选择必修第二册 第五章 5.1.1 变化率问题（第2课时） 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1导数的概念及其意义
5.1.1变化率问题（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解平均变化率的概念,掌握平均变化率解法的一般步骤． 1.特殊到一般的数学素养和逻辑推理素养.
2.通过求抛物线在某点切线斜率的全过程，体会求切线斜率的一般方法． 2.特殊到一般的数学抽象素养.
温故知新
1.跳台跳水运动员的速度.
平均速度：
瞬时速度
．
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
v(t0)=.
温故知新
2.什么叫直线与圆相切？
思考：对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？
如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
.
F
下面以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
新知探究
问题2 抛物线的切线的斜率
你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线？
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1，1)处的切线，我们通常在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.
如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1，1)时，割线P0P有什么变化趋势
x
y
O
f(x)＝x2
1
1
2
2
3
4
P0
知新探究
我们发现，当点P________________，割线P0P_____________________位置.这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．
T
无限趋近于点P0时
无限趋近于一个确定的
知新探究
从上述切线的定义可见，抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．
记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2).
我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1，1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？
于是割线P0P 的斜率
Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0.
.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格(表5.1-2).
知新探究
表5.1-2
x<0 x>0 x . x .
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.0001 1.9999 0.0001 2.0001
-0.00001 1.99999 0.00001 2.00001
-0.000001 1.999999 0.000001 2.000001
…… …… 知新探究
事实上，由 x+1.可以发现，当 x无限趋近于0时， x+2无限趋近于2.
我们发现，当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k都无限趋近于2.
我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记为2.
利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当 x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？
从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |无限变小时， 点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T .这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0.
因此，切线P0T 的斜率k0=2.
知新探究
设P(x0，x02)，Q(x0+Δx，(x0+Δx)2).
拓展：你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线 并求其切线的斜率.
抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处切线的斜率为
.
.
解：
当Δx→0时，PQ所在直线为抛物线f(x)=x2在点(x0，x02)处的切线.
∴ 抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处切线的斜率为2x0.
知新探究
平均速度的几何意义：曲线过两点(1，h(1))，(1+Δt，h(1+Δt)) 的割线的斜率.
瞬时速度 v(1) 的几何意义：曲线在点(1，h(1)) 处的切线的斜率.
观察问题1中的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的
图象(如图)，平均速度
的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？
t
h
1
O

(1, h(1))

(1+ t, h(1+ t))
知新探究
【例1】已知函数y=f(x)=,求抛物线在x=1和x=4处的切线斜率.
解：
k1=.
∴抛物线在x=1处的切线斜率k=.
∴抛物线在x=4处的切线斜率k=.
抛物线在x=1处的割线斜率
抛物线在x=4处的割线斜率
k4=.
知新探究
求抛物线在某点处的切线方程的步骤：
求抛物线y＝f(x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可．
初试身手
∵，
1.求抛物线y=2x2+4x在点(3,30)处的切线方程.
.
解：
∴.
∴k=16.
∴求抛物线y=2x2+4x在点(3,30)处的切线方程为
y-30=16(x-3),即16x-y-18=0.
课堂小结
基础知识：
基本技能：
一是极限思想，经历用割线斜率“逼近”切线斜率的过程，并由此体会 极限思想；
二是从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，这是研究数学的基本策略.
数学思想：
割线及其斜率
切线及其斜率
抛物线在某点处的切线是过该点的 割线的极限位置；
切线的斜率是割线斜率的极限.
作业布置
作业： P64 练习 第1，2题
P70 习题5.1 第7题.
补充：
1.求抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率．
2.求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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