半径为5,CD=7,求的值.
(3)在(2)的条件下,求ON的长.
【参考答案】
1.B 2.B
3.【解析】(1)四边形AEDF是正方形.
证明:∵AB=AC,E,D,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴AE=DE=DF=AF,
∴四边形AEDF是菱形.
∵∠A=90°,
∴四边形AEDF是正方形.
(2)如图,连接AD,EF,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
又∵∠A=120°,BC=4,
∴∠B=30°,BD=2,
∴AD=tan 30°·BD=2,
∴AB=2AD=4,
由题可知,DF是△ABC的中位线,
∴2DF=AB,即DF=2,
∴菱形AEDF周长为8.
由题可知,EF是△ABC的中位线,
∴BC=2EF,即EF=2,
∴菱形AEDF的面积=×2×2=2.
4.2
【解析】
如图,连接EF,AE.∵AF=CF,BE=EC,∴EF∥AB,EF=AB.∵AD=AB,∴AD=EF,∴四边形ADFE是平行四边形,∴DF=AE.∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=BC=2,∴DF=AE=2.
5.【解析】(1)证明:∵AD⊥AB,
∴△ABD为直角三角形.
又∵E是BD的中点,
∴AE=BD=BE,
∴∠B=∠BAE,
∴∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B.
又∵∠C=2∠B,
∴∠AEC=∠C.
(2)证明:∵AD⊥AB,E是BD的中点,
∴BD=2AE.
∵∠AEC=∠C,
∴AE=AC,
∴BD=2AE=2AC.
(3)在Rt△ABD中,AD=8,BD=2AE=2×8.5=17,
∴AB==15,
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=15+8.5+8.5=32.
6.【证明】如图,在BC上取一点E,使AE=AB,则∠B=∠AEB.
又∵AD⊥BC,∴DE=BD.
又∵∠ABC=2∠C,
∴∠AEB=2∠C.
∵∠AEB=∠CAE+∠C,
∴∠CAE=∠C,
∴CE=AE=AB,故CD=CE+DE=AB+BD.
7.【证明】连接PC,PQ(图略),
在△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=BC.
∵AB=BC,BD⊥AC,
∴AD=CD,∠ABD=∠CBD=∠ABC.
∵∠CAF=∠ABC,
∴∠CBP=∠CAQ.
在△BPC和△AQC中,
∴△BPC≌△AQC(SAS),
∴PC=QC,∠BCP=∠ACQ,
∴∠PCQ=∠PCA+∠ACQ=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°,
∴△PCQ是等边三角形.
∵PE⊥CQ,
∴CE=QE.
∵AD=CD,
∴DE=AQ,DE∥AQ.
8.
【解析】 如图,连接AD,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,设BD=x,则AD=x,CD=4-x.在Rt△ACD中,∵AC2+CD2=AD2,即32+(4-x)2=x2,解得x=,∴BD的长为.
9.【证明】
如图,连接DE,
∵G是CE的中点,DG⊥CE,
∴DE=DC.
∵在△ABC中,AD是高,CE是中线,
∴DE=BE=AB,
∴DC=BE.
10.【证明】(1)∵E是AB的中点,GE⊥AB,
∴GE是AB的垂直平分线,
∴GA=GB,
同理,GD=GC.
在△AGD和△BGC中,
∴△AGD≌△BGC(SAS),
∴∠GDA=∠GCB.
(2)∵∠AGD=∠BGC,
∴∠AGB=∠DGC.
∵=,
∴△AGB∽△DGC,
∴=.
∵∠AGE=∠DGF,
∴∠AGD=∠EGF,
∴△AGD∽△EGF,
∴∠GDA=∠GFE.
11.A 12.B
13.
【解析】∵D1是BC的中点,
∴△ABD1的面积=△ABC的面积=.
∵D2是BA的中点,
∴△BD1D2的面积=△ABD1的面积=×=.
同理,△BD2D3的面积=△BD1D2的面积=,…,
则△BDn-1Dn的面积=.
故答案为.
14.【解析】(1)证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,
则△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=BE.
∵在△ABE中,AB+BE>AE,
∴AB+AC>2AD.
(2)∵在△ABE中,AB-BE∴6-4<2AD<6+4,
∴115.【证明】
如图,延长FD至点G,使DG=DF,连接CG,则△CDG≌△BDF(SAS),
∴BF=CG,∠G=∠BFD=∠CAD,
∴AC=CG=BF.
16.【解析】 解法一:如图1,延长AF至点G,使得FG=AF,连接CG.
证明:∵F是BC的中点,
∴BF=CF.
∵AF=FG,∠AFB=∠GFC,
∴△ABF≌△GCF(SAS),
∴∠B=∠BCG.
∵∠B+∠BCD=180°,
∴∠BCG+∠BCD=180°,
∴E,C,G三点共线.
∵AE⊥CD,
∴△AEG为直角三角形.
∵F为AG的中点,
∴AF=EF.
解法二:如图2,延长EF至点H,使EF=HF,连接BH.
证明:∵F是BC的中点,
∴BF=CF.
在△BFH和△CFE中,
∴△BFH≌△CFE(SAS),
∴∠HBF=∠C.
∵∠ABF+∠C=180°,
∴∠ABF+∠HBF=180°,
∴A,B,H三点共线.
∵AE⊥DC,AB∥DC,
∴∠BAE=∠AED=90°,
∴△HAE为直角三角形.
∵F是EH的中点,
∴AF=EF.
17.B 18.65°
19.【解析】(1)证明:如图,连接DA,DB,则DA=DB,∠ADB=90°.连接CA,CB,则∠ACD=∠BCD=45°,
∴CM=AM,可证△DAM≌△BDN,
∴AM=CM=DN,DM=BN.
(2)由(1)可设CM=AM=DN=x,
则DM=CD-CM=7-x,
∴在Rt△ADM中,x2+(7-x)2=(5)2,
解得x1=3或x2=4.
∵AM∴AM=3,BN=DM=4,∴=.
(3)如图,延长NO交BC于点H,连接OC.
∵NC=NB, OC=OB,∴NO垂直平分BC,
∴OH=AC=3.
又∵NH=BN=4,
∴ON=NH-OH=1.