陕西省咸阳市兴平市2025届高三上学期第二次模拟考试数学试题（PDF版，含答案）

陕西省咸阳市兴平市 2025 届高三上学期第二次模拟考试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2( + 2) < 2}, = { 2, 1,0,1,2}, ∩ =( )
A. { 2,0,1} B. { 1,0,1} C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1,0,1}
2.已知向量 = (0,1), = ( , 1)且( 2 ) ⊥ ，则向量 与 的夹角为( )

A. B. C. D.
6 4 3 2
3 1
3.“sin = ”是“sin cos = ”的( )
4 2 2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量 ， 不共线， = + ， = + ，其中 > 0， > 0，若 ， ， 三点共线，则 + 4 的
最小值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

5.函数 ( ) = 2的图象大致是( ) 1
A. B.
C. D.
6.已知函数 ( )的定义域为 ，且 (2 1)为奇函数， ( + 1)为偶函数，当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = + 1，
则 (2025) =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025
7.若关于 的不等式 2 + 2 > 0在区间[1,5]上有解，则 的取值范围是( )
27
A. (2√ 2,+∞) B. ( ∞,2√ 2) C. ( ∞, 3) D. ( ∞, )
5
第 1 页，共 8 页
ln√ 2 ln3 1
8.已知 = ， = ， = ，则 ， ， 的大小为( )
2 6 2
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法中正确的是( )
A. 已知点 ， ， 是直线 上三个不同的点， 为直线 外一点，且 = + 0.4 ，则 = 0.6
5
B. 已知向量 = (1,2)， = (1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则 的取值范围是( ,+∞)
3
C. 已知点 为△ 三条边的中线的交点，则 + + = 0
D. 已知 = (2√ 3, 2)， = ( 1, √ 3)，则 在 上的投影的坐标为(√ 3, 3)

10.已知函数 ( ) = 3 ，则( ) +2
3
A. ( )为奇函数 B. ( )在区间( ∞, √2)内单调递增
C. ( )在区间(1,+∞)内单调递减 D. ( )有极大值

11.已知 ( ) = 2sin( + ) ( > 0, | | < )，其中相邻的两个极值点的距离为 ，且 ( )经过点(0, 1)，
2 3
则( )
A. = 3

B. =
6

C. ∈ [0, ]时， ( )的 值域为[ 1,1]
3
D. ∈ [0,2 ]时， ( )与 ( ) = sin 的交点数为4个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等比数列{ }的各项均为正数，且 5 6 + 4 7 = 18，则 3 1 + 3 2 + + 3 10 = ．
13.已知 ( ) = 2 2 ，则 ( 2 3) + (2 ) < 0的解集为 ．
2 2
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 ，过原点的直线与椭圆 交于 ， 两点，| | = 2| |，
2
∠ = ，则椭圆 的离心率为 ．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，且cos (2 ) = cos ．
第 2 页，共 8 页
(1)求 的值；
(2)若 = 2 = 4, 为边 上一点，且2 = 3 ，求 的长．
16.(本小题12分)
已知{ }是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，且 2 = 3, 1, 3, 7成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)定义在数列{ }中，使 3( + 1)为整数的 叫做“调和数”，求在区间[1,2024]内所有“调和数”之
和．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， 与 交于点 ，点 在平面 内的投影为点 ，若△ 为正三角形，
1
且 = = ， = ．
2
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题12分)
设 ( ) = 1 ln ．
1 1
(1)求 ( )在( , ( ))处的切线方程；

(2)求证：当 > 0时， ( ) ≥ 0；
1 1 1 1
(3)设 为整数，且对于任意正整数 都有(1 + )(1 + 2) (1 + 3) (1 + ) < ，求 的最小值． 2 2 2 2
19.(本小题12分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = sin + cos ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
第 3 页，共 8 页

(1)记向量 = (3,√ 3)的相伴函数为 ( )，若当 ( ) = 3且 ∈ ( , )时，求 的值；
3 3

(2)设 ( ) = √ 3cos ( + ) + cos ( ) ( ∈ )，试求函数 ( )的相伴特征向量 ，并求出与 同向的
3 6
单位向量；

(3)已知 = (0,1)为函数 ( )的相伴特征向量，若在 中， = 2, cos = ( )，若点 为该 的
6
外心，求 + 的最大值．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】10
13.【答案】{ | < 3或 > 1}
√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)由题意知，cos (2sin sin ) = sin cos ，2cos sin = sin cos + cos sin =
sin( + ) = sin ．
1
又sin ≠ 0，故cos = ，而 ∈ (0, )，则 = ．
2 3
(2)在 中， 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
2
+ 2 2
故 = cos = = ．
2 2
3 3 3
又2 = 3 ，所以 = ， = ，
5 5 5
2 3所以 = + ，
5 5
2 2 2
2 4 +9 +12 4
2+9 +6 4×37
故| | = = = .
25 25 25
2√ 37
故 = ．
5
16.【答案】解：(1)因为 1, 3, 7成等比数列，
所以 23 = 1 7，
第 5 页，共 8 页
因为{ }是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为 ，
2 = 1 + = 3
所以{
( + 2 )2
,
1 = 1 ( 1 + 6 )
= 2
所以{ 1 ,
= 1
所以 = 1 + ( 1) = + 1．
(2)设 = 3( + 1)，所以 = 3
1，
由31 1 = 2, 32 1 = 8, , 36 1 = 728, 37 1 = 2186，
得36 1 < 2024 < 37 1，
所以 可以取1，2，3，4，5，6，
所以在区间[1,2024]内的所有“调和数”之和
= (3
1 1) + (32 1) + (33 1) + (34 1) + (35 1) + (36 1)
= (31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36) 6
3 1 36( )
= 6 = 1086.
1 3
17.【答案】证明：(1)因为 = ， = ， = ，
故△ ≌△ ，

∴ ∠ = ∠ = ，∴ ⊥ ，即 ⊥ ．
6
又点 在平面 内的投影为点 ，
即 ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，
又 = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(2)由(1)可得 ⊥平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
故 ， ， 两两垂直，建立以 为原点如图所示的空间直角坐标系，
第 6 页，共 8 页
3 3 3√ 3 √ 3
设 = 3，则 ( , 0,0)， ( , 0,0)， (0,0, )， (0, , 0)，
2 2 2 2
3 3√ 3 √ 3 3√ 3 3 3√ 3所以 = ( , 0, )， = (0, , )， = ( , 0, )，
2 2 2 2 2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
√ 3 3√ 3 = = 0,
则有{ 2 2
3 3√ 3 = = 0,
2 2
令 = 1，则 = ( √ 3, 3,1)，
设直线 和平面 所成角为 ，
|
|
则sin = |cos < ， > | =
| | | |
3√ 3 3√ 3
| |
= 2 2
√ 39
=
9 27 13 ．
√ 3+9+1×√ +
4 4
∴直线 与平面
√ 39
所成角的正弦值为 ．
13
1
18.【答案】解：(1)已知 ( ) = 1 ln ，则 ′( ) = 1 ，

1 1 1
则 = ′ ( ) = 1 ，又 ( ) = ，

1 1
所以切线方程为 = (1 ) ( )，即(1 ) + 1 = 0．

1 1
(2) ∵ ( ) = 1 ln ， ∈ (0,+∞)，所以 ′( ) = 1 = ，

令 ′( ) = 0，解得 = 1，
可知当 > 1时， ’( ) > 0，所以 ( )在区间(1,+∞)上单调递增，
当 < 1时， ’( ) < 0，所以 ( )在区间(0,1)上单调递减，
所以当 = 1时， ( )取得最小值，
所以 ( ) ≥ (1) = 0．
(3)由(2)可知当 > 1时， 1 ln > 0，即ln < 1，
第 7 页，共 8 页
1 1 1
令 = 1 + ，可得ln (1 + ) < ， 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 2 ) 1
从而ln (1 + ) + ln (1 + 2) + ln (1 + 3) + + ln (1 + ) < + 2 + 3 + + =
2
1 = 1 < 1， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
2
1 1 1 1
∴ ln (1 + ) (1 + )(1 + ) (1 + ) < 1，
2 22 23 2

1 1 1 1
即(1 + ) (1 + 2) (1 + 3) (1 + ) < ， 2 2 2 2
1 1 1 1
则对于任意正整数 都有(1 + )(1 + 2) (1 + 3) (1 + ) < ，只需 ≤ ，又 为整数， 2 2 2 2
所以 的最小值为3．

19【. 答案】解：(1)根据题意知，向量 = (3, √ 3)的相伴函数为 ( ) = 3sin + √ 3cos = 2√ 3sin( + )，
6
√ 3
当 ( ) = 2√ 3sin ( + ) = 3时，sin ( + ) = ，
6 6 2

又 ∈ ( , )，则 + ∈ ( , )，所以 + = ，故 = ．
3 3 6 6 2 6 3 6

(2)因为 ( ) = √ 3cos ( + ) + cos ( ) = √ 3 (cos cos sin sin ) + cos cos + sin sin ，
3 6 3 3 6 6
整理得到 ( ) = sin + √ 3cos ，故函数 ( )的相伴特征向量 = ( 1,√ 3)，
1 1 √ 3
则与 = ( 1,√ 3)同向的单位向量为 = ( 1,√ 3) = ( , )．
| | 2 2 2
(3)由题意得， ( ) = cos ，
√ 3
在 中， = 2，cos = ( ) = cos = ，因此 = ，
6 6 2 6

设 外接圆半径为 ，根据正弦定理， = 2 = 4，故 = 2，
sin
所以| | = | | = | | = 2，
+ = ( ) + ( ) ( )
2
= + +
2
= 2 + + = 8cos∠ + 4cos∠ + 4，
1
= , ∠ = 2 = , cos∠ = cos = ，
6 3 3 2
代入可得 + = 6 8cos∠ ，
所以当∠ = 时， + 取得最大值14．
第 8 页，共 8 页