山东师范大学附属中学2025届高三上学期12月阶段性检测数学试题（含答案）

山东师范大学附属中学2025届高三上学期12月阶段性检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.在展开式中，系数为( )
A. B. C. D.
4.若函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”当时，该“囧函数”与函数的交点个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为，，，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为，，，则这位教授迟到的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是( )
A. 该地农户家庭年收入低于万元的农户比例估计为
B. 估计该地农户家庭年收入的分位数为万元
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
10.已知正方体的棱长为，为棱上一动点，平面，则( )
A. 异面直线和所成角是
B. 当点与点重合时，平面被正方体所截的截面形状都可能为正五边形
C. 当点与点重合时，四面体外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的 正弦值的取值范围是
11.已知函数，则( )
A. 当时，恰有三个单调区间
B. 当时，若在上有最大值，则
C. 当时，过作曲线的切线有且只有一条
D. 当，且时，曲线与直线有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量与的夹角为为单位向量，，则 ．
13.等比数列中，，则的值为 ．
14.正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．如图所示，正八面体，的棱长为，若点为棱上的动点，则的最小值为 ；若点为四边形的中心，点为此正八面体表面上的动点，且，则动点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，．
求证：平面；
若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，且．
求；
点在上，平分，且，求．
17.本小题分
为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试满分分，其中甲市有名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩都近似服从正态分布．
已知本次模拟考试甲市平均成绩为分，成绩位于区间内的学生共有人．甲市学生的成绩为分，试估计学生在甲市的大致名次；
在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量的数学期望．
附：参考数据：
参考公式：若有，．
18.本小题分
已知函数且 ．
求；
证明：存在唯一的极大值点，且．
19.本小题分
已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”
已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由；
设数列的前项和为．
(ⅰ)若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；
(ⅱ)在(ⅰ)问的前提下，若数列满足，其前项和为，求证：当且时，成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．

15.解：证法一：几何法
证明：取的中点，连接，
在梯形中，因为，
所以且，，所以四边形为正方形，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，
所以平面．
证法二：向量法
分别以为所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则，
因为平面，所以为平面的法向量，
设，则，
因为，所以，所以平面．
解法一：几何法
连接交于，连接，在直四棱柱中，
因为平面，所以为在平面内射影，
所以为与平面所成的角，即，
在中，，所以，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
所以因为为平面与平面夹角，
在中，因为，所以，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
解法二：向量法
设，因为，
所以为平面的法向量，
所以，
所以，所以，
所以，即平面的法向量为，
因为，所以，
设为平面的法向量，则，即
所以可取，
设平面与平面夹角的余弦值为，
所以，
即平面与平面夹角的 余弦值为．

16.解：
因为，所以，即，
所以，
又因为，所以．
解法一：
如图，由题意可知，
因为，
所以，
又，，所以，
在中，由余弦定理得
，所以，
解法二：由解法一可知：如图，由题意可知，
因为，
所以，
又，，所以，
在中，由余弦定理得
，所以，
在中，由余弦定理得
，所以，
所以，即．

17.解：
已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布，
由题意可得，
，
，即，解得，
甲市学生在该次考试中成绩为分，且，
又，即，
，
答：学生在甲市本次考试的大致名次为名．
设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外，
由于成绩在之内的概率为，，
，
随机变量服从二项分布，即，
，
的数学期望为．

18.解：
方法一
因为，
则等价于，
是极小值点．
又，
检验，当时，，当时单调递减；
当时单调递增，
，符合题意；
方法二因为，
则等价于，
求导可知．
当时，即在上单调递减，
所以当时，，不合题意．
当时，
因为当时，当时，
所以，只需，
，
所以在单调递增，在单调递减，
，所以的解只有；
由可知时，，
记，则，
令，解得：，
当时，时，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以在区间上有唯一零点且，
在上为正、在上为负、在上为正，
所以必存在唯一极大值点，且，
所以，
由可知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上所述，存在唯一的极大值点，且．

19.解：
存在，理由如下：
由已知得，
，
，即，
对，当正整数时，存在，使得成立，
即数列为“阶可分拆数列”．
，
当时，，
当时，，
(ⅰ)若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，
当时，，即，解得，
当时，，即，
因，所以，又，
故方程无解．
综上所述，符合条件的实数的值为．
(ⅱ)证明：，
当时，，
，
，
由(ⅰ)知，所以，
，
，
由可得
，
，
，
，
当且时，成立．

第1页，共1页