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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 湘教版 册、章 下册第一章
课标要求 1、能进行简单的整式乘法运算（多项式的乘法仅适用于一次式之间和一次式与二次式的乘法） 2、理解乘法公式（a+b）=，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理
内容分析 “整式的乘法”是在七年级上册“整式的加法和减法”的基础上进行的深化，将整式的加减法过渡到整式的乘法，并通过乘法公式进行系统化与公式化，为后续的因式分解方面的知识作好铺垫，从同底数的幂的乘法与幂的乘方、积的乘方，再过渡到单项式的乘法、多项式的乘法、乘法公式等，既是对上册知识的补充，同时也是知识的升华与深化，在实际中应用很广，应着重掌握。
学情分析 初一学生对式的学习有了一定的基础，现在学习整式的乘法，对学生运算能力的要求更高.学生的认知水平有限，往往对自我的学评估不准确，导致在学习上出现“易的不认真学，难的不愿意学”.针对这一情况，在本章的教学中，尽可能地将一些基本知识与学生共同探讨，以此激发学生发现规律的兴趣，从而提高学生的基础知识掌握程度，进而对所学知识进行一些较高层次的应用，让学生愿意学，而且能够学会。
单元目标 教学目标 1．掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘单项式、多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算.
2．会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算.
3．掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
(二)教学重点、难点 教学重点：整式的乘除与乘法公式。 教学难点:乘法公式的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1.1整式的乘法61.2乘法公式3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1整式的乘法1.掌握同底数幂，幂的乘方，积的乘方的法则 2.了解单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则1.会用同底数幂，幂的乘方，积的乘方法则进行幂的计算 2.能运用单项式，多项式的运算法则进行计算 任务1.引入课题. 任务2.探究同底数幂，幂的乘方，积的乘方法则 任务3.探究单项式的乘法法则，多项式的乘法法则 任务4.例题讲解 任务5.知识拓展 1.2乘法公式1.掌握平方差公式和完全平方公式 2.探究公式的几何意义 3.合理运用乘法公式进行计算 1.会利用乘法公式进行计算 2. 明白公式的几何意义 3.会选择合适的公式进行计算 任务1.引入新课 任务2.自主探究乘法公式. 任务3.例题讲解
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第一章 整式的乘法
1.2.1平方差公式
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
1.使学生理解和掌握平方差公式；
2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用；
3.在推导平方差公式的过程中，经历观察、比较、分析、抽象和概括，发展学生的数感、符号意识和运算能力；
4.在探索平方差公式的过程中,感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合、转化的思想。
03
新知导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x＋5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+an
+bm
+bn
02
新知探究
多项式x+y与x-y相乘，其积为多少？
02
新知探究
多项式x+y与x-y相乘，其积为多少？
(x+y)(x-y)=
由此可得到平方差公式:
即多项式x + y与x - y的乘积，等于多项式
探究一
平方差公式的推导
02
新知探究
.
平方差公式
设a，b都是正数，且a >b. 将平方差公式中的 x用a代入，y用b代入
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
03
新知讲解
如图(1)，将边长为 a的大正方形剪去一个边长为 b的小正方形，则剩余部分的面积为.
探究二
平方差公式的几何背景
03
新知讲解
将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图(2)所示的长方形，则这个长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为(a+b)(a-b).由此可得
03
新知讲解
计算：
(1)(2x+1)(2x-1) ； (2)(x+2y)(x-2y).
分析 ：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算.
例1
03
新知讲解
解:(1)将平方差公式中的x用2x代替，y用1代替，可得
(2x+1)(2x-1)=
(2)将平方差公式中的y用2y代替，可得
（x+2y)( x-2y)=
与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？
03
新知讲解
运用平方差公式计算：
解：将平方差公式中的x用-2x代替，y用y代替，可得
=
=
例2
03
新知讲解
运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a).
解:由平方差公式得
(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)
=
=
将括号内的式子转化为平方差公式的形式.
例3
03
新知讲解
计算：1002×998
由于1002 × 998 =(1000+2)×(1000-2）
于是由平方差公式得(1000+2)×(1000 –2)
=
= 1 000 000 - 4
= 999 996.
因此1 002 × 998 = 999 996.
运用平方差公式可以简化一些运算.
例4
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) .
D
A. B.
C. D.
2.下列计算结果为 的是( ) .
B
A. B.
C. D.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.运用平方差公式计算： ________________.
4. ___________ .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 ，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝－16.
∵＞－16，∴李大妈吃亏了．
05
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = －
2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式计算结果正确的是( ) .
C
A.
B.
C.
D.
2.若，则， 的值分别是( ) .
A
A.， B.， C.，5 D. ，5
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.运用平方差公式计算：
（1） ；
解：原式=
（2） ；
解：原式
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(1) 51×49；
(2) 13.2×12.8；
4. 利用平方差公式计算：
解：(1) 原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4－ (4－)
＝4－－4＋＝5－5.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×－5×＝-15.
Thanks!
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分课时教学设计
《1.2.1平方差》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课内容是湘教版七年级数学下册第一章第二节内容《乘法公式—平方差公式》。平方差公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和创造性应用，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳总结，是从一般到特殊的认识过程的范例。平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容。同时，其探究方法也为完全平方公式的探究打下基础。
学习者分析 在有数运算和代数式等知识学习中，学生初步体会了分类、数形结合等基本数学思想的应用；在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些数学活动，会利用多项式乘法计算，本次课时对多项式乘法进行简单计算，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的探索与交流能力。学生对乘法公式并不陌生，多项式，已经接触过，只是没有系统化。
教学目标 1.使学生理解和掌握平方差公式； 2.会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用； 3.在推导平方差公式的过程中，经历观察、比较、分析、抽象和概括，发展学生的数感、符号意识和运算能力； 4.在探索平方差公式的过程中,感悟从具体到抽象的研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合、转化的思想。
教学重点 掌握公式的结构特征及正确运用公式
教学难点 公式推导的理解及字母的广泛含义。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 多项式与多项式是如何相乘的？ 学生活动1： 通过问题情境的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：教师提出问题让学生回顾知识，引起学生的求知欲.环节二：新知探究教师活动2： 说一说 多项式x+y与x-y相乘，其积为多少？ 由此可得到平方差公式: 即多项式x + y与x - y的乘积，等于多项式 设a，b都是正数，且a >b. 将平方差公式中的 x用a代入，y用b代入 . 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 该式的几何背景是： 如图(1)，将边长为 a的大正方形剪去一个边长为 b的小正方形，则剩余部分的面积为. 将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如图(2)所示的长方形，则这个长方形的长为a+b，宽为a-b，于是，面积为(a+b)(a-b).由此可得学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导 教师指导学生解答问题，师生共同讨论、交流，最后归纳活动意图说明：引导学生概括平方差公式，培养学生的概括能力和语言的严谨性．环节三：探究新知教师活动3： 例1、计算： (1)(2x+1)(2x-1) ； (2)(x+2y)(x-2y). 解:(1)将平方差公式中的x用2x代替，y用1代替，可得 (2x+1)(2x-1)= (2)将平方差公式中的y用2y代替，可得 （x+2y)( x-2y)= 例2、运用平方差公式计算： 解：将平方差公式中的x用-2x代替，y用y代替，可得 = = 例3、运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a). 解:由平方差公式得 (4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b) = = 例4、 计算：1002×998 由于1002 × 998 =(1000+2)×(1000-2） 于是由平方差公式得(1000+2)×(1000 –2) = = 1 000 000 - 4 = 999 996. 因此1 002 × 998 = 999 996.学生活动3： 学生自主练习，教师指导活动意图说明：典型例题巩固新知，让学生进一步熟悉平方差公式，强调书写规范，并提出几个注意事项
板书设计 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是( ) . A. B. C. D. 2.下列计算结果为 的是( ) . A. B. C. D. 选做题： 3.运用平方差公式计算： ________________. 4. ___________ . 【综合拓展类作业】 5、王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式计算结果正确的是( ) . A. B. C. D. 2.若，则， 的值分别是( ) . A.， B.， C.，5 D. ，5 选做题 3.运用平方差公式计算： （1） ； （2） ； 4. 利用平方差公式计算： (1) 51×49；(2) 13.2×12.8； 【综合拓展类作业】 5、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2.
教学反思 本节平方差公式的起始课，学生往往感到单调，所以本节课我通过创设情境，引起学生兴趣。通过小组合作交流将问题轻松愉快地解决，学生的积极性也被充分调动起来，营造了良好的课堂氛围，还培养了学生的协作能力。但在一些个别问题的处理上，我有些急于求成，不能大胆地放手给学生；题目形式的设计过于单一，各环节的衔接不够紧凑，今后教学中我会注意这些问题并及时改进。
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