重庆一中2024-2025学年九年级上学期12月数学试题卷（含答案）

重庆一中初2025届24-25学年九年级上期12月数学测试题
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 的相反数是（）
A. B. C. 7 D.
2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）
A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯
C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗
3. 二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 将沿方向平移至，点，，对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
5. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 估计的值应在（）
A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间
7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（ ）
A. 42 B. 52 C. 46 D. 58
8. 如图，是的直径，、、为的弦，，，则（）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 给定三个互不相等代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于，，作“绝佳操作”，得到．下列说法：
①对2，，5作“绝佳操作”的结果是18；
②对，，作“绝佳操作”的结果一共有8种；
③对，，作“绝佳操作”的结果为28，则的值为或；
其中正确个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_________．
12. 正八边形每个外角的度数为_____．
13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________．
14. 若二次函数过点，则代数式________．
15. 如图，已知半径为4的扇形AOB的圆心角为120°，C、D分别为半径OB、OA的中点，M为AB上一点，连接MC、MD，满足MC=MD，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）．
16. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________．
17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，则_______，的值是________．
18. 一个四位数各数位上数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则________；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为________．
三、解答知：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 化简：
（1）
（2）
20. 在学行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．
（1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．
证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中，
∴．∴ ② ．又∵，∴，
∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ．
21. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E．
（1）求证：直线为切线；
（2）连接，若的半径为5，，求线段的长．
22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．
（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？
（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值．
23. 如图1．在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为．
（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）函数与函数只有一个交点，请直接写出的取值范围．
24. 如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，）
（1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标；
（3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
26. 在中，，为线段上一点，连接．
（1）如图1，若，，过作于，交于，，求线段的长；
（2）如图2，过点作交延长线于点，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，过点作，交的延长线于点，．猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，，过作于，作的角平分线交于，取的中点，连接．点为直线上的动点，连接，将沿着所在直线翻折至所在平面得到，连接，取中点，连接．将绕着点顺时针旋转至直线上方处，使得．当取得最小值时，连接，，，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的值．
答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. B．
2. C．
3. A．
4. C．
5. D．
6. D．
7. B．
8. C．
9. A．
10. B．
二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_________．
【答案】##0.5
12. 正八边形每个外角的度数为_____．
【答案】
13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________．
【答案】
14. 若二次函数过点，则代数式________．
【答案】2025
15. 如图，已知半径为4的扇形AOB的圆心角为120°，C、D分别为半径OB、OA的中点，M为AB上一点，连接MC、MD，满足MC=MD，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）．
【答案】##
16. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________．
【答案】2
17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，则_______，的值是________．
【答案】 ①. ②.
18. 一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则________；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为________．
【答案】 ①. ②.
三、解答知：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
；
（2）解：
．
20. 在学行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形．
（1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．
解：（1）如图所示，就是所求作的经过点B垂直于于Q，交于P的直线，
（2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形
证明：∵四边形是正方形，
∴，，．
又∵，分别为，的中点，
∴，，
∴，
在与中，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵
∴四边形是平行四边形．
进一步思考：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，．
在与中，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
21. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E．
（1）求证：直线为的切线；
（2）连接，若的半径为5，，求线段的长．
（1）证明：连接交于H，
，
，
平分交于点，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线为的切线；
（2）解：连接交于H，如图，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
22 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．
（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？
（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值．
（1）解：设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴的值为2．
23. 如图1．在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为．
（1）请直接写出关于函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
（3）函数与函数只有一个交点，请直接写出的取值范围．
（1）解：当时，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，如图，，，
，
同理可得：，
∴，
∴；
综上所述，
（2）解：当时，；当时，；当时，，
画出函数图象如下：
，
观察图象可得，当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小；的最大值为；
（3）解：如图：
，
当直线经过时，，
解得：；
当直线经过时，，
解得：；
当直线经过时，，
解得：；
观察图象可得，函数与函数只有一个交点，或，
∴的取值范围为或．
24. 如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，）
（1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）；
（2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？
（1）解：过点P作于A，于B，如图，
根据题意，得，，，，
在中，∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
答：驿站，驿站之间的距离约为．
（2）能，理由如下
解：∵，
∴，
∵，
∴派送员能在内到达驿站．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标；
（3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
（1）解：对于直线，
令，则，解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴抛物线的表达式．
（2）解：延长交y轴于D，
对于直线，
令，则，
∴，
∵
∴
∵轴，即，
∴
∴，即，
∴，
设，则，
∴，
∴
∵
∴当时， 的最大值为4；
∴．
（3）解：联立，，
解得：，，
∴，
由（2）知，在的最大值的条件下，抛物线的顶点为点，对称为直线，
当时，则，
∴，
则，，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，
∴点Q平移后与点A重合，
∵，，
∴抛物线沿射线方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，
∴抛物线顶点平移后到点，点平移后到点，即与重合，
∴，抛物线平移后的解析式为，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点M在直线上方时，
∵，
∴，
∴点M与点重合，
∴，
当点M在直线下方时，设，
过点作，交于，交轴于，则，，
则，
∴，则，
∵，
∴，
∴，则，
∴，整理得：，
即：，解得：（舍去），
此时，，
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
26. 在中，，为线段上一点，连接．
（1）如图1，若，，过作于，交于，，求线段的长；
（2）如图2，过点作交延长线于点，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，过点作，交的延长线于点，．猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，，过作于，作的角平分线交于，取的中点，连接．点为直线上的动点，连接，将沿着所在直线翻折至所在平面得到，连接，取中点，连接．将绕着点顺时针旋转至直线上方处，使得．当取得最小值时，连接，，，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的值．
（1）解：，。
．
．
，
．
．
又，
．
．
．
．
．
（2）解：过点C作于I，
∵，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴．
∴点G、C、F、B在以为直径的圆上．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
（3）解：∵，，
∴是等边三角形．
∵，
∴．
∵N是中点，
∴．
由折叠知，
∵P是的中点，
∴当与C重合时，点P与点N重合，取得最小值，是．
①当时，设中点为T，连接．
∵平分，点P在上，
∴由对称性知，点R在的平分线上．
∴垂直平分．
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②过B作，交延长线于S，连接，
则．
∴．
∴B在过C、D、S三点的圆上．
∴．
∴．
∴是等边三角形．
当D与点B重合时，T与Q重合，点R在上，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
即．
延长交于L，
则，
∴．
∴．
设的边长为2，
则．
∴．
∵，N是中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
故值为：或．