1.4 角平分线 第1课时 角平分线 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
1. 会叙述角平分线的性质及判定；（重点）
2. 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理及逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.（难点）
什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这一性质，并与同伴交流.
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
O
A
B
C
1
2
P
D
E
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵ ∠1 =∠2，OP = OP，
∴△PDO ≌△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
1.性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB,
∴PD＝PE.
3.定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
例1 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D. 下列结论中错误的是（ ）
A.PC = PD
B.OC = OD
C.∠CPO =∠DPO
D.OC = PO
D
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
B
A
D
O
P
E
1
2
证明：
∴OP平分∠AOB.
∵PD= PE，OP=OP，
∵PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E，
∴∠ODP=∠OEP=90°，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP（ HL）.
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.
B
A
D
O
P
E
1
2
1.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
2.应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
3.应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
例2 已知：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC =60°，
∴∠BAD =30°.
∴在 Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1. 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
2.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP
∴点P在∠AOB 角的平分线上
在Rt△PDO和Rt△PEO 中
OP=OP
PD= PE
∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）
∴∠AOP=∠BOP.
B
A
D
O
P
E
∠PDO=∠PEO=90°
1. 如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，给出下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线上.
其中正确的是( )
A.①②③④
B.①②③
C.④
D.②③
A
2.如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,CD=2,若△ABD的面积为5,求AB的长.
解：如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC,
∴DE=DC=2.
∵△ABD的面积为5，
所以 AB DE=5,
即 ×2AB=5，解得AB=5.
∴AB的长为5.
性质
角平分线
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
判定
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.