4.2提公因式法 第2课时 公因式为多项式的因式分解 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
4.2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
1. 准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点）
2. 能运用整体思想进行因式分解.（难点）
1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
思考：下面的多项式有公因式吗？
（1）a(x-y)-b(x-y);
（2）2a(b+c)-3(b+c);
（3）a(x-3)+2b(x-3);
（4）y(x+1)+y2(x+1)2.
以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？
x-y
b+c
x-3
y(x+1)
例1 把下列各式因式分解.
（1）a(x-3)+2b(x-3) ； （2）y(x+1)+y2(x+1)2.
解:（1）a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b);
（2）y(x+1)+y2(x+1)2
＝y(x+1) [1+y(x+1)]
＝y(x+1) (xy+y+1).
探究：提公因式为多项式的因式分解
提公因式法因式分解的注意事项：
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
（1）x(a+b)+y(a+b) ;
（2）3a(x－y)－(x－y) ;
（3） 6(p+q)2－12(q+p) .
1.把下列各式因式分解：
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
4.把多项式m(n-2)-m2(2-n)因式分解得(　　)
A.(n-2)(m2+m) B.(n-2)(n-m)2 C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(1-m)
3.下列因式分解正确的是(　　)
A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)
B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)
C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)
A
C
例2 把下列各式分解因式.
（1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n)3-12(n-m)2.
解：(1)a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
= (x-y)(a-b);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3 -12[-(m-n)]2
= 6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
互为相反数
互为相反数
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时, 则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
则(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）,
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）.
2.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是( 　 )
A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b)2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b)
解析：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a -8b)
＝(7a-8b)［(3a-4b) -(11a-12b)］
＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
＝(7a-8b)(-8a+8b)
＝8(7a-8b)(b-a).
C
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
(6)-m-n= (m+n)
(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3 (8)-x+2y=_____(2y-x)
-
-
+
+
-
-
-
+
提公因式法因式分解的步骤：
(1)观察；
(2)适当变形；
(3)确定公因式；
(4)提取公因式.
2.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　)
A.3 B.2
C.1 D.－1
1.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于(　　)
A.y－x B.x－y
C.3a(x－y)2 D.－3a(x－y)
C
A
6.已知a+b=5，ab=4,则ab2+a2b-a-b= .
5.已知x2+3x-2=0，则2x3+6x2-4x= .
4.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部分是 .
3.因式分解：x(x-2)-x+2=　　　　　　　　.
(x-2)(x-1)
0
15
(m+2)
7.把下列各式进行因式分解.
(1) 6(p+q)2-12(q+p)； (2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).
(1) 6(p+q)2-12(q+p)
＝6(p+q)(p+q-2)；
(2) a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)＝a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)
＝(x-a)(a-b-c).
8.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是　　　　　　　　;
(2)若因式分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2023,则结果是　　　　　; (3)因式分解:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
提公因式法
(1+x)2024
(1+x)n+1
注意
提公因式法（2）
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
(1)观察；
(2)适当变形；
(3)确定公因式；
(4)提取公因式.
提公因式法因式分解的步骤