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九年级上学期期末测试卷
考试范围：九上、九下全册
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 宿迁期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、中，未知数的次数是1，不符合题意；
、是一元二次方程，符合题意；
、中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、中，含有分式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选．
2．（2023秋 射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【解析】点在外，
．
故选．
3．（2023秋 沭阳县期末）在学校举办的合唱比赛中，八（3）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分分别为92分，80分，70分，若最终成绩由这三项得分依次按照，，的百分比确定，则八（3）班的最终成绩是
A．80.6分 B．81.8分 C．84.7分 D．96.8分
【答案】
【解析】八（3）班的最终成绩是（分，
故选．
4．（2023秋 邗江区校级期末）下列四条线段中，能成为成比例线段的是
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】
【解析】、，所以选项不符合题意；
、，所以选项符合题意；
、，所以选项不符合题意；
、，所以选项不符合题意；
故选．
5．（2023秋 广陵区期末）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大
A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定
【答案】
【解析】因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，
所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，
遇到黄灯的可能性最小．
故选．
6．（2023秋 新吴区期末）关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】关于的一元二次方程无实数根，
△，
解得．
故选．
7．（2023秋 南京期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③方程有两个不相等的实数根；
④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】
【解析】由图象得：，与轴相交于点和，
抛物线的对称轴为直线，即，
，
故①是正确的；
由图象得：当，，即，
故②是错误的；
，
在轴的上方，的图象与有两个交点，
故③是正确的；
根据平移得：的图象向左平移1个单位得的图象，
的图象与轴的交点为，，，
不等式的解集是．
故④是正确的；
故选．
8．（2024 邗江区二模）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
定值，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 常州期末）某班选10名学生参加电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数如下表：
录入汉字个 132 133 134 135 136 137
参赛学生人 0 1 4 1 2 2
则参赛学生比赛成绩的众数是 134 个．
【答案】134．
【解析】由题意可知，此次比赛成绩的众数是134个；
故答案为：134．
10．（2023秋 苏州期末）如图，中，，，，则的值为 ．
【答案】．
【解析】，，，
，
，
故答案为：．
11．（2023秋 玄武区期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为 ．
【答案】．
【解析】两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为，
它们对应边上的中线之比为．
故答案为：．
12．（2023秋 溧阳市期末）在期末体育体能考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有20人，合格的有18人，则这次体育考核中不合格人数的频率为 0.05 ．
【答案】0.05．
【解析】不合格人数为（人，
这次体育考核中不合格人数的频率为．
故答案为：0.05．
13．（2023秋 广陵区校级期末）已知点，，，都在函数的图象上，且，则 （填“”或“” ．
【答案】．
【解析】解；中，，
二次函数开口向下，对称轴为轴，
离对称轴越远函数值越小，
点，，，都在函数的图象上，且，
，
故答案为：．
14．（2023秋 阜宁县期末）如图，是的弦，半径，垂足为，设的半径为4，，则的长为 ．
【答案】．
【解析】的半径为4，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（2023秋 沭阳县期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”， ，，垂足为点，那么的长度为 ．
【答案】．
【解析】作的中线，
是“精准三角形”，
，
，
，
是中点，
，
令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（2023秋 江阴市期末）如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为 （结果保留根号）．
【答案】．
【解析】过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
铁塔的高度为，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 常州期末）（1）解方程：；
（2）计算：．
【解析】（1），
，
或，
，；
（2）原式
．
18．（2023秋 南京期末）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下：
甲：5，6，7，6，6；
乙：3，6，6，7，8；
（1）根据所给数据填写下表：
平均数 中位数 众数
甲 6 6 6
乙 6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
【解析】（1）甲射靶的成绩为：5，6，6，6，7，
乙射靶的成绩为：3，6，6，7，8，
甲的中位数为：6，
乙的平均数为：，众数为：6，
故答案为：6，6，6；
（2），
，
因为，
所以乙的成绩波动大．
19．（2023秋 阜宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第三象限内画出与位似的△，使它与的相似比为；
（2）直接写出△的面积为 8 ．
【解析】（1）如图，△为所作；
（2）△的面积为：．
故答案为：8．
20．（2023秋 沭阳县期末）一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
（1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
【解析】（1）第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出球上的数字的积为奇数的结果有4种，
两次摸出球上的数字的积为奇数的概率为．
21．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：．
【解析】证明：（1），
又，
，
，
；
（2），
，
又，
．
22．（2023秋 海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【解析】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，，，，
，，，
，，
，，
，
，，
阴影部分的面积为：．
23．（2023秋 海陵区期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，且经过点．
（1）求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
（2）若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值．
【解析】（1）二次函数的图象与轴交于点，且经过点．
，
解得，
，
顶点；
（2）根据题意，得平移后的抛物线关系式为：，
将代入得，
，，
，
．
24．（2023秋 南京期末）如图，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点．
（1）求证；
（2）若，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
交的延长线于点，于点，
，
．
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
的长是．
25．（2023秋 广陵区期末）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
【解析】（1）由题意得，销售量，
则
；
（2）．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3），对称轴左侧随的增大而增大，
故当时，有最大值，此时．
26．（2023秋 射阳县期末）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，圆交于点，连接并延长交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【解析】（1）证明：在和中，
，
，
，
与相切，
，
，
即，
是的半径，
的切线；
（2）解：在中，，，，
，
与相切，是的切线，
，
，
，
，
设的半径为，则，
解得．
的半径为3．
27．（2023秋 宿迁期末）如图（1），已知点是抛物线的顶点，矩形中，顶点、在该抛物线上（其中点在第一象限），顶点、在轴上，连接线段、、，、交于点．
（1）若点坐标为，则点、、坐标分别为 ， 、 ， 、 ， （可用含的代数式表示）．
（2）如图（1），①求证：；
②连接．求证：．
（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题：
①如图（1），抛物线中字母、满足什么条件才能使．并说明理由；
②如图（2），抛物线中字母、、满足什么条件才能使．请直接写出结论．
【解析】（1）点坐标为，四边形是矩形，
点横坐标是，
点在该抛物线上，
，
点与点关于轴对称，
，
抛物线的对称轴为轴，
顶点，
故答案为：，，，，0，1；
（2）①，，，
，，，
，
是直角三角形，
；
②，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①，
，，，
，，，
；
，
，
，
；
②设，
，
设，则，，
，，，
；
，
，
，
，
，
．
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九年级上学期期末测试卷
考试范围：九上、九下全册
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 宿迁期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是
A． B． C． D．
2．（2023秋 射阳县期末）的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件
A． B． C． D．无法确定
3．（2023秋 沭阳县期末）在学校举办的合唱比赛中，八（3）班的演唱质量、精神风貌、配合默契得分分别为92分，80分，70分，若最终成绩由这三项得分依次按照，，的百分比确定，则八（3）班的最终成绩是
A．80.6分 B．81.8分 C．84.7分 D．96.8分
4．（2023秋 邗江区校级期末）下列四条线段中，能成为成比例线段的是
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．（2023秋 广陵区期末）某路口红绿灯的时间设置如下：绿灯60秒，红灯40秒，黄灯3秒，当车随机经过该路口，遇到哪一种灯的可能性最大
A．绿灯 B．红灯 C．黄灯 D．不能确定
6．（2023秋 新吴区期末）关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2023秋 南京期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③方程有两个不相等的实数根；
④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2024 邗江区二模）如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 常州期末）某班选10名学生参加电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数如下表：
录入汉字个 132 133 134 135 136 137
参赛学生人 0 1 4 1 2 2
则参赛学生比赛成绩的众数是 个．
10．（2023秋 苏州期末）如图，中，，，，则的值为 ．
11．（2023秋 玄武区期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为 ．
12．（2023秋 溧阳市期末）在期末体育体能考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，某班有40名学生，达到优秀的有20人，合格的有18人，则这次体育考核中不合格人数的频率为 ．
13．（2023秋 广陵区校级期末）已知点，，，都在函数的图象上，且，则 （填“”或“” ．
14．（2023秋 阜宁县期末）如图，是的弦，半径，垂足为，设的半径为4，，则的长为 ．
15．（2023秋 沭阳县期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，是“精准三角形”， ，，垂足为点，那么的长度为 ．
16．（2023秋 江阴市期末）如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为 （结果保留根号）．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 常州期末）（1）解方程：；
（2）计算：．
18．（2023秋 南京期末）甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如下：
甲：5，6，7，6，6；
乙：3，6，6，7，8；
（1）根据所给数据填写下表：
平均数 中位数 众数
甲 6 6
乙 6
（2）利用方差判断这5次射靶是甲的成绩波动大还是乙的成绩波动大．
19．（2023秋 阜宁县期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在第三象限内画出与位似的△，使它与的相似比为；
（2）直接写出△的面积为 ．
20．（2023秋 沭阳县期末）一个不透明的口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．
（1）求第一次摸出一个球，球上的数字是偶数的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法的一种，求两次摸出球上的数字的积为奇数的概率．
21．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：．
22．（2023秋 海安市期末）如图，是的直径，是弦，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
23．（2023秋 海陵区期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，且经过点．
（1）求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
（2）若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值．
24．（2023秋 南京期末）如图，在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点．
（1）求证；
（2）若，，求的长．
25．（2023秋 广陵区期末）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．
26．（2023秋 射阳县期末）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，圆交于点，连接并延长交的延长线于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
27．（2023秋 宿迁期末）如图（1），已知点是抛物线的顶点，矩形中，顶点、在该抛物线上（其中点在第一象限），顶点、在轴上，连接线段、、，、交于点．
（1）若点坐标为，则点、、坐标分别为 ， 、 ， 、 ， （可用含的代数式表示）．
（2）如图（1），①求证：；
②连接．求证：．
（3）解决完以上问题后，小明不禁自问：是不是只有抛物线才有（2）中的结论呢？善于思考的小明将作一般化处理，为研究方便，不妨设，请解决小明提出的如下两个问题：
①如图（1），抛物线中字母、满足什么条件才能使．并说明理由；
②如图（2），抛物线中字母、、满足什么条件才能使．请直接写出结论．
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