河南省新乡市第一中学2024-2025学年高一上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

河南省新乡市第一中学 2024-2025 学年高一上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ≥ 2024，使得 2 > 4048”的否定形式为( )
A. < 2024， 2 ≤ 4048 B. ≥ 2024， 2 < 4048
C. < 2024， 2 ≤ 4048 D. ≥ 2024， 2 ≤ 4048
2.设全集 = { ∈ | < 8}，集合 = {1,3,6}， = {3,5,7}，则 ( ∪ )的子集个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
3.使不等式4 2 4 3 < 0成立的一个充分不必要条件是( )
1 1 3 1 4 3 5
A. 1 < < B. < < C. < < D. < <
2 2 2 3 3 2 2
4.某校举行中学生田径运动会(田径运动会分田赛和径赛两大类)，高一(2)班48名学生中有一半的学生没有
参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有12人，参加径赛的有18人，则田赛和径赛都参加的学生人数
为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.若关于 的不等式2 > 0的解集是{ | > 2}，则关于 的不等式( + )( 2) > 0的解集是( )
A. { | < 4或 > 2} B. { | < 2或 > 2}
C. { | 4 < < 2} D. { | 2 < < 2}
6.已知集合 = { | = 2 , ∈ }， = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = 4 + 1, ∈ }，且 ∈ ， ∈ ，
则( )
A. + ∈ B. + ∈
C. + ∈ D. + 不属于 ， ， 中的任意一个
7.南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条
边长分别为 、 、 ，则面积 可由公式 = √ ( )( )( )求得，其中 为三角形周长的一半，这
个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足 = 4， + = 6，则此三角形面积的最大
值为( )
A. √ 5 B. 2√ 5 C. √ 10 D. 2√ 10
8.若关于 的不等式(4 ) 2 4 + 1 < 0的解集中恰有3个整数，则 的取值范围是( )
20 14 20 14 25 49 25 49
A. < ≤ B. ≤ < C. < ≤ D. ≤ <
9 3 9 3 9 16 9 16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组中 ， 表示不同集合的是( )
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A. = {4, 3}， = {(4, 3)}
B. = {(3,2)}， = {(2,3)}
C. = { | = 2 + 1, ∈ }， = { | = 2 1, ∈ }
D. = { | = 2, ≥ 2}， = {( , )| = 2， ≥ 2}
10.已知 ， ， ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
A. 若 > ， > ，则 >
+ +
B. 若 > 0， > 0，则 <


C. 若 < < 0，则 <

1 1
D. 若 > ， > ，则 > 0， < 0


11.已知正实数 ， ， 满足( )2 + 2 2 = 0，当 取得最小值时，下列说法正确的是( )
2
A. = 3 B. = 9 2
3 4
C. + 3 2 的最大值为 D. + 3 2 的最大值为
2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若4 ∈ {2, + 1, 2 5}，则 = ______．
13.已知命题 ： ∈ { | 1 ≤ ≤ 2}， 2 + 2 ≥ 5 ，命题 ： ∈ { | 2 ≤ ≤ 1}，使得 + 1 > 0成
立，若 是真命题， 是假命题，则 的取值范围为______．
14.用 ( )表示非空集合 中的元素的个数，定义 = | ( ) ( )|，若 = { | 2 8 7 = 0}， =
{ |(3 2 + )( 2 + + 6) = 0}，若 = 1，则 的所有可能取值构成集合 ，则 ( ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 > 0， > 0，且 + 2 = 4．
(1)求 的最大值；
(2)求 2 + 2 2的最小值．
16.(本小题15分)
已知全集 = ，集合 = { ||2 1| ≤ 7}， = { |2 1 ≤ ≤ 4 2}．
(1)若 = 2，求 ∩ 和 ∪ ( )；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
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17.(本小题15分)
已知命题 ： ∈ ，使得 2 2 + 5 4 ≥ 0．
(1)若 是真命题，求 的取值范围；
(2)记(1)中 的取值范围为集合 ，关于 的不等式 2 ( + 2) + 2 ≤ 0的解集为集合 ，若“ ∈ ”是
“ ∈ ”的必要不充分条件，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心 (0 < < 18)厘米处安装
臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到
干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与 2成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与1350 2
成反比，比例系数为 ，且当 = 10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06．
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和 关于 的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时 的值．
19.(本小题17分)
已知函数 = 2 + + 3．
(1)若关于 的不等式 2 + + 3 > 0的解集是{ | 1 < < 4}.求实数 ， 的值；
(2)若 > 0， = 2 1， 1， 2是关于 的
2 + + 3 = 0的根，求( 1 + 1)( 2 + 1)的最小值；
(3)若 = 3，解关于 的不等式 2 + + 3 ≤ 0．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
2
13.【答案】{ | 1 ≤ ≤ }
5
14.【答案】5
15.【答案】解：(1) > 0， > 0， + 2 = 4 ≥ 2√ 2 ，得 ≤ 2，
当 = 2 ，即 = 2， = 1时，等号成立，
所以 的最大值为2；
(2) 2 + 2 2 = (4 2 )2 + 2 2 = 6 2 16 + 16，
4 16
= 6( )2 + ，
3 3
4 4 16
根据二次函数的性质可知，当 = ， = 时， 2 + 2 2取得最小值 ．
3 3 3
16.【答案】解：(1) = { ||2 1| ≤ 7} = { | 3 ≤ ≤ 4}，
当 = 2时， = { |3 ≤ ≤ 6}， = { | < 3或 > 6}，
所以 ∩ = { |3 ≤ ≤ 4}，
∪ ( ) = { | ≤ 4或 > 6}；
(2)由 ∪ = ，则 ，
1
当 = 时，2 1 > 4 2，得 < ，
2
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2 1 ≤ 4 2
1 3
当 ≠ 时，{2 1 ≥ 3 ，解得： ≤ ≤ ，
2 2
4 2 ≤ 4
3
所以 的取值范围是{ | ≤ }.
2
17.【答案】解：(1) ： ∈ ，使得 2 2 + 5 4 ≥ 0为真命题，
由 = 4 2 4(5 4) ≤ 0可得1 ≤ ≤ 4．
所以 的取值范围为[1,4]；
(2)由题意： ， = [1,4]，
由 2 ( + 2) + 2 ≤ 0 ( 2)( ) ≤ 0．
若 < 2，则 = [ , 2]，由 是 的真子集，得1 ≤ < 2；
若 = 2，则 = {2}，此时 是 的真子集；
若 > 2，则 = [2, ]，由 是 的真子集，得2 < ≤ 4．
综上， 的取值范围为[1,4]．
18.【答案】解：(1)已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与 2成反比，比例系数为2，
对右脚的干扰度与1350 2成反比，比例系数为 ，且当 = 10时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06，
2
则 = 2 + ，0 < < 18， 1350 2
2
因为 = 10时， = 0.06，所以 + = 0.06 = 50，
100 1350 100
2 50
所以臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和 关于 的表达式为 = + ，0 < < 18；
2 1350 2
(2)因为0 < < 18，所以1350 2 > 0，
2 50 1 2 50
所以 = 2 + = [
2 + (1350 2)]( + )
1350 2 1350 2 1350 2
1 2(1350 2) 50 2 1 √ 2(1350
2) 50 2 1 4
= [2 + 50 + 2 + 2] ≥ [52 + 2 2 2] = (52 + 20) = ， 1350 1350 1350 1350 1350 75
2(1350 2) 50 2
当且仅当
2
= ，即 = 15时取“=”，
1350 2
4
所以当 = 15时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为 ．
75
19.【答案】解：(1)根据不等式 2 + + 3 > 0的解集是{ | 1 < < 4}知，
方程 2 + + 3 = 0的两根为 1，4，且 < 0，
+3
1 × 4 =
所以{ ，

1 + 4 =

解得 = 1， = 3；
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2+1 +3
(2)由根与系数的关系知， 1 + 2 = = ， 1 2 = ，
2+1 +3 2+4 4
所以( 1 + 1)( 2 + 1) = 1 + 2 + 1 2 + 1 = + + 1 = = + ．
4 4
因为 > 0，所以 + ≥ 2√ = 4，(当且仅当 = 2时取“=”)．

当 = 2时，方程为2 2 5 + 1 = 0，因为 = 25 4 × 2 × 1 > 0，所以方程有两个根．
所以( 1 + 1)( 2 + 1)的最小值为4．
(3)当 = 3时，不等式为： 2 + 3 + 3 ≤ 0．
若 = 0，则不等式可化为：3 + 3 ≤ 0，解得 ≤ 1；
若 ≠ 0，则不等式可化为：[ ( 3)]( + 1) ≤ 0．
3 3 3
当 < 0时，( )( + 1) ≥ 0，因为 > 0，所以不等式的解为 ≤ 1或 ≥ ．

3
当 > 0时，不等式可化为：( )( + 1) ≤ 0．

3 3 3
由 < 1，解得0 < < ，此时原不等式的解为： ≤ ≤ 1；
2
3 3
由 = 1，解得 = ，此时原不等式的解为： = 1；
2
3 3 3
由 > 1，解得 > ，此时原不等式的解为： 1 ≤ ≤ ．
2
3
综上， < 0时，不等式的解集{ | ≤ 1或 ≥ }；

= 0时，不等式的解集{ | ≤ 1}；
3 3
0 < < 时，不等式的解集为{ | ≤ ≤ 1}；
2
3
= 时，不等式的解集为{ 1}；
2
3 3
> 时，不等式的解集为{ | 1 ≤ ≤ }.
2
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