第12章全等三角形解答题优生辅导训练（共24页，含解析）2024-2025学年人教版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 第12章全等三角形解答题优生辅导训练（共24页，含解析）2024-2025学年人教版数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 458.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-19 09:14:00 | ||
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文档简介
人教版八年级数学上册《第12章全等三角形》
解答题优生辅导训练
1．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
求证：AE＝BD．
2．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
3．如图，∠DCE＝90°，CD＝CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．求证：AD+AB＝BE．
4．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD 与BE相交于点O，AD与CE交于点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求∠BOD的度数．
（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．
5．如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF＝AC，在CE的延长线取一点G，使CG＝AB．试说明：①AF＝AG；②AG⊥AF．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
7．如图在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：
（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．
8．如图，AB＝AD，CB⊥AB，CD⊥AD，E、F分别是BC、DC的中点．求证：AE＝AF．
9．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
10．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
11．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．
12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA＝DE．
当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB＝AE；
当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，已知AD是△ABC的高，且BD＝AD，点E在AC上，连接BE交AD于点F，且FD＝CD．判断线段BF、AC的数量关系和位置关系，并说明理由．
14．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．
（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来 ；
（2）求证：BD与EF互相平分于G；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
15．如图，△ABC中，D是BC的中点，F是AC边上一点，点G在FD延长线上，且DG＝DF，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG∥AC
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
16．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，点E、F分别在AB、AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点．求证：DG⊥EF．
17．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
18．如图，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD＝45°，BE与DC交于点H，∠ABE＝∠CBE．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）小明说：BH的长是AE的2倍，你认为正确吗？请说明理由．
19．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB＝8，AC＝14，求NC的长．
20．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBF＝∠ABF；
（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；
（3）求证：AE＝CF．
21．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
22．某学习小组学习了全等三角形的判定和性质以后，想运用全等三角形的知识去研究下面的问题：
【问题提出】如图1，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，且CM＝FN，试证明△ABC≌△DEF．
【问题思考】如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的中线，且CM＝FN，试探究∠B与∠E的关系，请写出你的结论： （不要求证明）
【深入研究】小组同学进一步探究，若把问题2变为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的高，且CM＝FN，试探究∠B＝∠E的关系，请写出你的结论： （不要求证明）．
参考答案
1．证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴EC＝CD，AC＝CB，
∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
2．解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD
（写出其中的三对即可）．
（2）以△ADB≌△ADC为例证明．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．
3．证明：∵∠ECB+∠DCA＝90°，∠DCA+∠D＝90°，
∴∠ECB＝∠D，
在△ECB和△CDA中，
，
∴△ECB≌△CDA（AAS），
∴BC＝AD，BE＝AC，
∴AD+AB＝AB+BC＝AC＝BE．
4．解：（1）△BCE≌△ACD
理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝∠BAC＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°．
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝120°；
（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD．
∵∠BCA＝∠ECD＝60°
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCA．
在△BGC和△AFC中，
，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC＝FC．
∵∠GCF＝60°，
∴△GFC是等边三角形．
5．解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABF+∠BAD＝90°∠GCA+∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠GCA，
在△ABF和△GCA中，
∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF＝AG．
②∵△ABF≌△GCA，
∴∠GAC＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF＝∠ADF，
∵∠ADF＝90°，
∴∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF．
6．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
7．答案不唯一，如：
解：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．
求证：∠B＝∠D．
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．
∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．
∵在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB
∴∠B＝∠D．
8．证明：连接AC
∵CB⊥AB，CD⊥AD
∴∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴BC＝DC，
∵点E、F分别是BC、CD的中点
∴BE＝BC，DF＝CD
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
9．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠CBF+∠C＝90°，∠BFC＝∠AFE＝90°，BF＝AF，
∴∠CAD＝∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
10．（1）①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
11．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝AD．
在△BDC与△ADC中，
，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCB＝∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠DCB＝∠DCA＝45°．
由∠BDM＝∠ABD+∠BAD＝30°+30°＝60°，
∠EDC＝∠DAC+∠DCA＝15°+45°＝60°，
∴∠BDM＝∠EDC，
∴DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD．
又∵∠EMC＝180°﹣∠DMC＝180°﹣60°＝120°，
∠ADC＝180°﹣∠MDC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EMC＝∠ADC．
又∵CE＝CA，
∴∠DAC＝∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME＝AD＝BD．
12．解；如图②中，结论：BD+AE＝AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝60°，
∴AE＝BM，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB＝∠C+∠EDM，
∴∠DAB＝∠EDM，
∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，
∴∠ABD＝∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB＝EM＝CM，
∴DB+AE＝CM+BM＝BC＝AB．
如图③中，结论：BD﹣AE＝AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝∠MEC＝60°，
∴AE＝BM，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠C+∠ADC＝∠MEC+∠DEM，
∴∠ADB＝∠DEM，
∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，
∴∠ABD＝∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DME，
∴DB＝EM＝CM，
∴DB﹣AE＝CM﹣BM＝BC＝AB．
13．解：AC＝BE，AC⊥BE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠FDB＝90°，
在△ADC与△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴AC＝BF，∠DCA＝∠DFB，
∵∠DFB+∠DBF＝90°，
∴∠DCA+∠DBF＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴AC⊥BE．
14．解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．
（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED＝BF．
由∠AFB＝∠CED＝90°得DE∥BF，
∴∠EDG＝∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED＝BF，
△DEG≌△BFG，
∴EG＝FG，DG＝BG，
所以BD与EF互相平分于G；
（3）第（2）题中的结论成立，
理由：∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴BF＝ED．
∵∠BFG＝∠DEG＝90°，
∴BF∥ED，
∴∠FBG＝∠EDG，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG＝GE，BG＝GD，
即第（2）题中的结论仍然成立．
15．证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDG和△CDF，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴∠GBD＝∠C，BG＝CF，
∴BG∥AC；
（2）∵△BDG≌△CDF，
∴DG＝DF，
∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
显然有：BE+BG＞EG，
∵△BDG≌△CDF，
∴BG＝CF，
于是：BE+CF＞EF．
16．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF．
17．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20（m）．
18．解：（1）∵BE是△ABC的高，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
在△BAE与△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（ASA），
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）小明说的正确．理由：
∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠BDH＝∠CDA＝90°，∠BHD＝∠CHE，
∴∠DBH＝∠DCA，
在△BDH与△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA（ASA），
∴BH＝AC，
∵BE⊥AC，AB＝CB，
∴AC＝2AE，
∴BH＝2AE，
∴小明说的正确．
19．解：
（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2．
∵CE∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∴∠E＝∠3．
∴AC＝AE．
∵F为EC的中点，
∴AF⊥EC，
∵AD∥EC，
∴∠AFE＝∠FAD＝90°．
∴AF⊥AD．
（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3＝∠C，∠F＝∠4
∵M为BC的中点
∴BM＝CM．
在△BFM和△CNM中，
，
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF＝CN，
∵MN∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5．
∴∠E＝∠5＝∠F．
∴AE＝AN，BE＝BF．
设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝14﹣x，BE＝AB+AE＝8+14﹣x．
∴8+14﹣x＝x．
解得 x＝11．
∴CN＝11．
20．（1）证明：∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFC，
∴∠ADF＝∠BFC，
在Rt△CBF和Rt△ABD中，
∴Rt△CBF～Rt△ABD，
∴∠CBF＝∠ABF．
（2）解：设BC＝x，
∵AB﹣BC＝4，
∴AB＝x+4，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8，
∴（x+4）2﹣x2＝64，
整理，可得
8x+16＝64，
解得x＝6，
∴BC的长是6．
（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，
∵∠CBF＝∠ABF，
∴FG＝CF，
∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠FAG＝∠ADE，
∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE，
∴∠AFG＝∠DAE，
在Rt△AFG和Rt△DAE中，
∴Rt△AFG≌Rt△DAE，
∴AE＝FG，
∵FG＝CF，
∴AE＝CF．
21．证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
22．解：（1）∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，
∴∠ACM＝∠ACB，∠DFN＝∠DFE，
∴∠ACM＝∠DFN，
在△ACM和△DFN中，
，
∴△ACM≌△DFN（AAS），
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
（2）如图，
延长CM至P，使得CM＝MP，连接BP，延长FN至Q，使得FN＝NQ，连接EQ，
得出△ACM≌△BPM，△DFN≌△EQN，
进步得出△ABC≌△DEF，
∠B＝∠E．
（3）如图，
类比（2）方法得出∠B＝∠E，
如图，
∠B+∠E＝180°．
解答题优生辅导训练
1．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
求证：AE＝BD．
2．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD＝AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．
3．如图，∠DCE＝90°，CD＝CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．求证：AD+AB＝BE．
4．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD 与BE相交于点O，AD与CE交于点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求∠BOD的度数．
（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．
5．如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF＝AC，在CE的延长线取一点G，使CG＝AB．试说明：①AF＝AG；②AG⊥AF．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
7．如图在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面四个论断：
（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程．
8．如图，AB＝AD，CB⊥AB，CD⊥AD，E、F分别是BC、DC的中点．求证：AE＝AF．
9．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
10．在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D是AC边上的动点，连接BD，E、F分别是AB、BC上的点，且DE⊥DF．（1）如图1，若D为AC边上的中点．
①填空：∠C＝ ，∠DBC＝ ；
②求证：△BDE≌△CDF．
（2）如图2，D从点C出发，以每秒1个单位的速度向终点A运动，过点B作BP∥AC，且PB＝AC＝4，点E在PD上，设点D运动的时间为t秒（0≤t≤4）在点D运动的过程中，图中能否出现全等三角形？若能，请直接写出t的值以及所对应的全等三角形的对数，若不能，请说明理由．
11．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．
12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA＝DE．
当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB＝AE；
当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
13．如图，已知AD是△ABC的高，且BD＝AD，点E在AC上，连接BE交AD于点F，且FD＝CD．判断线段BF、AC的数量关系和位置关系，并说明理由．
14．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．
（1）图①中有 对全等三角形，并把它们写出来 ；
（2）求证：BD与EF互相平分于G；
（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．
15．如图，△ABC中，D是BC的中点，F是AC边上一点，点G在FD延长线上，且DG＝DF，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证：BG∥AC
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
16．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，点E、F分别在AB、AC上，BD＝CF，CD＝BE，G为EF的中点．求证：DG⊥EF．
17．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
18．如图，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD＝45°，BE与DC交于点H，∠ABE＝∠CBE．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）小明说：BH的长是AE的2倍，你认为正确吗？请说明理由．
19．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF，求证：AF⊥AD；
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，交BA的延长线于E，若AB＝8，AC＝14，求NC的长．
20．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBF＝∠ABF；
（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；
（3）求证：AE＝CF．
21．问题背景：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
22．某学习小组学习了全等三角形的判定和性质以后，想运用全等三角形的知识去研究下面的问题：
【问题提出】如图1，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，且CM＝FN，试证明△ABC≌△DEF．
【问题思考】如图2，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的中线，且CM＝FN，试探究∠B与∠E的关系，请写出你的结论： （不要求证明）
【深入研究】小组同学进一步探究，若把问题2变为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的高，且CM＝FN，试探究∠B＝∠E的关系，请写出你的结论： （不要求证明）．
参考答案
1．证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴EC＝CD，AC＝CB，
∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
2．解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD
（写出其中的三对即可）．
（2）以△ADB≌△ADC为例证明．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．
3．证明：∵∠ECB+∠DCA＝90°，∠DCA+∠D＝90°，
∴∠ECB＝∠D，
在△ECB和△CDA中，
，
∴△ECB≌△CDA（AAS），
∴BC＝AD，BE＝AC，
∴AD+AB＝AB+BC＝AC＝BE．
4．解：（1）△BCE≌△ACD
理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝∠BAC＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°．
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝120°；
（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD．
∵∠BCA＝∠ECD＝60°
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCA．
在△BGC和△AFC中，
，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC＝FC．
∵∠GCF＝60°，
∴△GFC是等边三角形．
5．解：①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABF+∠BAD＝90°∠GCA+∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝∠GCA，
在△ABF和△GCA中，
∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF＝AG．
②∵△ABF≌△GCA，
∴∠GAC＝∠AFB，
∵∠AFB＝∠ADB+∠FAD，∠GAC＝∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF＝∠ADF，
∵∠ADF＝90°，
∴∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF．
6．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）解：EG与DF的位置关系是EG垂直DF，
理由为：连接EG，
∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，
∴∠GDF＝∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，
∴GE垂直DF．
7．答案不唯一，如：
解：已知：如图，在△AFD和△CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．
求证：∠B＝∠D．
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．
∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．
∵在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB
∴∠B＝∠D．
8．证明：连接AC
∵CB⊥AB，CD⊥AD
∴∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴BC＝DC，
∵点E、F分别是BC、CD的中点
∴BE＝BC，DF＝CD
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
9．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠CBF+∠C＝90°，∠BFC＝∠AFE＝90°，BF＝AF，
∴∠CAD＝∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
10．（1）①解：∵在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90度，D为AC边上的中点，
∴∠C＝45°，∠DBC＝45°；
故答案为：45°；45°；
②证明：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，
故BD⊥AC，
∵ED⊥DF，
∴∠BDE＝∠FDC，
∴∠C＝∠DBC＝45°，
∴BD＝DC，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：如图①所示：当t＝0时，△PBE≌△CAE一对；
如图②所示：当t＝2时，△AED≌△BFD，△ABD≌△CBD，△BED≌△CFD共3对；
如图③所示：当t＝4时，△PBA≌△CAB一对．
11．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵∠CAD＝∠CBD＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝AD．
在△BDC与△ADC中，
，
∴△BDC≌△ADC（SAS），
∴∠DCB＝∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠DCB＝∠DCA＝45°．
由∠BDM＝∠ABD+∠BAD＝30°+30°＝60°，
∠EDC＝∠DAC+∠DCA＝15°+45°＝60°，
∴∠BDM＝∠EDC，
∴DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD．
又∵∠EMC＝180°﹣∠DMC＝180°﹣60°＝120°，
∠ADC＝180°﹣∠MDC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EMC＝∠ADC．
又∵CE＝CA，
∴∠DAC＝∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME＝AD＝BD．
12．解；如图②中，结论：BD+AE＝AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝60°，
∴AE＝BM，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB＝∠C+∠EDM，
∴∠DAB＝∠EDM，
∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，
∴∠ABD＝∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB＝EM＝CM，
∴DB+AE＝CM+BM＝BC＝AB．
如图③中，结论：BD﹣AE＝AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∴∠CEM＝∠CAB＝60°，∠CME＝∠CBA＝60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE＝CM＝EM，∠EMC＝∠MEC＝60°，
∴AE＝BM，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠C+∠ADC＝∠MEC+∠DEM，
∴∠ADB＝∠DEM，
∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，∠EMD＝180°﹣∠EMC＝120°，
∴∠ABD＝∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DME，
∴DB＝EM＝CM，
∴DB﹣AE＝CM﹣BM＝BC＝AB．
13．解：AC＝BE，AC⊥BE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠CDA＝∠FDB＝90°，
在△ADC与△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（SAS），
∴AC＝BF，∠DCA＝∠DFB，
∵∠DFB+∠DBF＝90°，
∴∠DCA+∠DBF＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴AC⊥BE．
14．解：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．
（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴ED＝BF．
由∠AFB＝∠CED＝90°得DE∥BF，
∴∠EDG＝∠GBF，
∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED＝BF，
△DEG≌△BFG，
∴EG＝FG，DG＝BG，
所以BD与EF互相平分于G；
（3）第（2）题中的结论成立，
理由：∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），
∴BF＝ED．
∵∠BFG＝∠DEG＝90°，
∴BF∥ED，
∴∠FBG＝∠EDG，
∴△BFG≌△DEG，
∴FG＝GE，BG＝GD，
即第（2）题中的结论仍然成立．
15．证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDG和△CDF，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴∠GBD＝∠C，BG＝CF，
∴BG∥AC；
（2）∵△BDG≌△CDF，
∴DG＝DF，
∵DE⊥DF，
∴EG＝EF，
显然有：BE+BG＞EG，
∵△BDG≌△CDF，
∴BG＝CF，
于是：BE+CF＞EF．
16．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，
∵G是EF的中点，
∴DG⊥EF．
17．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD＝AB＝20（m）．
18．解：（1）∵BE是△ABC的高，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
在△BAE与△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（ASA），
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）小明说的正确．理由：
∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴BD＝DC，
∵∠BDH＝∠CDA＝90°，∠BHD＝∠CHE，
∴∠DBH＝∠DCA，
在△BDH与△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA（ASA），
∴BH＝AC，
∵BE⊥AC，AB＝CB，
∴AC＝2AE，
∴BH＝2AE，
∴小明说的正确．
19．解：
（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2．
∵CE∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∴∠E＝∠3．
∴AC＝AE．
∵F为EC的中点，
∴AF⊥EC，
∵AD∥EC，
∴∠AFE＝∠FAD＝90°．
∴AF⊥AD．
（2）解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3＝∠C，∠F＝∠4
∵M为BC的中点
∴BM＝CM．
在△BFM和△CNM中，
，
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF＝CN，
∵MN∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠4＝∠5．
∴∠E＝∠5＝∠F．
∴AE＝AN，BE＝BF．
设CN＝x，则BF＝x，AE＝AN＝AC﹣CN＝14﹣x，BE＝AB+AE＝8+14﹣x．
∴8+14﹣x＝x．
解得 x＝11．
∴CN＝11．
20．（1）证明：∵AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFC，
∴∠ADF＝∠BFC，
在Rt△CBF和Rt△ABD中，
∴Rt△CBF～Rt△ABD，
∴∠CBF＝∠ABF．
（2）解：设BC＝x，
∵AB﹣BC＝4，
∴AB＝x+4，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8，
∴（x+4）2﹣x2＝64，
整理，可得
8x+16＝64，
解得x＝6，
∴BC的长是6．
（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，
∵∠CBF＝∠ABF，
∴FG＝CF，
∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠FAG＝∠ADE，
∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE，
∴∠AFG＝∠DAE，
在Rt△AFG和Rt△DAE中，
∴Rt△AFG≌Rt△DAE，
∴AE＝FG，
∵FG＝CF，
∴AE＝CF．
21．证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
22．解：（1）∵在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，
∴∠ACM＝∠ACB，∠DFN＝∠DFE，
∴∠ACM＝∠DFN，
在△ACM和△DFN中，
，
∴△ACM≌△DFN（AAS），
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
（2）如图，
延长CM至P，使得CM＝MP，连接BP，延长FN至Q，使得FN＝NQ，连接EQ，
得出△ACM≌△BPM，△DFN≌△EQN，
进步得出△ABC≌△DEF，
∠B＝∠E．
（3）如图，
类比（2）方法得出∠B＝∠E，
如图，
∠B+∠E＝180°．