2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市等十校联盟高二（上）学情调研数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市、镇江市、徐州市等十校联盟高二（上）学情调研数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线过点、，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
3.直线与直线平行，则( )
A. B. C. 或 D.
4.已知圆的圆心在轴上且经过，两点，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在上位于第一象限，且点，关于原点对称，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线：，下列说法正确的是( )
A. 若，则是圆，其半径为
B. 若，，则是两条直线
C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D. 若时，则是双曲线
10.记等差数列的前项和为，数列的前项和为已知当且仅当时，取得最大值，则( )
A. 若，则当且仅当时，取得最大值
B. 若，则当且仅当时，取得最大值
C. 若，则当或时，取得最大值
D. 若，，则当或时，取得最大值
11.已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于、两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上存在点使得
C. 直线的方程为 D. 的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等比数列的前项和，若，，则 ______．
13.已知圆：，试写出一个半径为，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：______．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是首项为，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
16.本小题分
已知，，点在直线：上．
若点的横坐标为，求的面积；
若的周长最小，求点的坐标及的周长．
17.本小题分
已知圆：，圆：，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
求的方程；
过的直线与交于，两点且，求直线的方程．
18.本小题分
已知圆：，直线：，点在直线上．
求的取值范围；
过点引圆的两条切线、，切点为、．
求四边形面积的最小值；
设中点为，是否存在定点使得为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如果一条双曲线的实轴以及虚轴分别是另一条双曲线的虚轴及实轴，则称两条双曲线共轭在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，设双曲线的共轭双曲线为．
求双曲线的标准方程；
若双曲线的切线与以及两条渐近线自上而下依次交于点，，，，求证：
为定值；
．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.或写其中一个即可
14.
15.解：设数列的公比为，
依题意，，
即，
解得或舍去或舍去，
所以．
由知，
，
．
．
16.解：将代入中，解得，即，
由，，知，
所以直线的方程为，即，
所以到的距离为，
而，
所以．
设点关于直线的对称点为，
由题意得，，解得，即，
而的周长，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
此时的周长取得最小值，
由，，知，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，即，
此时的周长为．
17.解：设动圆的半径为，根据题意，，
所以，
又因为，故的轨迹为椭圆，
所以，，，
所以的轨迹方程为．
根据题意知直线的斜率存在且不为，设为，
联立，得，
设，，则，，
根据，得，
所以，，消去得，
解得，所以直线的方程为．
18.解：因为点在直线上，直线的方程为，
设，
易知圆的圆心，半径为，
所以
，
则的取值范围为；
因为，为圆的两条切线，
所以，，
因为，
所以四边形的面积，
因为圆心到直线的距离为，
所以当时，四边形的面积取得最小值，最小值为；
由得，，，四点共圆，且以为直径，
因为，，
所以该圆方程为，
因为，在圆和上，
两式作差得，
所以直线的方程为，
即，
所以直线过定点，
因为，
所以点在以为直径的圆上，
取的中点为．
则．

19.解：因为双曲线的离心率为，
所以，
解得
所以双曲线的方程为，
则双曲线的方程为；
证明：当切线斜率不存在时，
设切线方程为，
将代入双曲线方程中，
解得，
所以；
当切线斜率存在时，
设切线方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
即，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以
，
又点到直线的距离，
所以；
证明：由知，当切线斜率不存在时，易证，
当切线斜率存在时，
此时，
解得，
即，
联立，
解得，，
即，
所以线段的中点坐标为，
即为的中点，
所以，
由知，，
所以线段的中点为，
即．
故AE．

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