单元训练卷 高中数学卷（A）
第一单元 集合与常用逻辑用语
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．集合和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，．若，则实数的值是（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2
5．设集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．命题：“若，则”的逆否命题是
A．若，则
B．若，则
C．若且，则
D．若或，则
9．设有下面四个命题
，是的必要不充分条件；，；
函数有两个零点；，．
其中真命题是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
11．下面四个命题：
：命题“，”的否定是“，”；
：向量，，则是的充分且必要条件；
：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；
：若“”是假命题，则是假命题．
其中为真命题的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．给出下列四个命题：
①命题“若，则”的逆否命题为假命题；
②命题，．则，使；
③“”是“函数为偶函数”的充要条件；
④命题：“，使”；命题：“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知全集为，集合，，则__________．
14．已知，，且，则实数的范围是___________．
15．命题“存在，使”是假命题，则的取值范围是_______．
16．已知，，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分）已知集合，．
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围．
18．(12分）已知集合，，，全集为实数集．
（1）求和；
（2）如果，求的取值范围．
19．(12分）设全集是实数集，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
20．(12分）已知命题且，命题，恒成立．
（1）若命题为真命题，求的取值范围；
（2）若为假命题且为真命题，求的取值范围．
21．(12分）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22．(12分）已知命题，．
（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
单元训练卷 高中数学卷答案（A）
第一单元 集合与常用逻辑用语
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】，集合就是由全体大于的数构成的集合，显然，
故，故选D．
2．【答案】A
【解析】，，，，故选A．
3．【答案】B
【解析】，而，中的元素在中，
所以，故选B．
4．【答案】C
【解析】当时，，满足；
当时，，满足；所以或，
所以实数的值是0或2，故选C．
5．【答案】D
【解析】因为，所以，故选D．
6．【答案】C
【解析】，，
，，
，故选C．
7．【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意可知集合表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素．故选B．
8．【答案】D
【解析】“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若或，则”；
故选D．
9．【答案】D
【解析】对于命题，举例子即可得出结论，可令，，此时无法得到，，令即可得，故正确；：根据图像必有一个负根，另外还有2，4也是方程的根，故错误；：的最大值为接近于1，而的最小值接近于1，故正确．
故选D．
10．【答案】D
【解析】由，解得，因此“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
11．【答案】B
【解析】对于：命题“，”的否定是“，”，所以是假命题；
对于：等价于即，所以向量，，则是的充分且必要条件，所以是真命题；
对于：在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；
对于：若“”是假命题，则或是假命题，所以命题是假命题．
故答案为B．
12．【答案】B
【解析】①命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题；
②命题，．则，使；
③“”是“函数为偶函数”的充要条件；
④因为命题“，使”为假命题；命题：“若，则”，为假命题，所以为假命题．综上②③正确，选B．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】，，，
则．
14．【答案】
【解析】由题意，当时，，所以实数的范围是．
15．【答案】
【解析】由题意得命题“存在，使”的否定为“任意，使”且为真命题，即在上恒成立，∴，
解得．∴的取值范围是．
16．【答案】
【解析】求解绝对值不等式可得，
求解二次不等式可得，
若是的充分不必要条件，则，求解关于的不等式组可得，
结合可得实数的取值范围是．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意得，
．
（2），，∴，解得．
∴实数的取值范围为．
18．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，，
所以；所以．
（2）当时满足．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），当时，，
则．
（2），由得，
则当时，满足，则成立，
则当时，，满足，则成立，
当时，，则可得，即，综上．
20．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1），解得．
（2）若命题：且，解得．
为假命题且为真命题，，必然一真一假．
当真假时，，解得，
当假真时，，解得．
的取值范围是或．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，由，
可得，由为真，即为，均为真命题，
可得的取值范围是．
（2）若是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，
由题意可得，，
由，可得且，解得．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，命题：，即命题：．
命题：．所以：，
又∵是充分而不必要条件，，∴；
所以实数的取值范围为．
（2）由（1）知：或；：或；
又∵是的必要而不充分条件，∴，
∴．所以实数的取值范围为．单元训练卷 高中数学卷（B）
第一单元 集合与常用逻辑用语
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知、是非空数集，若，则，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．有下列说法：
①是的充要条件；
②是的充要条件；
③是的充要条件；
则其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设集合，(为虚数单位)，则为（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．或1 B．或 C．或1或0 D．或1或0
8．设：，：，若是的必要而不充分
条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知命题对任意实数都有恒成立，命题关于的方程有实数根．若为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题错误的是（ ）
A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题：，使得，则对，均有
11．设全集，集合，，则的值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
12．已知命题：3是5或6的约数，命题：，使方程无实数解，则下面命题中为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．给定下列四个命题：①“”是“”的充分不必要条件；②若“”为真，则“”为真；③若，则；④若集合，则．
其中真命题的是________．（填上所有正确命题的序号）
14．已知集合，，若，则集合_______．
15．已知函数的定义域为，非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
16．如图，，是非空集合，定义表示图中阴影部分的集合，若，，则__________．
(
M
N
)
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)设集合，，若，求．
18．(12分)已知命题对，不等式恒成立；
命题有解，若为真，求实数的取值范围．
19．(12分)设全集是实数集，，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数的取值范围．
20．(12分)设，，为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是．
21．(12分)已知命题：“，”与命题：“，”，若“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
22．(12分)已知元素为实数的集合满足下列条件：①，；②若，则．
（1）若，求使元素个数最少的集合；
（2）若非空集合为有限集，则你对集合的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．
单元训练卷 高中数学卷答案（B）
第一单元 集合与常用逻辑用语
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】解不等式得，所以
解不等式得，又因为，所以
所以，故选C．
2．【答案】C
【解析】由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，故选C．
3．【答案】B
【解析】若，则等价于若，则，∴集合是集合的子集，
故选B．
4．【答案】A
【解析】①，仅仅是充分条件；②，仅仅是充分条件；
③，仅仅是充分条件；故选A．
5．【答案】D
【解析】∵，，∴，故选D．
6．【答案】C
【解析】∵，∴，∵，∴，即，∴，，则，∴，故选C．
7．【答案】D
【解析】，∵，∴．当时，，符合题意；当时，，，∴或，∴或，故选D．
8．【答案】A
【解析】由题设知，：，：，
∵是的必要而不充分条件，
∴是的充分而不必要条件，即是的真子集，则，
解得，故选A．
9．【答案】C
【解析】真或，真，
∴真．故选C．
10．【答案】C
【解析】若为假命题，、至少有一个为假命题，故C错误．
11．【答案】C
【解析】由题设知，，∵，
且，∴，故，
∴或，则的值组成的集合为，故选C．
12．【答案】D
【解析】易知命题为真命题，∵方程的判别式恒成立，∴为假命题，∴命题、、均为为假，命题为真命题．故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】①④
【解析】对于①，代入成立；对于②，，中至少有一个为真，∴可以为假，错误；对于③，时，不成立；④显然成立．
14．【答案】或．
【解析】由得，，∴，在集合中，若，
则，∴；若，则，∴．
15．【答案】．
【解析】函数的定义域为：，∵是非空集合，
∴，∴，∵“”是“”的必要不充分条件，∴是的真子集，则，∴．
16．【答案】．
【解析】由题设知，，，
∴由图知，．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】见解析．
【解析】∵，∴，∴或，
解得，或．
当时，，，此时，符合题意；
当时，，，集合中元素重复，不符合题意，舍去；
当时，，，
此时，与矛盾，舍去；
综上，只有符合题意，此时，，
所以．
18．【答案】见解析．
【解析】∵为真，∴为真命题，为假命题；
由题设知，对于命题，∵，∴；
∵不等式恒成立，∴，
解得或；
对于命题，∵有解，∴，
解得或；
由为真命题，为假命题知，
∴的取值范围是．
19．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
当时，，
∴，．
（2），当时，，即．
当，即时，满足；
当，即时，，要使，只需，解得．综上可得，的取值范围为．
20．【答案】见解析．
【解析】（1）必要性：
设方程与有公共根，
则，，两式相减可得，
将此式代入，可得，故．
（2）充分性：
因为，∴，∴．
把代入方程，可得，
即，所以．
把代入方程，可得，
即．
所以方程与有公共根．
综上，方程与有公共根的充要条件是．
21．【答案】见解析．
【解析】若命题为真，则在恒成立．
令，则当时，，
∴，∴．
若命题“，”为真命题，则，
解得或．
因为“”为真命题，“”为假命题，所以命题和其中有且只有一个真命题．
当为真命题，为假命题时，，解得；
当为假命题，为真命题时，，解得；
综上所述，实数的取值范围为或．
22．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由，可得，；由，可得，；
∴当，使元素个数最少的集合为．
（2）非空有限集的元素个数是3的倍数．
证明如下：
①设则，且，则，，
假设，则无实数根，故．
同理可证，，两两不同．
即若有，则必有．
②若存在，必有
．．
于是．
上述推理还可继续，由于为有限集，故上述推理有限步可中止，
∴的元素个数为3的倍数．
