北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期月考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

北京师范大学附属实验中学 2024-2025 学年高二上学期月考数学试题
（12 月份）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线 + √ 3 + 1 = 0的倾斜角是( )
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
2.已知 2 + 2 + + = 0表示圆，则实数 的取值范围为( )．
A. (0,4) B. ( ∞, 0)
C. (4,+∞) D. ( ∞, 0)∪ (4,+∞)
3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为( )
A. 10 B. 60 C. 125 D. 243
4.平的内动点 ( , )满足方程√ ( + 1)2 + 2 + √ ( 1)2 + 2 = 2√ 3，则动点 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. = 1 D. = 1
3 2 2 3 3 2 3 2
5.已知抛物线 : 2 = 8 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 = 3的距离为5，则| | =( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6.刍甍( ú é )是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍(如图
)，底面 为矩形，且 = 3， = √ 13, //平面 , 和 为全等的正三角形， = 1，
则平面 和底面 的夹角的余弦值为( )
1 √ 3 √ 2 √ 6
A. B. C. D.
3 3 2 3
7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点 ，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活
动木条 的 处钻一个小孔，可以容纳笔尖， 、 各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证 与 的长
度不变，当 、 各在一条槽内移动时， 处笔尖就画出一个椭圆．已知| | = 3| |，且 在椭圆的右顶点
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时， 恰好在 点，则该椭圆的离心率为( )
3 3 √ 7 √ 5
A. B. C. D.
2 4 4 5
8.已知双曲线 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ 的离心率为2”是“ 的一条渐近线为 = √ 3 ”
的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
9.若椭圆 + 2 = 1( > 1)与双曲线 2 = 1( > 0)有相同的焦点 1 , 2 , 是两曲线的一个交点，则
1 2的面积是( )
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
10.已知 = {( , ) ∣ = + ( 2 ), 1 ≤ ≤ 2,0 ≤ ≤ 1}是平自直角坐标系中的点集．设 是 中两点间
距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则( )
A. = 3, < 1 B. = 3, > 1 C. = √ 10, < 1 D. = √ 10, > 1
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.已知空间向量 = (1, 3,5), = (2, , )，若 // ，则 + = ．
2
12.若直线 = ( 3)与双曲线 2 = 1只有一个公共点，则 的一个取值为 ．
4
13.直线 ： + 1 = 0被圆 ： 2 + 2 = 4截得的弦长最短，则实数 = ．
14.如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 为正方形， = = 2，点 , 分别为 ,
的中点，点 为 内的一个动点(包括边界)，若 //平面 ，则点 的轨迹的长度为 ．
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15.已知曲线 过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为
定值 ( > 0)，给出下列四个结论：
①曲线 关于 = 对称；
②若点(1,1)在曲线 上，则其方程为( 2 + 2)3 = 2√ 2 ；
2

③对于任意 ，曲线 围成的图形的面积一定小于 ；
8
④存在 ∈ (2,6)，使得曲线 上有5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
有0,1,2,3四个数字，
(1)可以组成多少个四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？(直接写出答案
即可)
17.(本小题12分)
已知点 是抛物线 : 2 = 4 的焦点，过点 且斜率为 的直线 与抛物线 交于 , 两点， 是线段 的中点．
(1)当 = 1时，求| |与 的坐标．
(2) 为坐标原点，记直线 , 的斜率为 1 , 2，若 1 + 2 = 1，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 1 中，底面 是菱形，∠ = 60
， 是 的中点，且 1 ⊥平面 , =
1 = 2．
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 夹角的余弦值；

(3)在线段 1 上是否存在点 ，使得 //平面 ，若存在，求出
1
1 的值；若不存在，说明理由． 1
19.(本小题12分)
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已知⊙ 过点 (4,1), (0,1), (2,3)，直线 : = + 2．
(1)求⊙ 的方程；
(2)已知⊙ ′与⊙ 关于直线 对称，求直线 被⊙ ′截得的弦长；
(3)若 是直线 上的动点， 为⊙ 上的动点， 为坐标原点，直接写出| | + | |的最小值．
20.(本小题12分)
2
已知椭圆 : + 2 = 1，过点( 1,0)的直线 交椭圆 于点 , ．
3
(1)当直线 与 轴垂直时，求| |；
(2)在 轴上是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求点 的坐标及 的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)过点(0,1)，且离心率 = ． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 1、 2是椭圆 的左、右焦点， 是第一象限内椭圆 上的一点，分别连接 1 , 2并延长交椭圆 于
点 1 , 2 . 1 , 2分别表示 1 2和 2 1的面积，求| 1 2|的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】4
1 1
12.【答案】 (或 ，答案不唯一)
2 2
13.【答案】 1
√ 5 1
14.【答案】 / √ 5
3 3
15.【答案】①③④
16.【答案】(1)依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有3 × 4 × 4 × 4 = 192个；
(2)当个位是0时，共有 33 = 6个无重复数字的四位偶数；
当个位是2时，千位是1或3，共有2 22 = 4个无重复数字的四位偶数，
因此，共有6 + 4 = 10个；
(3)当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 33 = 6个；
当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 22 = 2个，
当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有 22 = 2个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第10个四位数是2130．
17.【答案】(1)抛物线 : 2 = 4 的焦点 (1,0)，
当 = 1时，直线 : = 1
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2 = 4
联立{ ，消去 得： 2 6 + 1 = 0，
= 1
= 32 > 0，所以设点 ( 1 , 1), ( 2, 2)，
由韦达定理 1 + 2 = 6, 1 2 = 1，设中点 ( 0 , 0)，
1+ 则 2
6
0 = = = 3， 0 = 0 1 = 3 1 = 2，所以中点 的坐标为(3,2)， 2 2
所以由过焦点弦长公式得：| | = 1 + 2 + 2 = 8，
(2)直线 : = ( 1)，
2 = 4
联立{ ，消去 得 2 2 (2 2 + 4) + 2 = 0，
= ( 1)
16( 2 + 1) > 0，所以设点 ( 1 , 1), ( 2, 2)，
2
2 +4
由韦达定理 1 + 2 = 2 , 1 2 = 1，

4
因为 1 2 + 2 1 = 2 1 2 ( 1 + 2) = ，
1 2 1 2+ 2 + = + = 1
4
1 2 = = 1， 1 2 1 2
解得 = 4，所以 的方程为 = 4 + 4．
18.【答案】1)在菱形 中，连接 ，得等边 ，
因为 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 1 ⊥平面 , 平面 ，所以 1 ⊥ ．
因为 1 平面 1 , 平面 1 ，且 1 ∩ = ，
所以 ⊥平面 1 ．
(2)因为 1 ⊥平面 , 平面 ，则有 1 ⊥ ，
由(1)知 ⊥ 1 , ⊥ ，故 , 1 , 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系 ，
因为 = = ，所以 为等边三角形，同理 也为等边三角形，
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则 1(0,0,√ 3), ( 1,0,0), (0, √ 3, 0)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 3 = 0,
则{
√
1 = √ 3 √ 3 = 0,
令 = 1得 = ( √ 3, 1,1)，
又因为 ⊥平面 1 ，所以平面 1 的一个法向量为 = (1,0,0)，
| | √ 15
所以|cos , | = = ，
| | | | 5
√ 15
故平面 1 与平面 1 夹角的余弦值为 ． 5
(3)设 1 = ，
则 (2 ,√ 3 , √ 3 +√ 3), = (2 , √ 3 , √ 3 + √ 3)，
若 //平面 1 ，则 = 2√ 3 + √ 3 = 0，
1 1 1
解得 = ，故存在满足条件的点，且 = ．
2 1 2
19.【答案】(1)由题知，直线 的垂直平分线方程为 = 2，
由 = 1，线段 中点为(3,2)，
可知线段 的垂直平分线方程为 = 1，
= 1 = 2
因此联立{ ，解得{ ，即点 (2,1)．
= 2 = 1
又因为| | = 2，
所以，圆 : ( 2)2 + ( 1)2 = 4．
(2)由题知，点 ′与 关于直线 对称，
1
× 1 = 1
设 ′( , )，则{ 2 ,
+1 +2
= + 2
2 2
可得点 ′( 1,4),
直线 : = +5，即 + 5 = 0，
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| 1+4 5|
点 ′到直线 的距离为 = √ 2，
√ 1+1
因为⊙ ′的半径为2，
所以直线 截⊙ ′所得的弦长为2√ 22 (√ 2)2 = 2√ 2．
|2 1+2| 3√ 2
(3)点 到直线 距离为 = > 2，
√ 1+1 2
设点 ′与 关于直线 对称，
0
× 1 = 1
设 ′( , )，则{ 0 ,
+0 +0
= + 2
2 2
可得点 ′( 2,2)，
则作图如下，因为| | + | | = | ′ | + | | ≥ | ′ | + | | 2，
所以当 ′, , 三点共线时，| | + | |取得最小值，
因为| ′ | = √ 17，所以| | + | |最小值为√ 17 2．
20.【答案】解：(Ⅰ)当直线 斜率不存在时，其方程为 = 1.
2 2 = 1, = 1
由{ + = 1,3 得{
2√ 6
√ 6 或{ √ 6， ∴ | | = ．
= 3
= 1 = 3 3
(Ⅱ)假设存在 ( , 0)，使 为定值.
① 当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为： = ( + 1)， ( 1, 1), ( 2 , 2),
2 +3 2
由 {
= 3
得(1+ 3 2) 2 + 6 2 + 3 2 3 = 0，
= ( + 1)
2 2
6 3 3
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+3 1+3
∴ = ( 1 , 1) ( 2 , 2)
= ( 1 )( 2 ) + 1 2
= 2 21 2 ( 1 + 2)+ + ( 1 + 1)( 2 + 1)
= 1 2 ( 1 + 2)+
2 + 2 2 21 2 + ( 1 + 2)+
= ( 2 )( + 2 2 21 2)+ ( + 1) 1 2 + +
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2 2 2 2 2 2
( )( 6 ) ( +1)(3 3) ( + 2)(1+3 )
= 2 + 2 + 2
1+3 1+3 1+3
2 (3 2+6 +1) + 2 3
= 2 .
1+3
3 2+6 +1 2 3
若 为常数，只需 = ，
3 1
5
解得 = ，此时
2
= ．
3 9
5 2
∴存在点 ( , 0)，使 为定值 ．
3 9
②当直线 与 轴垂直时，
√ 6 √ 6
不妨设 ( 1, ), ( 1, ),
3 3
5 5 √ 6 5 √ 6 4 6 2
当点 坐标为 ( , 0)时， = ( 1+ , ) ( 1 + , ) = = ．
3 3 3 3 3 9 9 9
5 2
综上，存在点 ( , 0)，使 为定值 ．
3 9
= 1
= √ 2
21. √ 2【答案】(1)依题意可得{ = ，解得{ = 1 , 2
2 = 2 + 2 = 1
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)由(1)可得 1( 1,0)， 2 (1,0)，
2
设 ( 0 20 , 0)( 0 > 0, 0 > 0)，其中 + 0 = 1， 2

= 0 ( + 1)
+1
直线 : = 01 ( + 1)，联立{
0 ,
0+1 2
+ 2 = 1
2
2 2 4 2 2 2
消去 得( 0 2 + 1)
2 + 0 + 02 2 2 = 0， ( 0+1) ( 0+1) ( 0+1)
4 20
2
( +1) 3 4
解得 =
0 0
1 2 2
0 = ，
0 2 0+3+1
2
( 0+1)
3 0 4
则 = 0 (
0 0
1 +1
+1) = ( + 1) = ，
0 1 0+1 2 0+3 2 0+3
3 4
即 0 01 ( , )， 2 0+3 2 0+3
3 0+4 同理可得 ( , 02 ) 2 0+3 2 0 3
所以| 1 2| = | 1 2 | = | | 2 1 1 1 2 2 2 1
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1 4 0 4 0
= | 1 2|| | = |
0 | = | 0 |
2 1 2 4 20 9
|
2
2 |
4 0 9(
0 + 2)
2 0
8 8 2√ 2
= 18 ≤ = ， 0+ 0 0 18 3 2√ 00 0 0 0
3√ 5 √ 10
当且仅当 0 = , 0 = 时，等号成立． 5 10
2√ 2
所以| 1 2|的最大值为 ． 3
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