4.2提公因式法 第1课时 公因式为单项式的因式分解 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
4.2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）
2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）
1.多项式ma+mb+mc有哪几项？
2.每一项的因式都分别有哪些？
3.这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
4.请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.
a, b, ab
问题1：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？
问题2：多项式3x2+x呢？多项式nb2+nb-b呢？
你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流.
有相同因式：b.
多项式3x2+x各项都含有相同因式：x，
多项式nb2+nb-b各项都含有相同因式：b.
探究一：公因式的定义
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如b就是多项式ab+bc各项的公因式.
相同因式p
公因式的定义
想一想：这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
做一做：找 3x2 – 6xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以3x2–6xy的公因式是3x.
指数：相同字母的最低次幂
1
正确找出多项式各项公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
1.多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(　　)
A.abc 　　　　　 B.3a2b2 　　　　　
C.3a2b2c 　　　　　 D.3ab
解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.
D
探究二：提公因式因式分解
议一议：(1)多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流.
多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2.
2x2+6x3=2x2·1+2x2·3x
=2x2(1+3x)
提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
做一做：分解因式：8a3b2 + 12ab3c.
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
例1 把下列因式分解：
(1)3x+x3; (2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3c+ab; (4)-24x3+12x2-28x.
解：(1)3x+ x3
=x ·3+x·x2
=x(3+x2)；
(2)7x3－ 21x2
=7x2·x －7x2·3
=7x2(x－3)；
(4)－24x3+ 12x2－28x
=－(24x3 －12x2+28x)
=－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7)
=－4x(6x2 －3x+7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
(3)8a3b2 －12ab3c+ab
=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1
= ab(8a2b－12b2c+1).
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
分解因式要注意：
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号.
2.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)
＝4×7
＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
单项式乘多项式
多项式
提公因式法
单项式与多项式的积
提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.
3. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（　　）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
D
4. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（　　）
A．﹣a(4a2﹣4a+16)
B．a(﹣4a2+4a﹣16)
C．﹣4(a3﹣a2+4a)
D．﹣4a(a2﹣a+4)
D
解: 2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y).
5.已知2x-y=，xy=2，求2x4y3-x3y4的值.
当2x-y=，xy=2时,
原式=23×=1.
1.多项式x2m-xm提取公因式xm后,另一个因式是 (　　)
A.x2-1 B.xm-1
C.xm D.x2m-1
2. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（　　）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
A
B
3.计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（　　）
A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1
C．﹣(﹣3)m﹣1 D．(﹣3)m
C
4.把下列多项式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3xz； (2)3a3b+9a2b2-6a2b.
解：(1)-3x2+6xy-3xz
=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z
=-3x·(x-2y+z).
(2)3a3b+9a2b2-6a2b
=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2
=3a2b(a+3b-2)
5.计算:(-2)21+(-2)20+6×219.
解:(-2)21+(-2)20+6×219
=(-2)21+(-2)20+3×220
=-221+220+3×220
=220(-2+1+3)
= 221.
公因式
提公因式法（1）
确定公因式的方法:三定，即定系数;定字母;定指数.
注意:
1.分解因式是一种恒等变形;
2.公因式要提尽;
3.不要漏项;
4.提负号,要注意变号.
公因式为单项式的因式分解