2023-2024学年河南省中州联盟高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省中州联盟高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点是椭圆上任意一点，，分别是的左、右焦点，则( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
3.过点且与直线平行的直线方程是( )
A. B. C. D.
4.函数在上的最大值是( )
A. B. C. D.
5.已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则“”是“点到平面的距离为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若数列满足且，，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆：关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线：与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则的离心率可以是( )
A. B. C. D.
12.如图，在棱长均为的平行六面体中，平面，，，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 当时，直线与直线所成角的大小为
D. 当时，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度单位：与时间单位：存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为______．
14.已知函数，则 ______．
15.已知点是抛物线：上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是______．
16.已知数列的前项和为，且，，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为等差数列的前项和，且，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求函数的极值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，点是的中点，点，分别是线段，上的点，且．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知数列满足，且．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在上的值域；
讨论函数的单调性．
22.本小题分
若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线已知椭圆的共轭双曲线为．
求双曲线的标准方程；
已知点，直线不过点与相交于，两点，且，求点到直线的距离的最大值．
参考答案
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17.解：设的公差为，由，，
得解得
所以的通项公式为；
由，，得，
所以，，所以数列是首项和公差均为的等差数列，
所以．
18.解：函数的定义域为，，
所以，
又，
故在点处的切线方程为，即．
令，则，
解得，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
19.解：证明：因为平面，，平面，且四边形是矩形，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，因为，，且．
所以，
所以．
因为，
所以，即．
由得．
设是平面的一个法向量，则，，
则，
令，得，，所以．
因为，，，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20.解：数列满足，
当时，，
可得，
当时，，也满足上式，
所以．
．
由可知，
则，
可得，
两式相减得，
所以．
21.解：当时，，定义域为，
则，
当时，，，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，
所以当，，，
又因为，因为，
此时，，
故在上的值域为．
，，
当时，，，
当，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，令，得或，
当时，时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，
当时，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，，
所以在区间单调递减；
当时，
当时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
综上所述：当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，区间单调递减；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增．
22.解：设双曲线的标准方程为，
因为椭圆的共轭双曲线为，
所以，，
所以双曲线的标准方程为；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时且，
解得且，
由韦达定理得，，
，
易知，，
因为，
所以
，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线恒过点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
此时直线恒过点，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
此时，，
因为，
所以，
解得或，
直线不经过点，
所以，
则直线恒过点．
故当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为．
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