2024-2025学年四川省绵阳市绵阳中学高三（上）月考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年四川省绵阳中学高三（上）月考数学试卷（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 8 + 15 ≤ 0}, = { | < 5}，则 ∩ =( )
A. {3} B. {3,4} C. {4,5} D. {3,4,5}

2.已知 1， 2是两个虚数，则“
1
1， 2均为纯虚数”是“ 为实数”的( ) 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3
3.已知{ 1 , 2 , 3 }是空间的一个基底，向量 = 3 1 + 2 2 + 3 ， = 2 + 3 ， = 1 + 2 2 + 3 ，若{ , , }
能作为基底，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1) ∪ ( 1,+∞) B. ( ∞, 0) ∪ (0,+∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) D. ( ∞, 0) ∪ (0,1) ∪ (1,+∞)
2
4.已知sin ( + ) sin = ，则cos (2 + ) =( )
3 3 3
5 1 1 5
A. B. C. D.
9 9 9 9
5.设 是一个平面， , , 是三条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B. 若 ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
C. 若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D. 若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
6.已知体积为4√ 3 的球 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为4√ 3.则该正四
棱锥的体积是( )
128√ 3 80√ 3
A. B. 43√ 3 C. 96√ 3 D.
3 3
2 17.函数 ( ) = ln 与函数 ( ) = + 有两个不同的交点，则 的取值范围是( )
2
1 1 1 1
A. ( ∞, 2) B. ( ∞, ) C. (0, ) D. (0, 2 2 2 2 2)
8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{ }为
1 1+√ 5 1 √ 5斐波那契数列， = 1, = 1, = + ( 3, ∈ )，其通项公式为 = [( ) ( ) 1 2 1 2 ]，√ 5 2 2
设 是 2[(1 + √ 5)
(1 √ 5) ] < + 4的正整数解，则 的最大值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为4的是( )
4
A. = ln + B. = 2 + 22
ln
1 2+5
C. = 4|sin | + D. =
|sin | √ 2+1
1
10.已知变量 和变量 的一组成对样本数据( ,

)( = 1,2, , )的散点落在一条直线附近， = ∑ =1 ， =
1 ∑
( )( )
∑ =1 ，相关系数为 ，线性回归方程为 = + ，则

( ) 参考公式： = =1 ， =

√ ∑ ( )2√
2
=1 ∑

=1( )
∑ =1( )( )
∑ 2 =1( )
A. 当 > 0时， > 0
B. 当 越大时，成对样本数据的线性相关程度越强
C. +1 = ， +1 = 时，成对样本数据( , )( = 1,2, , , + 1)的相关系数 ′满足 ′ =
D. +1 = ， +1 = 时，成对样本数据( , )( = 1,2, , , + 1)的线性回归方程 = + 满足 =
【答案】
11.对任意 , ∈ ，函数 ( ), ( )都满足 ( ) + ( ) + ( ) 2 ( ) = + ，则( )
2 + 3
A. 2 (0) (0) = 1 B. ( ) =
3
C. ( )的极小值点为0 D. = ( ) 2 ( )是奇函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知平面向量 ，
1
满足| | = 2，| | = 1，且 在 上的投影向量为 ，则| + | = ．
4
13.已知正实数 满足 = (9 )8 ，则 (3 ) = ．
14.在△ 1 1 1中，若 1， 1， 1三点分别在边 1 1， 1 1， 1 1上(均不在端点上)，则△ 1 1 1，△ 1 1 1，
△ 1 1 1的外接圆交于一点 ，称为密克点．在梯形 中，∠ = ∠ = 60°， = 2 = 2， 为 的
中点，动点 在 边上(不包含端点)，△ 与△ 的外接圆交于点 (异于点 )，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知递增数列{ }和{ }分别为等差数列和等比数列，且 1 = 3 1， 4 = 2 2， 7 = 3， 1 + 2 = 6
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
ln 1
(2)若 = ，证明： ≤ ． ln 1 2 +1
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16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2√ 3sin cos 2 2 + 1，在锐角△ 中，内角 , , 的对边分别为 、 、 ，且 ( ) =
1．
(1)求 ；
(2)若 = 1，求4 2 2 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( 1)ln ．
(1)已知函数 ( ) = ( 1)ln 的图象与函数 ( )的图象关于直线 = 1对称，试求 ( )；
(2)证明 ( ) 0；
(3)设 0是 ( ) = + 1的根，证明：曲线 = ln 在点 ( 0, ln

0)处的切线也是曲线 = 的切线．
18.(本小题12分)
如图所示，四边形 是圆柱底面的内接四边形， 是圆柱的底面直径， 是圆柱的母线， 是 与
的交点， = ,∠ = 60 , = 8．

(1)记圆柱的体积为 1，四棱锥 的体积为 2，求
1；
2
(2)设点 在线段 上，且存在一个正整数 ，使得 = , = ，若已知平面 与平面 的夹
√ 13
角的正弦值为 ，求 的值．
13
19.(本小题12分)
已知有限集 = { 1, 2, , }( ≥ 2， ∈ )，若 1 + 2 + + = 1 2 ，则称 为“完全集”．
(1)判断集合{ 1, √ 2,√ 2 1,2√ 2 + 2}是否为“完全集”，并说明理由;
(2)若集合{ , }为“完全集”，且 ， 均大于0，证明： ， 中至少有一个大于2;
(3)若 为“完全集”，且 ，求 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 3
9
13.【答案】 或0.5625
16
14.【答案】√ 7 1
15.【答案】解：(1)
设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，其中 > 0, > 0, ≠ 1，
1 = 3 1
1 + 3 = 2 1 3 = (2 3)
由题意得：{ 2，所以{
1 ,
21 + 6 = 1 6 = 1( 3)
1 + 1 = 6
= 1 = 3
所以{ (舍)或{ ，代入原方程后可得 = 3, = 1，
1 = 3 =
1 1
1
于是得到数列{ }的通项公式为 = + 2，数列{ }的通项公式为 = 3
1．
(2)
ln
由题可得 = = =
1
3 +1(3 + 2)， ln
由于 ∈ 时，3 (3 1 + 2) = 2(3 1 1) ≥ 0，
则3 ≥ 3 1 + 2(当且仅当 = 1时取等号)，

所以 =
1
3 +1(3 + 2) ≤

3 +13 = ， +1
1 2 1
则 1 2 ≤ × × × = (当且仅当 = 1时取等号)． 2 3 +1 +1
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1
所以 1 2 ≤ ． +1

16.【答案】解：(1)由 ( ) = 2√ 3sin cos 2 2 + 1可得 ( ) = √ 3sin2 + cos2 = 2sin(2 + )，
6
1
由 ( ) = 1得sin(2 + ) = ，
6 2
5
故2 + = + 2 或2 + = + 2 ， ∈ ，
6 6 6 6

解得 = 或 = + ， ∈ ，
3

结合 为锐角，故 = ；
3
2
2
+ 2 1
(2)cos = = 2 + 1 2 = 2 = 2 + 1，
2 2
2 2 2
由于△ 为锐角三角形，由余弦定理可得{ + > 02 2 2 , + > 0
2
即{ + 1 + 1
2 > 0 1
2 < < 2, + 1 + 2 1 > 0 2
故4 2 2 = 2(2 2 ) = 2(2 2 2 + 2 ) = 2(2 2 3 + 2)，
1 3
令 ( ) = 2 2 3 + 2， < < 2，则对称轴为 = ，
2 4
3 7
故当 = 时， ( )取最小值 ， (2) = 4，
4 8
7
故4 2 2 ∈ [ , 8)．
4
17.【答案】解：(1)因为 ( )的图象与 ( )的图象关于直线 = 1对称，
所以 ( 1 ) = ( 1 + )，
又 ( 1 ) = [( 1 ) 1]ln( 1 )
= ( 2 )ln( 1 )，
所以 ( 1 + ) = ( 2 )ln( 1 )，
令 = 1 + ，则 = + 1，
所以 ( ) = [ 2 ( + 1)]ln[ 1 ( + 1)]
= ( 3 )ln ( 2 )，
因此 ( ) = ( 3 )ln( 2 ), ( < 2)；
(2)证明：
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解法1：当 1时， 1 0且ln 0，
此时 ( ) = ( 1)ln 0，
当0 < < 1时， 1 < 0且ln < 0，
此时 ( ) = ( 1)ln > 0，
故综上 ( ) 0；
1
解法2： ′( ) = ln + 1 ，

1
令 ( ) = ln + 1 ，

′ 1 1 ( ) = + 2 > 0在(0,+∞)上恒成立，
故 ( )在(0,+∞)上单调递增，
即 ′( )在(0,+∞)上单调递增，
当0 < < 1时， ′( ) < ′(1) = 0；
当 ≥ 1, ′( ) ≥ ′(1) = 0；
因此 ( )在(0,1)上单调递减，
在[1,+∞)上单调递增，
故 ( ) ≥ (1) = 0；
(3)证明：
不妨取曲线 = 上的一点 ( , 11 )，
设 ( ) = ln 在 处的切线即是 ( ) = 在 处的切线，
1 1
则 ′( 10) = ′( 1) = = ，得 = ln ， 10 0
1 1
则 的坐标(ln , )，
0 0
由于( 0 1)ln 0 = 0 + 1，
+1
所以ln = 00 ， 0 1
1 1
ln 0 ln 0
则有 0 0 = 1 =
ln 0+ln 0 0 0
0+1
2
1 +1
0
0 1 = 0
0( 0 1) 1
+1 = 2 = = ′( 0 +1 0)， 0+ 0 0 0 1 0 1
综上可知，直线 的斜率等于 ( ) = ln 在 处的切线斜率和 ( ) = 在 处的切线斜率，
所以直线 既是曲线 = ln 在点 ( 0, ln 0)处的切线也是曲线 =
的切线．
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18.【答案】解：(1)在底面 中，因为 是底面直径，所以∠ = ∠ = 90°，
又因为 = ，故△ ≌△ ，
1
所以∠ = ∠ = ∠ = 30 , = = 4, = = 4√ 3，
2
1
因为 是圆柱的母线，所以 ⊥ 平面 ，所以 21 = ( ) = 16 × ， 2
1 1 1 1 16√ 3
2 = × 2 × × = × 2 × × 4√ 3 × 4 × = ， 3 2 3 2 3

因此 1 = √ 3 ；
2
(2)以 为坐标原点，以 , 为 , 轴的正方向，在底面 内过点 作平面 的垂直线为 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系．
因为∠ = ∠ = 30 , = ，所以 ≌ ，
故∠ = ∠ = 90 ，
1
所以 = = = 2√ 3, = 6, = = 2， = = 2 ，
2
因此 (0,0,0), (8,0,0), (2,2√ 3, 0), (0,0,2 ), = (2,2√ 3, 0), = (0,0,2 )， = (8,0, 2 )，
1 8
因为 = ，所以 = = ( , 0, 2)，

8
则 ( , 0,2 2) ,
8
= ( , 0,2 2)，

设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1),，

8
= 1 + (2 2) = 0
则有：{
1
,,
= 2 1 + 2√ 3 1 = 0
1 √ 3
取 = ( ( 2 ), ( 2 ), 1),，
4 12
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
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= 2
则有：{ 2
= 0
,
= 2 2 + 2√ 3 2 = 0
取 = ( 3, √ 3, 0)
√ 13
设平面 与平面 的夹角为 ，则sin = ，
13
2
∣ + ∣ 2√ 39
所以cos = |cos , | = = √ 1 2 = ，
2 2 13√ ( ) +12
整理得 2 12 = 0或 2 + 12 = 0(无解，舍)，
由于 为正整数，解得 = 4．
19.【答案】解：
(1)因为 1 + ( √ 2) + (√ 2 1) + (2√ 2 + 2) = 2√ 2， 1 × ( √ 2) × (√ 2 1) × (2√ 2 + 2) = 2√ 2，所以
集合{ 1, √ 2,√ 2 1,2√ 2 + 2}为“完全集”；
1 1
(2)因为集合{ , }为“完全集”，所以 + = ，又因为 ， 均大于0，所以 + = 1，

1 1 1 1 1 1
假设0 < ≤ 2，0 < ≤ 2，则 ≥ ， ≥ ， + ≥ 1，当且仅当 = = 2时取等号，
2 2
与集合{ , }中元素的互异性矛盾，所以假设不成立，所以 ， 中至少有一个大于2；
(3)因为 为“完全集”，所以 1 + 2 + + = 1 2 ，因为 ，所以不妨设1 ≤ 1 < 2 < < ，
则 ≥ (否则， 1， 2， ， 中有相同的数)，
且 1 + 2 + + < ，所以 1 2 < ， 1 2 1 < ，
①当 = 2时， 1 = 1，则1 + 2 = 2，显然不成立；
②当 ≥ 3时， 1 2 1 ≥ ( 1)( 2)，
又因为 1 2 1 < ，所以( 1)( 2) < ，即
2 4 + 2 < 0，所以 = 3，
所以 1 2 < 3，必取 1 = 1， 2 = 2，由 1 + 2 + 3 = 1 2 3，解得 3 = 3，所以 = {1,2,3}．
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