广东省深圳市盐田高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（含答案）

广东省深圳市盐田高级中学 2024-2025 学年高二上学期第二次月考数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点( 2,1,4)关于 轴对称的点坐标是( )
A. (2,1, 4) B. ( 2,1, 4) C. ( 2, 1, 4) D. (2, 1,4)
2.已知正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为1，且 = ， = ， ′ = ，则(4 + 2 ) (2 3 +
) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1
3.平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点，设 = , = , 1 = ，用 , , 表示 ，
则( )
1 1
A. = + B. = +
2 2
C.
1 1 1
= + + D. = + +
2 2 2
4.若平面 ， 的法向量分别为 = (2, 1,0)， = ( 1, 2,0)，则 与 的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定
5.已知 1 = ( 1,9,1)， 2 = ( , 3,2)， 3 = (0,2,1)，若{ 1 , 2 , 3 }不能构成空间的一个基底，则 =( )
A. 3 B. 1 C. 5 D. 7
6.已知 = (1 , 1,0)， = (2, , )，则| |的最小值是( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. √ 5
7.四棱锥 ，底面是平行四边形， = (2, 1,3)， = ( 2,1,0)， = (3, 1,4)，则这个四棱锥
的底面积为( )
3√ 5 5
A. B. 3√ 5 C. D. 5
2 2
8.已知直线 1， 2的斜率分别为 1， 2，倾斜角分别为 1， 2，则“cos( 1 2) > 0”是“ 1 2 > 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,1,0), = (0,1,1), = (1,2,1)，则下列结论正确的是( )
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A. 向量 与向量 的夹角为
6
B. ⊥ ( )
C. 向量 在向量
1 1
上的投影向量为(0, , )
2 2
D. 向量 与向量 , 共面
10.如图，直线 1， 2， 3的斜率分别为 1， 2， 3，倾斜角分别为 1， 2， 3，
则下列选项一定正确的是( )
A. 1 < 3 < 2
B. 3 < 2 < 1
C. 1 < 2 < 3
D. 3 < 2 < 1
11.以下命题正确的是( )
A. 若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 // 的充要条件是 = 0
2 1 2
B. 已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
5 5 5
3
C. 已知 = ( 1,1,2)， = (0,2,3)，若 + 与2 垂直，则 =
4
D. 已知△ 的顶点坐标分别为 ( 1,1,2)， (4,1,4)， (3, 2,2)，则 边上的高 的长为√ 13
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间中的单位向量 , , ，其两两夹角均为60°，则| + 2 | = ______．
13.如图，在平行四边形 中， = = 1，∠ = 90°，沿着它的对角线 将△ 折起，当二面
角 的大小是60°时，则 、 的两点间距离为______．
14.下列说法正确的是______．
①直线 = 2 + 4( ∈ )恒过定点(2, 4)；

②若直线 ：√ 3 + + 5 = 0的倾斜角为 ，则实数 的值为 1；
3
③已知直线 过点 (2,4)，且在 ， 轴上截距相等，则直线 的方程为 + 6 = 0或 = 2 ；
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④设过原点的直线 的倾斜角为 ，如果将 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线 1的倾斜角是 + 45°
或 135°．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，点 是棱 上的动点．
(1)求证： 1 ⊥ 1；
1
(2)当 = 时，求直线 1与平面 1成角的大小． 2
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系中有 (0,3)， (3,3)， (2,0)．
(1)求直线 的一般方程；
(2)在三角形 中，求 边的高线方程；
(3)若直线 = 将△ 面积两等分，求 的值．
17.(本小题15分)
已知三棱柱 1 1 1的所有棱长都为2，∠ 1 = 60°，且平面 1 1 ⊥平面 ，点 ， 又分别是 ，
1 1的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
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18.(本小题17分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，∠ = 90°， = = 1 = 1， ， ， 分别是
棱 ， ， 1上的动点，且 = = 1G.
(1)求证： 1 ⊥ 1 ；
1
(2)若平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值为 ，求 ． 3
19.(本小题17分)

如图，平行六面体 1 1 1 1的所有棱长均为2，底面 为正方形，∠ 1 = ∠ 1 = ，点 为3
1的中点，点 为 1的中点，动点 在平面 内．
(1)若 中点为 ，求证： 1 ⊥平面 ；
(2)若 //平面 1 ，求线段 长度的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 5
13.【答案】√ 2
14.【答案】②③④
15.【答案】解：(1)证明：如图所示，连接 1，
因为 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，即 ⊥ 1，
又因为四边形 1 1为正方形，所以 1 ⊥ 1，
因为 ∩ 1 = ， 1， 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，
因为 1 平面 1，所以 1 ⊥ 1．
(2)以 为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示：
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1 1
因为 = ，则 (1, , 0)， (0,0,0)， 1(1,0,1)， (0,1,0)， 1(0,0,1)， 2 2
所以 = (1,0,1),
1
1 = (1, , 0), 2 1
= (0, 1,1)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 = 0
则{ , { 2 ，取 = 1，得 = = 2，所以 = (1,2,2)，
1 = 0 + = 0

设直线 1与平面 1成角为 ， ∈ [0, ]， 2
1+2 √ 2
所以 = |cos 1 , | = | | = ，即 = ， √ 2×3 2 4

所以直线 1与平面 1成角的大小为 ． 4
16.【答案】解：(1)因为 (0,3)， (2,0)．
可知直线 在 轴和 轴的截距分别为2和3，

所以直线的截距式方程 + = 1，
2 3
化简得3 + 2 6 = 0；
(2)因为 (0,3)， (3,3)，由它们的纵坐标相同，可得直线 的斜率 = 0，
根据垂直关系可得，边 上的高线，斜率不存在，
由于高线过点 (2,0)，
所以边 上的高线方程为 = 2；
(3)设直线 = 与边 ， 分别交于点 ， ，
点 (2,0)在 轴上， // 轴，所以 到 的距离为 = 3，
1 1 9
所以 △ = × | | × = × 3 × 3 = ， 2 2 2
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因为直线 = 将△ 面积两等分，
1 9
所以 △ = △ = ， 2 4
3
又直线 的方程为 + = 1，而点 在边 上，故可设 ( , 3 )，
2 3 2
3 3
所以| | = 3 (3 ) = > 0，
2 2
1 3 9
所以 △ = = ， 2 2 4
可得 = √ 3．
17.【答案】解：(1)证明：设 1 1的中点为 ，连接 ， ，
又 ， 又分别是 ， 1 1的中点，
∴易得 // 1 1， // 1 ，且 ∩ = ，
∴平面 //平面 1 1，又 面 ，
∴ //平面 1 1；
(2)取 中点 ，连接 1 ， ，
△ 为等腰三角形，∴ ⊥ ，
∵面 1 1 ⊥面 ，面 1 1 ∩面 = ，
∴ ⊥面 1 1，∴ ⊥ 1 ，
在△ 1 ，∠ 1 = 60°， 1 = 2， = 1，易得 ⊥ 1 ，
以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴，建系如图：
则 1 √ 3 1(0,0,√ 3), (1,0,0), (0,√ 3, 0), ( 1,0,0), ( , , 0), ( 1,0,√ 3)， 2 2
∵ = = 1 1 1，∴ 1( 1,√ 3, √ 3)，
∴
1 √ 3
1 = ( 1,0,0), 1 = ( , , √ 3), 2 2 1 1 = ( 1,√ 3, 0)
，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
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1 = = 0
∴ { 1 √ 3 ，取 = (0,2,1)，
1 = + √ 3 = 02 2
2√ 3 2√ 15
∴点 1到平面 1 的距离为 = |
1 1 | = | | = ．
| | √ 5 5
18.【答案】解：(1)证明：因为 1 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又∠ = 90°，
故 B 1 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， 1， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
因为 = = 1 = 1， = = 1 ，
设 = = 1 = ，0 ≤ ≤ 1，
所以 1(1,1,0)， (0,0, )， 1(0,1,1)， (0,1 , 0)，
则 1 = (0,0, ) (1,1,0) = ( 1, 1, )，
1 = (0,1 , 0) (0,1,1) = (0, , 1)，
则 1 1 = ( 1, 1, ) (0, , 1) = = 0，
故 A 1 ⊥ 1 ；
(2)因为 (1 , 0,0)，则 = (0,1 , 0) (1 , 0,0) = ( 1,1 , 0)，
则 1 = ( 1, 1, ) ( 1,1 , 0) = 1 + 1 = 0，
则 1 ⊥ ，又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，
故 1 = ( 1, 1, )为平面 1的一个法向量，
又平面 1 1 的法向量为 = (0,0,1)，
| | |( 1, 1, ) (0,0,1)| | |
则平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值为|cos < 1 , > | =
1 = = ，
| 1 || | √ 2+1+1 √ 2+2
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1
又平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值为 ， 3
| | 1
所以 = ，
√ 2+2 3
1
解得 = ，
2
1
即 = ．
2
19.【答案】解：(1)证明：连接 ， 1， 1 ，

因为 1 = = 2,∠ 1 = ， 3
1 = 2，同理 1 = 2，
因为 是正方形对角线 中点，
所以 1 ⊥ ，且 = 2√ 2，
所以 = = √ 2，
所以 21 + 1
2 = 2，故△ 1为等腰直角三角形，
所以 1 = √ 2，
所以 2 + 21 =
2
1，
所以 ⊥ 1，
因为 ∩ = ， 面 ， 面 ，
所以 1 ⊥面 ；
(2)取 中点 ，连接 ， ， ，
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易得 // ， = ，
故四边形 是平行四边形，
所以 // ，又 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，同理 // 1// 1 ，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，且 ∩ = ， ， 面 ，
故平面 //平面 1 ，
则点 必在 上，且当 ⊥ 时取得 的最小长度，
因为 = √ 2 + 2 = √ 5，
1 1
由等面积法得： | | × | | = | | × | |，
2 2
解得 2√ 5| | = ，
5
故 C 的最小长度为2√ 5．
5
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