四川省绵阳市绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

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绵阳中学高2022级高三上期第三学月月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（）
A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4已知，则（）
A. B. C. D.
5. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6. 已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为. 则该正四棱锥体积值是（）
A. B. C. D.
7. 函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列函数中最小值为4是（）
A. B.
C. D.
10. 已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（）
参考公式：，
A. 当时，
B. 当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
C. ，时，成对样本数据相关系数满足
D. ，时，成对样本数据的线性回归方程满足
11. 对任意，，函数，都满足，则（）
A B.
C. 的极小值点为 D. 是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则为______.
13. 已知正实数满足，则______.
14. 在中，若，，三点分别在边，，上（均不在端点上），则，，的外接圆交于一点O，称为密克点.在梯形ABCD中，，，M为CD的中点，动点P在BC边上（不包含端点），与的外接圆交于点Q（异于点P），则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，，
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，证明：.
16. 已知函数，在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
17. 已知函数，
（1）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，试求；
（2）证明；
（3）设是的根，则证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线.
18. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，.
（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
（2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值.
19. 已知有限集，若，则称为“完全集”.
（1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
（2）若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于；
（3）若为“完全集”，且，求.
绵阳中学高2022级高三上期第三学月月考
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.
【答案】BCD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】##
14.
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，
由题意得：，所以，
所以（舍）或，代入原方程后可得，
于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为.
【小问2详解】
由题可得，
由于时，，
则（当且仅当时取等号），
所以，
则（当且仅当时取等号）.
所以.
16.
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解，
（2）根据余弦定理可得，，即可代入得，利用二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由可得，
由得，故或，
解得或，，
结合为锐角，故
【小问2详解】
，
由于为锐角三角形，由余弦定理可得，即，
故，
令，则对称轴为，
故当时，取最小值，，
故
17.
【解析】
【分析】（1）由，得，再利用换元法求；
（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；
（3）取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，证明直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率即可.
【小问1详解】
因为的图象与的图象关于直线对称，所以.
又因为，
所以，
令，则，
所以，
因此.
【小问2详解】
证明：
解法1：当时，且，此时；
当时，且，此时，
故综上.
解法2：，令，在上恒成立，
故在上单调递增，即在上单调递增，
因此当时，；当；
因此在上单调递减，在上单调递增，
故.
【小问3详解】
证明：不妨取曲线上的一点，设在处的切线即是在处的切线，
则，得，则的坐标，
由于，所以，
则有，
综上可知，直线的斜率等于在处的切线斜率和在处的切线斜率，
所以直线AB既是曲线在点处的切线也是曲线的切线.
18.
【小问1详解】
在底面中，因为是底面直径，所以，
又，故≌，
所以.
因为是圆柱的母线，所以面，所以，
,
因此；
【小问2详解】
以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以≌，
故，
所以，，
因此，，
因为，所以，
则
设平面和平面的法向量分别为，
则有:，，
取，
设平面与平面的夹角为，则
所以有：，
整理得，（无解，舍），
由于k为正整数，解得.
19.
【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可；
（2）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
（3）设，得到，分类讨论求解即可.
小问1详解】
由，
，
所以，
故集合是“完全集”.
【小问2详解】
由题设，令，
则，是方程的两个不同的正实数根，
所以或（舍），即，
又，，若，都不大于2，则，矛盾，
所以，至少有一个大于2.
【小问3详解】
不妨令，则，
所以，
当，即，故，显然无解，不满足；
当，即，只能有，，，
故存在一个“完全集”；
当，，
即，
又，
且，
此时，显然有矛盾，
所以时不存在“完全集”；
综上，.
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