四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

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绵阳南山中学高2024级高一上期12月月考
数学试题
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟
2.答题前，考生将自己的姓名 准考证号填写在答题卡指定位置上.
3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写：
4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试题卷上答题无效.
一 单项选题：本大题供8小题，每小题5分，共40分.在每）小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知命题，，则是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 函数的定义域是（）
A. B. C. D.
4. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程的一个近似根（精确度0.04）为（）
A. 1.5 B. 1.25 C. 1.375 D.
5. 设m，n为实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数的图象大致为（）
A. B.
C D.
7. 已知，若，则（）
A. 1 B. C. 2 D.
8. 已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知正实数满足，下列结论中正确的是（）
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是3 D. 的最小值为
10. 给出下列结论，其中不正确的结论是（）
A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与图象关于直线对称
D. 已知定义在上奇函数在内有110个零点，则函数的零点个数为221
11. 已知函数，则（）
A. 是上的减函数
B. 不等式的解集为
C. 若是奇函数，则
D. 的图象关于点对称
三 填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. __________.
13. 幂函数在上单调递增，则的图像过定点__________．
14. 设函数，若函数零点为4，则使得成立的整数的个数为______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）若，，求；
（2）若，，求正数取值范围．
16. 已知（，且），且．
（1）求a的值及的定义域；
（2）求在上的最小值．
17. 已知函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
18. 学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟，）的函数关系式，要求如下：
（i）函数的图象接近图示；
（ii）每天锻炼时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天锻炼时间为9分钟时，当天得分为6分；
（iiii）每天得分最多不超过12分.
现有以下三个函数模型供选择：
①；②；③.
（1）请根据函数图像性质，结合题设条件，从中选择一个最合适的函数模型并求出解析式；
（2）若学校要求每天的得分不少于9分，求每天至少锻炼多少分钟？
（参考值：）
19. “函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
（ⅰ）证明：函数的图像关于点对称；
（ⅱ）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
绵阳南山中学高2024级高一上期12月月考
数学试题
一 单项选题：本大题供8小题，每小题5分，共40分.在每）小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】B
8.
【答案】C
二 多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全对得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】AB
11.
【答案】ABC
三 填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.
【答案】##
13.【答案】
14.【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）
（2）．
16.
【小问1详解】
，即，则，
由题意得，∴，的定义域为：.
【小问2详解】
，
令，则，
的对称轴：，
∴在上单调递增，在上单调递减；
∵，∴在单调递减，
由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，
∴.
17.
【解析】
【分析】（1）由求解的值，再检验即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明即可；
（3）将问题转化为，利用换元法及基本不等式求解即可.
【小问1详解】
由函数为奇函数，其定义域为，
所以，
即，解得，此时，
满足，
即为奇函数，
故的值为.
【小问2详解】
解：在R上单调递减，证明如下：
由（1）知，
，且，
则，
因为，所以，，，
所以，，
即函数在上单调递减；
【小问3详解】
由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，则.
所以实数的取值范围为
18.
【小问1详解】
模型①，由图象过点，
得，解得， ，在原点附近增长速度先快后慢，不符合；
模型②为爆炸增长型函数，不符合，
故选模型③.
由题知，，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
令，得，解得，
所以，若每天的得分不少于9分，至少每天要锻炼29.25分钟.
19.
【分析】（1）由函数的图像关于点对称，可得；
（2）（ⅰ）证明即可；（ⅱ）由在的值域为，设在上的值域为A，问题转化为，先求解，分类讨论轴与区间的关系，研究二次函数的值域即可.
【小问1详解】
因为函数的图像关于点对称，
则，
令，可得．
【小问2详解】
（ⅰ）证明：由，
得，
所以函数的图像关于对称．
（ⅱ），
则在上单调递增，
所以的值域为，
设在上的值域为A，
对任意，总存在，使得成立，
则，
当时，，
函数图象开口向上，对称轴为，且，
当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，，
所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
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