北京市东直门中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

北京市东直门中学 2024-2025 学年高二（上）月考数学试卷（12 月份）
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.抛物线 = 4 2的焦点坐标是( )
1 1
A. (1,0) B. (0,1) C. ( , 0) D. (0, )
16 16
2 2
2.已知双曲线的方程为 = 1，则该双曲线的渐近线方程为( )
4 2
√ 2 √ 3
A. = ± B. = ±√ 2 C. = ± D. = ±√ 3
2 3
3.已知椭圆方程为：3 2 + 4 2 = 12，则该椭圆的长轴长为( )
A. 4 B. 2 C. 2√ 3 D. √ 3
4.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个
问题来说，下列说法中正确的是( )
A. 100名学生是个体 B. 样本容量是100
C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 1000名学生是样本
5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时
间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间(小时) 78 9 10 11
党员人数 61 0 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )
A. 8，8.5 B. 8，8 C. 9，8 D. 8，9
6.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为( )
24 16 14 12
A. B. C. D.
5 5 5 5
7.已知直线 1:
2 + +1 = 0与直线 2 : 3 + 7 = 0，则“ = 3”是“ 1 ⊥ 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知圆 1：
2 + 2 +4 4 + 7 = 0与圆 2：( 2)
2 + ( 5)2 = 16的公切线条数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如图所示，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为1， , 分别是棱 ′， ′的中点，过直线 , 的平面分别与
棱 ′、 ′交于 , ，设 = ， ∈ (0,1)，给出以下四个命题：
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①四边形 为平行四边形；
②若四边形 面积 = ( ), ∈ (0,1)，则 ( )有最小值；
③若四棱锥 的体积 = ( ) ， ∈ (0,1)，则 ( )常函数；
1
④若多面体 的体积 = ( )， ∈ ( , 1)，则 ( )为单调函数．
2
其中假命题为( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10.已知曲线 : ( 2 + 2)2 = 9( 2 2)是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线 的图象不关于原点对称
B. 曲线 经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C. 曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过3
D. 若直线 = 与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围为( ∞, 1]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.若点 ( 4, 2)， ( 2,2)，则以 为直径的圆 的方程是 ．
2 2
12.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线的方程为 = 2 ，则该双曲线的离心率为 ．
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13.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 1 1的中点，则直线 1 和 的夹角的余弦值
为
14.已知长方体 1 1 1 1中， = = 4， 1 = 2，则平面 1 1与平面 所成的角的余弦
值为 ．
15.若点 在直线 ： = 1上，则点 到点 (2,1)， (3,4)的距离之和的最小值为 ．
√
2 2
16.已知曲线 的方程 + √ = 1，给出下列4个结论：
25 9
①曲线 是以点( 4,0)和(4,0)为焦点的椭圆的一部分；
②曲线 关于 轴、 轴、坐标原点 对称；
③若点 ( , )在曲线 上，则| | < 5，| | < 3；
④曲线 围成的图形的面积是30．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边，且 2 + 2 + = 2．
(1)求角 ；
(2)若 = 2√ 3， + = 4,求 的面积．
18.(本小题12分)
为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进
行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：[60,65),[65,70)，[70,75),[75,80)，
[80,85),[85,90]．
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(1)求 的值；
(2)求这100户居民问卷评分的中位数；
(3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽取6户居民，
查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在[65,70)内
的概率．
19.(本小题12分)
已知圆 : 2 + 2 6 8 + 21 = 0，直线 过点 (1,0)．
(1)求圆 的圆心坐标及半径长；
(2)若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
(3)设直线 与圆 相切于点 ，求| |．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ⊥ ， ⊥ ，且 = 2， 为 的中
点．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求 与平面 所成角的正弦值;
2√ 5
(3)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，确定点 的位置;若不存在，请说
5
明理由．
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21.(本小题12分)
2 2 √ 3
在平面直角坐标系中，椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，直线 1： = 与椭圆 相交于 、 两 2
4√ 10
点，且| | = ．
5
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设平行于直线 1的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 = 0，求直线 的方程．
(3)直线 2： = 与椭圆 相交于 、 两点，点 为椭圆 上不同于 、 的一动点，直线 的斜率记作 ，
直线 的斜率记作 ，当 与 存在时，求证： 与 的乘积为定值．
22.(本小题12分)
已知集合 = { | = ( 1, 2 , , ), ∈ {0,1}, = 1,2, , }( ≥ 2)对于 = ( 1 , 2 , , )， =
( 1, 2 , , ) ∈ ，定义 与 的差为 = (| 1 1|, | 2 2|, , | |)； 与 之间的距离为
( , ) = ∑ =1 | | = | 1 1| + | 2 2|+ + | |．
(1)当 = 5时，设 = (0,1,0,0,1)， = (1,1,1,0,0)，求 ， ( , )；
(2)证明： , , ∈ ，有 ∈ ，且 ( , ) = ( , )；
(3)证明： , , ∈ ， ( , )， ( , )， ( , )三个数中至少有一个是偶数．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】( + 3)2 + 2 = 5
12.【答案】√ 5
2
13.【答案】
3
√ 6
14.【答案】
3
15.【答案】√ 74
16.【答案】②④
17.【答案】(1)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + ，
1 2
所以cos = ，又0 < < ，所以 = ．
2 3
(2)因为( + )2 = 2 + 2 +2 = 16，所以 2 + 2 = 16 2 ，
2
因为 = ，由已知得 2 = 2 + 2 + ，故12 = 16 ，故 = 4，
3
1
所以 = sin = √ 3． 2
18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，
(0.01+ 2 + 0.04+ 0.05+ 0.06)× 5 = 1 ，
解得 = 0.02；
(2)由频率分布直方图可得，
(0.01+ 0.02+ 0.04)× 5 = 0.35 < 0.5，
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(0.01+ 0.02+ 0.04 + 0.06)× 5 = 0.65 > 0.5，
则中位数在[75,80) 之间，设为 ，
则( 75) × 0.06+ 0.35 = 0.5，解得 = 77.5，
故中位数为77.5分；
(3)
评分在[65,70),[70,75)对应的频率为0.1，0.2，
从评分在[65,70) 和[70,75)内的居民中共抽取6人，
则评分在[65,70) 占2人，设为 , ，
评分在[70,75) 占4人， , , , ，
从6人中选取2人的情况为：
, , , , , , ,
, , , , , , , ，共15种，
其中这2人中恰有1人的评分在[65,70)的情况为： , , , , , , , ，共8种，
8
故这2人中恰有1人的评分在[65,70)内的概率为 ．
15
19.【答案】(1)圆 方程可化为：( 3)2 + ( 4)2 = 4，圆心坐标为(3,4)，半径长为2．
(2)①当直线 的斜率不存在时，方程为 = 1，圆心(3,4)到直线 距离为2，满足题意．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程是 = ( 1)，即 = 0．
|3 4 | 3
由圆心(3,4)到直线 的距离等于半径得， = 2，解得 = ，
√ 2 4 +1
此时直线 的方程为3 4 3 = 0．
综上，直线 的方程为 = 1或3 4 3 = 0．
(3) ∵圆 的圆心坐标为(3,4)， (1,0)，
∴ | | = √ (3 1)2 + (4 0)2 = 2√ 5．
如图，由相切得， ⊥ ，| | = 2，
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∴ | | = √ 2 2 = √ 20 4 = 4．
20.【答案】(1)因为四边形 为正方形，则 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，且两直线在平面内，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，且两直线在平面内
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，且两直线在平面内
∴ ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ⊥ ，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 , , 轴建立如
下图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)、 (2,2,0)、 (0,0,2)、 (0,1,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 = (2,2,0)， = (0,1,1)， = (2,2, 2)，
= 2 + 2 = 0
由{ ，取 = 1，可得 = ( 1,1, 1)，
= + = 0
2 1
cos < , >=
| | |
= = ，
| √ 3×2√ 3 3
1
所以， 与平面 所成角的正弦值为 ;
3
(3)设点 (2, , 0), (0 ≤ ≤ 2)，设平面 的法向量为 = ( , , )，
= (2, , 0)， = (0,0,2)，
由{
= 2 + = 0，取 = ，则 = ( , 2,0)，
= 2 = 0
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| | 2 2√ 5
所以，点 到平面 的距离为 = = = ，
| | √ 2
5
+4
∵ > 0，
∴ = 1．
2√ 5
因此，当点 为线段 的中点时，点 到平面 的距离为 ．
5
2
2√ 10 4
21.【答案】1)设 ( 0, 0)，则2
2
0 = ( ) ，得
2
0 = ， 5 5
4 4
2 + 2 = 1 5 5
所以 √ 3 ，解得： 2 = 4， 2 = 1， 2 = 3，
=
2
{ 2 = 2 + 2
2
所以椭圆的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)设直线 : = + ，
= +
联立{ 2 ，得5 2 +8 +4 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
= 64 2 20(4 2 4) > 0，得 √ 5 < < √ 5，
8 4 2 4
其中 1+ 2 = ， 1 2 = ， 5 5
因为 = 0，所以 1 2 + 1 2 = 0，
即 1 2+ ( 1+ )( 2 + ) = 2 1 2+ ( 1+ 2)+
2 = 0，
8 2 8 8 2 2√ 10
即 + 2 = 0，解得： = ± ，
5 5 5
2√ 10
所以直线 的方程 = ± ；
5
=
(3)联立{ 2 ，得(1 + 4 2) 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
4
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 2 = 2， 1+ 2 = 0
1+4
2
4
1
2
2 = 1 2 = 2， 1 + 2 = ( 1 + 2) = 0，
1+4
设 ( 0 , 0)，
0
2 ( )
= 1
0 2 0 1+ 2 0+ 1 2
= ， 0 21 0 2 0 ( 1+ 2) 0+ 1 2
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2 2
( 4 1 0) 1 1 2 2 4
4 21+4 2

1+4 4
0 1 0 2 1
= = 1+4 4 4 = × 4 = ．
2 2 4 2 40 2 0 2 0 2
1+4 1+4 1+4
22.【答案】(1)由题意可知 = (|0 1|, |1 1|, |0 1|, |0 0|, |1 0|) = (1,0,1,0,1)；
( , ) = ∑ =1 | | = |0 1| + |1 1| + |0 1| + |0 0| + |1 0| = 3；
(2)证明：设 = ( 1, 2 , , )， = ( 1, 2 , , ), = ( 1 , 2 , , ) ∈ ，
由题意知 , ∈ {0,1}，所以| | ∈ {0,1}, = 1,2, , ；
从而 = (| 1 1|, | 2 2|, , | |) ∈ ，
由题意可知 , , ∈ {0,1}, = 1,2, , ，
当 = 0时，|| | | || = | |，
当 = 1时，|| | | || = |(1 ) (1 )| = | |，
所以 ( , ) = ∑ =1 | | = ( , )；
(3)证明：设 = ( 1, 2 , , )， = ( 1, 2 , , ), = ( 1 , 2 , , ) ∈ ，
记 ( , ) = ， ( , ) = ， ( , ) = ，记 = (0,0, ,0) ∈ ；
由(2)可知 ( , ) = ( , ) = ( , ) = ；
( , ) = ( , ) = ( , ) = ，
( , ) = ( , ) = ，
因为| | ∈ {0,1}, = 1,2, , ，∑

=1 | | = ，
所以| | ∈ {0,1}, = 1,2, , 中1的个数为 ；| | ∈ {0,1}, = 1,2, , 中1的个数为 ；
设 是使| | = | | = 1成立的 的个数，则 = + 2 ，
由此可得 , , 三个数不可能都是奇数，
即 ( , )， ( , )， ( , )三个数中至少有一个是偶数．
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