1.4 角平分线 第2课时 三角形三个内角的平分线 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
1.4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
1. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”；（重点）
2. 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.（难点）
三条笔直的公路围成一个三角形区域，现在计划在这个区域内修建一个仓库P，使P到三条公路的距离都相等,请在三角形区域内标出仓库P的位置.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等．
怎样证明这个结论呢
要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例1 求证:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知:如图，在ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证:∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC,垂足分别为D,E.
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理，PE=PF.
∴PD=PE=PF.
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上）.
即 ∠A的平分线经过点P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
例2 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)已知CD=4cm,求AC的长;
(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
∵AC=BC,
∴∠B=∠BAC（等边对等角）.
∵∠C=90°,
∴∠B= ×90°=45°.
∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中，
E
D
A
B
C
（勾股定理）
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE(全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
E
D
A
B
C
1.如图，为促进旅游业发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在（　　）
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三条垂直平分线的交点处
B
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
1.已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°，∠B=40°， AD平分∠CAB 交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD = ________.
A
C
B
D
E
25°
2.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，其三条内角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB，S△OBC，S△OAC之比为 　2∶3∶4　 .
2∶3∶4　
3.某新建住宅小区里有一块三角形绿地，现准备在其中安装一个照明灯P，使它到绿地各边的距离相等.请你在图中画出安装照明灯P的位置.
解：如图，点P就是安装照明灯的位置.
4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，求∠AOC的度数.
解：∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等，
∴AO平分∠BAC，CO平分∠ACB.
∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠BCA.
∵∠B＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°，
∴∠OAC＋∠OCA＝（∠BAC＋∠ACB）＝45°.
∴∠AOC＝180°－（∠OAC＋∠OCA）＝135°.
性质
三角形三个内角的平分线
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
用途
可以用来选取到三条直线距离相等的点
判定
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.